精品解析：湖北省直辖县级行政单位潜江市初中联考协作体八年级4月阶段检测2025-2026学年八年级下学期4月阶段检测

2025-2026学年度下学期八年级四月联考 数学试卷 （总分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若x为任意实数，下列各式中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，形如的式子是二次根式，本题要求为任意实数时，式子一定是二次根式，只需判断哪个选项的被开方数对任意实数恒为非负数即可． 【详解】解：∵为任意实数，二次根式要求被开方数恒为非负数， 对选项A，当时，，不符合要求； 对选项B，当时，，不符合要求； 对选项C，当时，，不符合要求； 对选项D，∵对任意实数，都有，∴，恒满足被开方数非负 ∴一定是二次根式， 故选D． 2. 若二次根式，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与绝对值的性质，解题思路是利用二次根式性质将原式化简为绝对值形式，再根据绝对值的性质列不等式求解x的范围 【详解】解：根据二次根式的性质可得 ， ∴ ， 由题意得 ， 根据绝对值的性质：若，则， 得 ， 解得 3. 下列计算或化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，故正确． 4. 在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一判断各选项，即可得到不能判定为直角三角形的结果． 【详解】解：A．∵ ∴，符合勾股定理的逆定理 ∴是直角三角形，不符合要求； B．∵，三角形内角和为， 设，，， ∴， 解得：， ∴最大角， ∴不能判定为直角三角形，符合要求； C．∵， 设，，， ∴， ， ∴，符合勾股定理的逆定理，能判定是直角三角形，不符合要求； D．∵，， ∴，得， ∴能判定是直角三角形，不符合要求． 5. 如图，在中，，，，在数轴上，点B对应的数为1，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， 点B对应的数为1， 点D表示的数是， 故选：A． 6. 若为正整数，是整数，则m的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据m是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为3． 7. 已知实数a，b满足，则的值为（ ） A. 3 B. 7 C. 10 D. 3或7 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）求出a的值，再代入计算得到b的值，最后求出即可 【详解】解：∵二次根式中被开方数为非负数， ∴不等式组， 解得且， ∴， 将代入得， ∴ 8. 如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中点，，，能与点，构成一个直角三角形的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键． 证明直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ， ∴直角三角形， ∴点符合题意， 故选：D． 9. 如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（ ） A. B. 16 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由平行四边形的性质得，因为交于点，所以垂直平分，则，而，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，，对角线相交于点， ， 交于点， 垂直平分， ， ， ， 是直角三角形，且， ， ． 10. 如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，甲船从B处行至小岛C的速度是（ ） A. 海里/小时 B. 15海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作，垂足为M，根据题意知，可推知，，分别在与中依据已知的特殊角、已知边，可逐一求出的长，于是的长度可求出．先依据的距离与乙船航行的速度可求得乙船航行的时间，然后求出甲船从B处行至小岛C的时间，最后求得甲船此段航行的速度． 【小问1详解】 解：如图，过点B作，垂足为M， 由题意得，，°， 设指示南北方向，点N在线段上，则， ∴． 由题意知，， ∴ 在中，海里， ∴海里，海里， 在中，， ∴海里， ∴海里， 在中，海里， ∴ （海里）， ∴乙船行驶的时间为小时， ∴甲船从B处行至小岛C的时间为（小时）． ∴甲船从B处行至小岛C的速度为（海里/时）． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 一个正多边形的每个外角为，那么这个正多边形的内角和是________． 【答案】##1260度 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角．先利用多边形的外角和为计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可． 【详解】解：这个正多边形的边数为， ∴这个正多边形的内角和是， 故答案为：． 12. 已知直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，则直线与之间的距离是_____cm． 【答案】8或2 【解析】 【分析】本题考查了平行线间的距离，掌握平行线间的距离是垂线段的长度，需分情况讨论位置关系是解题的关键． 由于三条直线互相平行，直线与的距离取决于它们相对于直线的位置，有两种情况：直线在与之间或与在的同一侧． 【详解】解：当直线在直线与之间时，直线与的距离为； 当直线与在直线的同一侧时，直线与的距离为． 故答案为：或． 13. 如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，，则的长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，根据基本作图，得到，利用平行四边形的性质，得，在中，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，连接， 根据基本作图，可设， ∵，，， ∴，，， 在中，，由勾股定理得， ∴， 解得， 即， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的基本作图，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键． 14. 如图，，以的三边为边向外分别作正方形．然后以两个小正方形的边向外分别作两直角边之比为的直角三角形，再以得到的直角三角形的两直角边为边向外作正方形，则图中所有的正方形的面积之和为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，进而求出三边构造的正方形面积，再由以直角三角形三边向外所作的正方形面积关系求解即可． 【详解】解：如图所示： 在中，，则， ， ， ． 15. 如图所示，一只蚂蚁以的速度从点M爬到点N，最快需要时间为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开图，利用勾股定理求最短路径问题，要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的做法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：①展开正面和右面，如图，连接， ∵长，高， ∴， ②展开正面和上面， 如图，连接， ∴， ③展开左面和上面， ∴， ∴爬行的最短距离为， ∴最快需要时间为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 如图，的网格中每个小正方形的边长均为1，请你在网格上分别按照要求设计一个顶点都在格点上的直角三角形． （1）直角三角形的三边中有一边长是无理数； （2）直角三角形的三边中有两边长是无理数； （3）直角三角形的三边长都是无理数． 【答案】（1） 如图①，即为所求； （2） 如图②，即为所求； （3） 如图③，即为所求； 【解析】 【分析】（1）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）； （2）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）； （3）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 求代数式的值，其中． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 19. 如图，在中，于点，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据勾股定理求解即可； 【详解】， ， 设，， 和中， ， ， ， ． 20. 如图，在中，，的平分线交于点E，连接．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的对边相互平行和平行线的性质得到；然后由角平分线的性质求得；最后根据等腰三角形的性质解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴． ∴． ∵是的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． 21. 如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，两点停止运动，当是直角三角形时，求运动时间t． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，是直角三角形分两种情况，一是，二是，分别求解即可． 【详解】解：依题意得 是边长的等边三角形 ， ， 当时， ，即得， 当时， ，即得， 故当或时，是直角三角形． 22. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿直线从左向右移动，已知点C为一海港，点C与直线上A，B两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求证： （2）通过分析可知，海港C会受到台风影响，请说明理由； （3）若台风的速度为，则台风持续影响该海港多长时间？ 【答案】（1） ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； （2）海港C会受到台风影响， 理由如下： 如图所示，过点C作于D点， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （3）台风持续影响该海港 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 23. 观察下列各式： ， ， ； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想__________； （2）归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式__________； （3）应用计算．； （4）拓展应用：化简下列式子； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据题目中式子的特点进行求解； （2）根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律； （3）将式子算：改写为，运用规律进行求解； （4）运用规律对算式进行改写、计算． 此题考查了二次根式运算规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳、应用． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：由（2）题结论可得， ． 【小问4详解】 解：由（2）题结论可得， ． 24. 如图1，在中，，，E，F是边上的两点，且．过点A作，且，连接．求证： （1）； （2）； （3）如图2，点P为等腰直角内一点，，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1） ∵，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， （2） 连接， 由（1）得：，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）， 证明如下： 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定即可证明； （2）连接，根据全等三角形的判定得出，再利用勾股定理求解即可； （3）根据全等三角形的判定得出，确定，再由等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，再证明，则，可证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期八年级四月联考 数学试卷 （总分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若x为任意实数，下列各式中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算或化简正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，在数轴上，点B对应的数为1，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（） A. B. C. D. 6. 若为正整数，是整数，则m的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知实数a，b满足，则的值为（ ） A. 3 B. 7 C. 10 D. 3或7 8. 如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中点，，，能与点，构成一个直角三角形的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 9. 如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（ ） A. B. 16 C. 12 D. 13 10. 如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，甲船从B处行至小岛C的速度是（ ） A. 海里/小时 B. 15海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 一个正多边形的每个外角为，那么这个正多边形的内角和是________． 12. 已知直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，则直线与之间的距离是_____cm． 13. 如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，，则的长为_________． 14. 如图，，以的三边为边向外分别作正方形．然后以两个小正方形的边向外分别作两直角边之比为的直角三角形，再以得到的直角三角形的两直角边为边向外作正方形，则图中所有的正方形的面积之和为____________． 15. 如图所示，一只蚂蚁以的速度从点M爬到点N，最快需要时间为________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） 17. 如图，的网格中每个小正方形的边长均为1，请你在网格上分别按照要求设计一个顶点都在格点上的直角三角形． （1）直角三角形的三边中有一边长是无理数； （2）直角三角形的三边中有两边长是无理数； （3）直角三角形的三边长都是无理数． 18. 求代数式的值，其中． 19. 如图，在中，于点，，，，求的长． 20. 如图，在中，，的平分线交于点E，连接．若，求的度数． 21. 如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，两点停止运动，当是直角三角形时，求运动时间t． 22. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿直线从左向右移动，已知点C为一海港，点C与直线上A，B两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求证： （2）通过分析可知，海港C会受到台风影响，请说明理由； （3）若台风的速度为，则台风持续影响该海港多长时间？ 23. 观察下列各式： ， ， ； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想__________； （2）归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式__________； （3）应用计算．； （4）拓展应用：化简下列式子； 24. 如图1，在中，，，E，F是边上的两点，且．过点A作，且，连接．求证： （1）； （2）； （3）如图2，点P为等腰直角内一点，，请直接写出线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $