期中重难点检测卷（培优卷）（考试范围：7～9章 相交线与平行线+实数+平面直角坐标系）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（人教版2024）

期中重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：7 ~ 9章（相交线与平行线+实数+平面直角坐标系全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·广东江门·月考）在实数，，，，3.14，，中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级下·河南安阳·月考）下列图形中，不是由平移设计的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（   ） A．钱塘明月号楼室 B．广州塔南偏西方向 C．东经，北纬 D．庆春电影院号厅的排座 5．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，数轴上有四点，以下线段中，长度最接近的是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 6．（2026七年级下·河北·专题练习）将各顶点的纵坐标乘，得到新．若各顶点的坐标分别为A，，，则下列图像中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 8．（2026·山西临汾·一模）如图，这是小宣在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后得到光线，若，反射角（等于入射角）的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·山东济南·月考）将一副三角板按如图放置，，，；则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，一支激光笔在点处射出一束激光，激光的射出方向与水平方向夹角为，每当激光碰到长方形的边时就会发生反射．已知激光第次碰到长方形边上的点为，激光第次碰到长方形边上的点为，，则激光第次碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·甘肃定西·月考）若，则__________． 12．（25-26七年级下·甘肃庆阳·月考）如图，小区附近要建立一个邮局，有位于直线l上的四个地点，，，可供选择，选择比较合适的地点是________，理由是__________． 13．（25-26八年级上·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_____． 14．（25-26七年级下·四川成都·月考）在四边形中，，在线段上任取一点E（不和点A、D重合），连接，过点B作交的延长线于点F，的角平分线和的角平分线交于点G，交于H，若，则______________度． 15．（25-26七年级下·内蒙古·月考）山西是中华民族的发祥地之一，被誉为“华夏文明摇篮”，素有“中国古代文化博物馆”之称．如图是山西的三个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若云冈石窟的坐标为，晋祠博物院的坐标为，则壶口瀑布的坐标为_________． 16．（25-26八年级上·北京顺义·期末）“调日法”是一种程序化寻找近似分数以表示天文数据或数学常数的方法．具体步骤为：若正实数x的不足近似分数和过剩近似分数分别为和（a，b，c，d均为正整数），即，则新分数是x的更精确的不足近似分数或过剩近似分数．重复这个过程，就会得到越来越逼近x的分数． 小明用“调日法”寻找（约）的近似分数，因为，所以调试前选取不足近似分数为，过剩近似分数为，调试的部分过程如下表： 不足近似分数 过剩近似分数 新分数 新分数的小数形式 更新范围 第1次 第2次 第3次 第4次 A B 则表格中的A处应填______，B处应填______． 三、解答题（9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17．（25-26七年级下·甘肃定西·月考）解方程或者计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． (1)两个锐角的和是锐角； (2)0既不是正数，也不是负数． 19．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点的坐标； (2)若将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点的坐标． 20．（24-25七年级下·陕西安康·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 21．（25-26七年级下·广西南宁·月考）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为3，求图中阴影部分的面积． 22．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）定义：若实数对满足，则称其为“等积和数对”． (1)若是“等积和数对”，求的值． (2)若是“等积和数对”，求的取值范围． (3)若，，，…，这2026个数对都是“等积和数对”，求的值． 23．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，点D、E、F、G分别在边上，连接，满足，试说明：．（请根据下列书写过程，在横线上补充出依据） 解：， ∴，（ ） ∵ ∴，（ ） ∵ ∴ ∴，（ ） ∵， ∴，（ ） 24．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）2025年是中国人民抗日战争和世界反法西斯战争胜利的80周年，长征是中国革命事业的伟大转折点．如图是某单位“重走长征路”活动路线大致示意图，其中表示A点的坐标为，表示B点的坐标为． (1)在图中画出正确的平面直角坐标系； (2)表示C点的坐标为________，D点的坐标为________． 25．（25-26七年级上·河南南阳·期末）问题情境：如图1，，求的度数． （1）小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ，（ ① ） ．（ ② ） ， ． ． 问题迁移： （2）如图3，，当点在线段上运动时，，求与之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、三点不重合），请直接写出与之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：7 ~ 9章（相交线与平行线+实数+平面直角坐标系全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·广东江门·月考）在实数，，，，3.14，，中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，先化简所有能化简的数，再逐一判断得到无理数的个数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； ，是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； ∴ 无理数共有3个，故选B． 2．（25-26七年级下·河南安阳·月考）下列图形中，不是由平移设计的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 【详解】解：C选项是旋转设计，不是平移设计． 3．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：．与不是内错角，故该选项不符合题意； ．与是内错角，故该选项符合题意； ．与不是内错角，故该选项不符合题意； ．与不是内错角，故该选项不符合题意； 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（   ） A．钱塘明月号楼室 B．广州塔南偏西方向 C．东经，北纬 D．庆春电影院号厅的排座 【答案】B 【分析】本题考查了确定位置，解题的关键是根据坐标确定位置需要两个数据，对各选项分析判断后求解． 【详解】解：A、钱塘明月号楼室，位置明确，故本选项不符合题意； B、只有南偏西的方向，没有距离等补充数据，无法确定物体的具体位置，故本选项符合题意； C、东经，北纬，位置明确，故本选项不符合题意； D、庆春电影院号厅的排座，位置明确，故本选项不符合题意． 故选：B． 5．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，数轴上有四点，以下线段中，长度最接近的是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】根据数轴上点所在的位置，可得，，，再估算出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得，且点A表示的数大于且小于， ∴，即， ∵， ∵， ∴， ∴长度最接近的是线段． 6．（2026七年级下·河北·专题练习）将各顶点的纵坐标乘，得到新．若各顶点的坐标分别为A，，，则下列图像中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标变化规律是解题的关键．先根据纵坐标乘2的规则求出新三角形各顶点的坐标，再根据坐标判断对应的图像． 【详解】解：∵，，，将各顶点的纵坐标乘2， ∴，，， ∴新三角形的顶点坐标为，，， 故选：C． 7．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对2026逐步进行操作： ∵ ， ∴ ，可得第一次操作结果； ∵，， ∴ ，可得第二次操作结果； ∵， ∴，可得第三次操作结果； ∵，可得第四次操作结果； 因此对2026只需进行4次操作后变为2． 8．（2026·山西临汾·一模）如图，这是小宣在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后得到光线，若，反射角（等于入射角）的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据光的反射得出相等的角，然后根据垂直和平行线的性质求解． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26七年级下·山东济南·月考）将一副三角板按如图放置，，，；则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据三角板的度数，平行线的判定与性质以及角的和差进行证明判断即可得到答案． 【详解】解：， ， ，故①正确； ，， ，故②正确； ， ， ， ∴，故③正确； ， ， ，故④正确； 故正确的结论有①②③④共4个． 10．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，一支激光笔在点处射出一束激光，激光的射出方向与水平方向夹角为，每当激光碰到长方形的边时就会发生反射．已知激光第次碰到长方形边上的点为，激光第次碰到长方形边上的点为，，则激光第次碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标变化规律问题，解题的关键是根据题意画出符合要求的图形，找出其中的规律．画出激光的反射路线，可知激光经过次反射回到点，且，，，，，，再根据即可求解，由激光的反射路线得出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：如图，激光经过次反射回到点，且，，，，，， ∵， ∴点的坐标即为点的坐标， ∴激光第次碰到长方形边上的点的坐标为， 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·甘肃定西·月考）若，则__________． 【答案】或4 【分析】利用平方根求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或4． 12．（25-26七年级下·甘肃庆阳·月考）如图，小区附近要建立一个邮局，有位于直线l上的四个地点，，，可供选择，选择比较合适的地点是________，理由是__________． 【答案】 垂线段最短 【分析】利用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”解题即可． 【详解】解：由题意得， ∴由垂线段最短可得最短， ∴应选择将邮局建在处． ∴比较合适的地点是，理由是垂线段最短． 13．（25-26八年级上·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形的平移与点的坐标变化规律，是解题的关键． 先通过点，点确定平移方式，再由平移方式确定点的对应点的坐标． 【详解】解：∵点，点，平移线段，使点落在点处， ∴可得，向左平移4个单位，向上平移1个单位， ∴点向左平移4个单位，向上平移1个单位得到， 故答案为：． 14．（25-26七年级下·四川成都·月考）在四边形中，，在线段上任取一点E（不和点A、D重合），连接，过点B作交的延长线于点F，的角平分线和的角平分线交于点G，交于H，若，则______________度． 【答案】55 【分析】利用平行线的性质以及角平分线的定义，求出的度数，作，则，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 作，则， ∴，， ∴． 15．（25-26七年级下·内蒙古·月考）山西是中华民族的发祥地之一，被誉为“华夏文明摇篮”，素有“中国古代文化博物馆”之称．如图是山西的三个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若云冈石窟的坐标为，晋祠博物院的坐标为，则壶口瀑布的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，根据云冈石窟的坐标为，晋祠博物院的坐标为，来建立如图所示的平面直角坐标系，再找出壶口瀑布的坐标，即可作答． 【详解】解：∵云冈石窟的坐标为，晋祠博物院的坐标为， ∴建立如图所示的平面直角坐标系： 则壶口瀑布的坐标为 16．（25-26八年级上·北京顺义·期末）“调日法”是一种程序化寻找近似分数以表示天文数据或数学常数的方法．具体步骤为：若正实数x的不足近似分数和过剩近似分数分别为和（a，b，c，d均为正整数），即，则新分数是x的更精确的不足近似分数或过剩近似分数．重复这个过程，就会得到越来越逼近x的分数． 小明用“调日法”寻找（约）的近似分数，因为，所以调试前选取不足近似分数为，过剩近似分数为，调试的部分过程如下表： 不足近似分数 过剩近似分数 新分数 新分数的小数形式 更新范围 第1次 第2次 第3次 第4次 A B 则表格中的A处应填______，B处应填______． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，理解题中“调日法”的算法是解题的关键 根据调日法规则，新分数由不足近似分数和过剩近似分数的分子之和与分母之和的比得到，再比较新分数与的大小以确定更新方向． 【详解】解：第4次调试时，不足近似分数为，过剩近似分数为，新分数A的计算为，其小数形式为3.625． ∵，且，即新分数大于， ∴新分数为过剩近似分数．更新后，不足近似分数保持不变，过剩近似分数更新为， ∴更新范围B为． 故答案为：，． 三、解答题（9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17．（25-26七年级下·甘肃定西·月考）解方程或者计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 两边开方，得， 解得； （2）解：， 两边同除以，得， 两边开立方，得， 解得； （3）解： ； （4）解： ． 18．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． (1)两个锐角的和是锐角； (2)0既不是正数，也不是负数． 【答案】(1)假命题，满足都是锐角，但是不满足与的和是锐角 (2)真命题 【分析】（1）两个锐角的和可以是锐角，也可以是直角，也可以是钝角，据此求解即可； （2）根据0的意义可得答案． 【详解】（1）解：命题“两个锐角的和是锐角”是一个假命题，例如，满足都是锐角，但是不满足与的和是锐角； （2）解：命题“0既不是正数，也不是负数”是真命题． 19．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点的坐标； (2)若将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，平移的性质，正确掌握相关特征是解题的关键． （1）根据第二象限中点的符号特点，列出不等式，解得a的取值范围，再根据横、纵坐标都是整数，即可求解； （2）根据平移的性质，易得平移后点的坐标为，再根据横纵坐标相等，列出方程，求出a的值即可求解． 【详解】（1）解：点位于第二象限， ，， ， 横、纵坐标都是整数， ， ，， 的坐标为； （2）将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到新的坐标为 横纵坐标相等， ，解得， 点． 20．（24-25七年级下·陕西安康·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】（1）由，即可得出a的值．再根据，即可求出b的值，最后计算即可； （2）由，且，其中x是整数，且，即可求出x和y的值，再计算出，最后利用相反数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，的小数部分为a， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵的整数部分为b， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 21．（25-26七年级下·广西南宁·月考）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为3，求图中阴影部分的面积． 【答案】21 【分析】根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，然后利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， 由平移可知，， ． ∴图中阴影部分的面积为21． 22．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）定义：若实数对满足，则称其为“等积和数对”． (1)若是“等积和数对”，求的值． (2)若是“等积和数对”，求的取值范围． (3)若，，，…，这2026个数对都是“等积和数对”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“等积和数对”的定义计算即可得出结果； （2）根据“等积和数对”的定义计算即可得出结果； （3）根据“等积和数对”的定义可得，从而得出，同理可得，，……，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是“等积和数对”， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是“等积和数对”， ∴， ∴， ∵对有解， ∴， ∴； （3）解：∵是“等积和数对”， ∴，且时， ∴， 同理可得：，，……， ∴ ． 23．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，点D、E、F、G分别在边上，连接，满足，试说明：．（请根据下列书写过程，在横线上补充出依据） 解：， ∴，（ ） ∵ ∴，（ ） ∵ ∴ ∴，（ ） ∵， ∴，（ ） 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定与性质逐步分析即可解答． 【详解】解：， ∴，（同旁内角互补、两直线平行） ∵ ∴，（两直线平行，内错角相等 ） ∵， ∴ ∴，（同位角相等、两直线平行） ∵， ∴，（两直线平行，同位角相等）． 24．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）2025年是中国人民抗日战争和世界反法西斯战争胜利的80周年，长征是中国革命事业的伟大转折点．如图是某单位“重走长征路”活动路线大致示意图，其中表示A点的坐标为，表示B点的坐标为． (1)在图中画出正确的平面直角坐标系； (2)表示C点的坐标为________，D点的坐标为________． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表示A点的坐标为，表示B点的坐标为，确定平面直角坐标系的原点位置，再画出正确的平面直角坐标系，即可作答； （2）直接读取（1）的图，得表示C点的坐标为D点的坐标为，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，表示A点的坐标为，表示B点的坐标为， 故画出平面直角坐标系，如图所示： （2）解：观察（1）中的图，得． 25．（25-26七年级上·河南南阳·期末）问题情境：如图1，，求的度数． （1）小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ，（ ① ） ．（ ② ） ， ． ． 问题迁移： （2）如图3，，当点在线段上运动时，，求与之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、三点不重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补（2），理由见解析（3）或，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定并且作出平行的辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线的判定与性质填写即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，代入，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：点在的延长线上，点在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图2，过点作， ， ， （平行于同一条直线的两条直线互相平行） ，． （两直线平行，同旁内角互补） ，， ，． ． （2），理由：过点作交于点， ， ， ，， ； （3）或， 当点在延长线上时，过点作交延长线于点， ， ， ，， ； 当点在延长线上时，过点作交于点， ， ， ，， ， 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $