精品解析：河南省开封高级中学2025-2026学年高一下学期学情调研数学试题

开封高中28届高一下学期学情调研 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标运算直接构造方程求解即可. 【详解】设，则，解得：，，. 故选：C. 2. 若向量，满足，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件结合数量积公式化简即可求解. 【详解】因为，，即，，求得，所以向量与的夹角为. 故选：B 3. 在中，角的对边分别是. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理即可求出. 【详解】因为， 由正弦定理得，即. 故选：C. 4. 设，，是单位向量，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，，得，，． 5. 在中，若，，则形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰但不等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且，所以. 因为，由正弦定理得， 因为，所以. 因为，所以，所以. 故为等边三角形． 6. 已知向量､､在正方形网格中的位置如图所示，若λμ（λ，μ∈R），则λ+μ=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，然后求出的坐标，然后代入λμ（λ，μ∈R），即可求出λ，μ的值. 【详解】解：如图建立平面直角坐标系，可令，，， 代入λμ（λ，μ∈R）得：， 即，解得，所以. 故选：B. 7. 已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，推导出四边形为菱形，设，则为的中点，且，再利用投影向量的定义可得结果. 【详解】连接、， 因为，则，所以，且， 又因为，则四边形为菱形， 设，则为的中点，且， 因此，在上的投影向量为， 故选：A. 8. 已知在中，，，动点位于线段上，当取得最小值时，向量与的夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系， 设点，，设向量与的夹角为，利用坐标法，由取得最小值时得到，从而得解. 【详解】解：以所在的直线为轴，以为原点，建立平面直角坐标系， 则，，，设点，， 设向量与的夹角为，， 可得 ， 故当时，的最小值为， 此时，，， 则， ， 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】将，变形为求解. 【详解】因为， 所以， 即， 因为，所以或， 故选：AC 10. 设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点M是BC的中点 B. 若，则点M是的重心 C. 若，则点M，B，C三点共线 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及重心的性质，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A中，如图所示，根据向量的平行四边形法则，可得， 若，可得M为BC的中点，所以A正确； 对于B中，若M为的重心，则满足， 即，所以B不正确； 对于C中，由，可得，即， 所以M，B，C三点共线，所以C正确； 对于D中，如图所示，由， 可得，所以D正确． 故选：ACD 11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简，可判断A;结合锐角，可判断B;利用正弦定理边化角结合三角函数性质判断C;将化简为，结合A的范围，利用对勾函数单调性，可判断D. 【详解】由题意得在锐角中，， ∴由正弦定理可得 ， 又 ， 故 ，即， ，为锐角， ， 即 ，故选项A正确； 在锐角中，，，故B正确； 由，故C错误； , 又 ， ， 令，则， 由对勾函数性质可知，在时单调递增， ，， 故，故D正确． 故选： ． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量共线的坐标运算求解. 【详解】点在线段的延长线上，与方向相反， 由，则有， 设，则，即， 解得，故点的坐标为. 故答案为： 13. 设经过△的重心的直线与，分别交于，两点.若，，，，则的最小值________________. 【答案】； 【解析】 【分析】 应用向量减法在几何中的应用有，，结合三点共线知，即可得，结合基本不等式求的最小值即可 【详解】设，，又为△的重心 ∴在△中， ∵，，有， ∴， 又P，Q，G三点共线，知存在实数，使得 ，可得，， ∴，当且仅当时等号成立 故答案为： 【点睛】本题考查了向量线性运算及共线定理的应用，利用基本不等式求最值；首先根据向量减法的三角形法则将相关线段以向量的形式表示它们之间的关系，再由三点共线定理得到方程组并得到相关参数的数量关系，最后结合基本不等式求最值 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】在中，因为，由正弦定理得， 解得，由余弦定理得， 化简得，由正弦定理得， 所以， 而，为三角形内角，所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设向量的坐标，由模的坐标表示，及向量平行的坐标表示列得关于的方程组，求解可得向量的坐标； （2）由数量积的运算律及向量夹角公式可得. 【小问1详解】 设，由，且， 得 所以或 故或； 【小问2详解】 因为，，且， 所以，即. 所以， 即. 因为夹角，所以与的夹角． 16. 在平面四边形中，，，，. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）方法一：根据正弦定理得到，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得； （2）方法一：根据第一问的结论可以求得，在中，根据余弦定理即可求出． 【详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系 在中，由正弦定理得，代入数值并解得．又因为，所以，即为锐角，所以． ［方法2］：余弦定理 在中，，即，解得：，所以， ． ［方法3］：【最优解】利用平面几何知识 如图，过B点作，垂足为E，，垂足为F．在中，因为，，所以．在中，因为，则． 所以． ［方法4］：坐标法 以D为坐标原点，为x轴，为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）． 设，则．因为，所以． 从而，又是锐角，所以，． （2）［方法1］：【通性通法】余弦定理 在，由（1）得，， ，所以． ［方法2］：【最优解】利用平面几何知识 作，垂足为F，易求，，，由勾股定理得． 【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法； 方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法； 方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算． 方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现． （2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法． 方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算． 17. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，且. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果； （2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值. 【详解】（1）因为，则，则，故，， ，所以，为锐角，则， 因此，； （2）显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故. 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求A的值； （2）若，，当的周长最小时，求的值； （3）若，，且的面积为，求的长度. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简得到，利用辅助角公式得到，结合角A的范围，求出A；（2）利用余弦定理，基本不等式求出周长最小值及此时的值；（3）由面积公式得到，结合正弦定理得到，求出，由余弦定理求出答案. 【小问1详解】 由及正弦定理， 得， 因为，且， 所以，即， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，得， 将代入，整理，得， 因为，所以的周长为， 当且仅当，即时取等号， 所以当的周长最小时，； 【小问3详解】 由的面积为，得， 所以①， 又，所以，， 由正弦定理，得，② 由①②可得， 因为，所以， 在中，由余弦定理，得， 所以. 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求． （2）已知向量，，证明：． （3）若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①若的从小到大依次为，求n． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）①760；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先由题设得到，接着由结合数量积的运算律计算即可求出； （2）先由题设得，再由结合数量积的运算律计算得证； （3）①先由（2）化简，进而将题设等价于方程的根，作出的图象，结合函数的周期分析求解即可；②令，由和结合零点存在定理得，再结合①得到及其大小范围即可得解. 【小问1详解】 因为向量，所以， 又因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 证明：因为向量， 所以， 所以 化简得； 【小问3详解】 由（2）得，化简得， 所以， 则方程的根等价于的根， 如图所示，在的一个周期内，方程根的个数为3， 因为， 则当，根的个数， ②，理由如下： 令，则， 又因为，所以， 又因为，所以，由零点存在定理可得， 由（1）可知在上单调递减， 所以，即，所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封高中28届高一下学期学情调研 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，满足，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角的对边分别是. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，是单位向量，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 在中，若，，则形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰但不等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 已知向量､､在正方形网格中的位置如图所示，若λμ（λ，μ∈R），则λ+μ=（ ） A. B. C. D. 7. 已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在中，，，动点位于线段上，当取得最小值时，向量与的夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点M是BC的中点 B. 若，则点M是的重心 C. 若，则点M，B，C三点共线 D. 若，则 11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 13. 设经过△的重心的直线与，分别交于，两点.若，，，，则的最小值________________. 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则_____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角． 16. 在平面四边形中，，，，. （1）求； （2）若，求. 17. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求A的值； （2）若，，当的周长最小时，求的值； （3）若，，且的面积为，求的长度. 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求． （2）已知向量，，证明：． （3）若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①若的从小到大依次为，求n． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $