精品解析：湖北省襄阳市樊城区襄阳市第二十一中学2024-2025学年八年级下学期3月学情自测数学试题

2024-2025学年八年级下学期数学三月质量检测 一、单进题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是二次根式，故本选项不符合题意； B、因为-2<0，所以不是二次根式，故本选项不符合题意； C、是二次根式，故本选项符合题意； D、当x＜0时不是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解此题的关键，注意：形如(a≥0)的形式，叫二次根式． 2. 如果二次根式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，则x+3≥0即可得到结果． 【详解】解：依题意有x+3≥0， 即x≥-3时，二次根式有意义． 故选：C． 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘法运算进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 5. 在中，已知其中两直角边长，，那么斜边c的长为（　　） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理可以求得斜边c的长． 【详解】解：∵是直角三角形，两直角边长， ∴斜边c为：， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识求出斜边的长． 6. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴A不可以组成直角三角形； ∵， ∴B不可以组成直角三角形； ∵， ∴C不可以组成直角三角形； ∵， ∴D可以组成直角三角形， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 7. 如图所示，在中，，分别以、、为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为、、，则的值为（　　） A. 25 B. 175 C. 600 D. 625 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，由勾股定理得，， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键在于熟练掌握勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，则有． 8. 下列各命题的逆命题成立的是（　　） A. 两条直线平行，同位角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】A 【解析】 【分析】首先将各个选项的逆命题，再判定是否成立，A选项成立，B选项正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，C选项明显不成立，D选项对应角相等的三角形不一定全等.故选A. 【详解】解：A选项逆命题为：同位角相等，两条直线平行，逆命题成立； B选项逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不成立； C选项逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立； D选项逆命题为：对应角相等的三角形全等，不成立. 故选A. 【点睛】此题主要考查逆命题的判定，熟练掌握概念，即可得解. 9. 八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．若松松同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线（ ）米． A. 7 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设风筝下降到点M处，连接，利用勾股定理分别求得、，即可求解． 【详解】解：如图，设风筝下降到点M处，连接，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求得、是解答的关键． 10. 一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（ ）． A. 13 B. 15 C. D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】将圆柱的侧面展开得到一个长方形，则根据两点之间线段最短可得出最短路径．而长方形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理可得出结果． 【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知最短． 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得， 即小虫爬的最短路径长为． 二、填空周（每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 12. 边长为6cm的等边三角形面积是___． 【答案】 【解析】 【分析】利用等边三角形三线合一，求出等边三角形的高，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，为等边三角形，， 过点作，交于点， 则：， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的三边相等，三线合一，是解题的关键． 13. 计算的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的减法运算法则求解即可． 【详解】解：． 14. 在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标系中两点的距离计算，坐标系中两点的距离为，据此计算求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是， 故答案为：． 15. 在中，若，，高，则的面积是___________ 【答案】66或126 【解析】 【分析】需要分两种情况，①为锐角三角形，②为钝角三角形，分别求出底的长，再代入面积公式即可； 【详解】分两种情况考虑： ①当为锐角三角形时，如图1所示， ∵， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得： ， 在中，，， 根据勾股定理得： ， ∴， 则； ②当为钝角三角形时，如图2所示， ∵， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得： ， 在中，，， 根据勾股定理得： ， ∴， 则； 综上，的面积为66或126 故答案为66或126. 【点睛】此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的数学思想，灵活运用勾股定理是解本题的关键. 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式加法即可； （2）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算二次根式加法即可； （3）先化简二次根式，再计算括号内的加减法，最后计算除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 已知．求的值． 【答案】18 【解析】 【分析】求出和的值，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ． 18. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为米，将秋千往前推送米，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为米，秋千的绳索始终保持拉直的状态 （1）求秋千的长度； （2）如果想要踏板离地的垂直高度为1.8米时，需要将秋千往前推送 米 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】（1）设米，则米，在中，由勾股定理得出方程求解即可； （2）由题意得出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：由题意知，米，米，米， ∴（米）， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 即秋千的长度为米； 【小问2详解】 解：∵踏板离地的垂直高度为米， ∴（米）， ∴（米）， 即需要将秋千往前推送米． 19. 如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的F处，折痕为.已知. （1）求证：. （2）求. 【答案】（1） 证明：由折叠性质，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠性质和等腰三角形性质得出，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可； （2）根据折叠性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ 在中，， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查折叠性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两锐角互余、勾股定理，熟练掌握折叠性质和等腰三角形的性质，利用勾股定理建立方程思想是解答的关键． 20. 如图，两个村庄A、B在河的同侧，A、B两村到河的距离分别为千米，千米，千米.现要在河边上建造一水厂，向A、B两村送自来水（水管需直接到A、B村）. （1）水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短（请你在图中设计出水厂的位置）： （2）如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？ 【答案】（1） 如图，作点A的对称点E，连接，交于点P，点P的位置就是修建水厂的位置 （2）元 【解析】 【分析】（1）属于“将军饮马”类型的题目，作点A的对称点E，连接，与的交点的位置就是修建水厂的位置 （2）先作出直角三角形，再利用勾股定理即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点E，作的垂线，交的延长线于点F 元 答：最节省的铺设水管的费用为元 【点睛】本题考查“将军饮马”类型题的作图，以及勾股定理，准确作图是解题的关键 21. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口2小时后分别位于Q、R处，且相距40海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】“海天”号沿北偏西45°（或西北）方向航行 【解析】 【分析】求出的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海天”号航行方向． 【详解】解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵“远航”号沿东北方向航行，即沿北偏东45°方向航行， ∴， ∴“海天”号沿北偏西（或西北）方向航行． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 22. 已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BA＝AC，点E、F是线段BC上两动点且∠EAF＝45°，请写出BE、EF、FC之间的等量关系并证明. 【答案】BE2+ FC2= EF2 证明：如图，将△ABE逆时针旋转90度到△ACD的位置，点B、E的对应点为点C、D， ∴AE=AD，∠BAE=∠CAD，BE=CD， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠FAC＝45°， ∴∠CAD +∠FAC＝45°， ∴∠EAF＝∠FAD＝45°， 又∵AE=AD，AF=AF， ∴△AEF≌△ADF（SAS）， ∴EF＝DF， ∵∠ACD＝∠ABE＝∠ACB＝45°， ∴∠FCD＝90°， ∴FC2+CD2=DF2，即BE2+ FC2= EF2. 【解析】 【分析】将△ABE逆时针旋转90度到△ACD的位置，点B、E的对应点为点C、D，首先证明∠EAF＝∠FAD＝45°，然后利用SAS证明△AEF≌△ADF，得到EF＝DF，求出∠FCD＝90°，根据勾股定理可得结论. 【详解】略 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 23. 如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转至，的平分线与射线相交于点E，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转至，的平分线与射线相交于点E， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴； （2） 证明：如图，将绕点顺时针旋转得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， ． 【解析】 【分析】（1）证明，即可得证； （2）将绕点顺时针旋转得，易得：，证明三点共线，得到，再根据，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．解题的关键是掌握旋转的性质，通过旋转构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点分别是，其中a、b满足，P为x轴上一动点． （1）求B点的坐标． （2）如图1，若P为C点右侧x轴上一点，D为中点，E为的中点，判断的值是否发生变化，若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． （3）如图2，P是上一动点，将绕点P顺时针旋转至，连，在点P运动过程中，的最小值为___．（直接写出结果） 【答案】（1） （2）不变， （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的性质，求出的值，进而求出点的坐标即可； （2）设，中点坐标公式求出点的坐标，两点间距离公式，求出，即可得出结论； （3）设，过点作，易证，进而表示出点坐标，利用两点间距离公式，表示出，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 不变； 由（1）可得：， ∵D为中点， ∴， 设，则：， ∵E为的中点， ∴，即：， ∴， ∴； 【小问3详解】 过点作，交于点，则：， ∵将绕点P顺时针旋转至， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴当时，有最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形．熟练掌握二次根式的性质，中点坐标公式，两点间的距离公式，以及配方法，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级下学期数学三月质量检测 一、单进题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果二次根式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知其中两直角边长，，那么斜边c的长为（　　） A. 3 B. 4 C. D. 6. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 7. 如图所示，在中，，分别以、、为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为、、，则的值为（　　） A. 25 B. 175 C. 600 D. 625 8. 下列各命题的逆命题成立的是（　　） A. 两条直线平行，同位角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 全等三角形的对应角相等 9. 八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．若松松同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线（ ）米． A. 7 B. 8 C. D. 10. 一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（ ）． A. 13 B. 15 C. D. 18 二、填空周（每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 12. 边长为6cm的等边三角形面积是___． 13. 计算的结果是_______． 14. 在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是____________． 15. 在中，若，，高，则的面积是___________ 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） （3） 17. 已知．求的值． 18. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为米，将秋千往前推送米，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为米，秋千的绳索始终保持拉直的状态 （1）求秋千的长度； （2）如果想要踏板离地的垂直高度为1.8米时，需要将秋千往前推送 米 19. 如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的F处，折痕为.已知. （1）求证：. （2）求. 20. 如图，两个村庄A、B在河的同侧，A、B两村到河的距离分别为千米，千米，千米.现要在河边上建造一水厂，向A、B两村送自来水（水管需直接到A、B村）. （1）水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短（请你在图中设计出水厂的位置）： （2）如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？ 21. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口2小时后分别位于Q、R处，且相距40海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 22. 已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BA＝AC，点E、F是线段BC上两动点且∠EAF＝45°，请写出BE、EF、FC之间的等量关系并证明. 23. 如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转至，的平分线与射线相交于点E，连接． （1）求证：； （2）求证：． 24. 在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点分别是，其中a、b满足，P为x轴上一动点． （1）求B点的坐标． （2）如图1，若P为C点右侧x轴上一点，D为中点，E为的中点，判断的值是否发生变化，若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． （3）如图2，P是上一动点，将绕点P顺时针旋转至，连，在点P运动过程中，的最小值为___．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $