二元一次方程组的应用：和差倍分问题、销售与利润问题、方案选择问题讲义-2025-2026学年 人教版七年级数学下册

二元一次方程组的应用：和差倍分问题、销售与利润问题、方案选择问题讲义 二元一次方程组的应用：和差倍分问题、销售与利润问题、方案选择问题讲义 考点目录 和差倍分问题 销售与利润问题 方案选择问题 考点一 和差倍分问题 【知识点解析】 一、解题原理 围绕数量的和、差、倍数、比例关系找等量，未知量多为两类相关数量（如甲/乙的量、原/现的量），用等式表示数量间的和差倍分关系，列方程组求解。 二、 解题思路（四步法） 1. 设未知：设两类核心数量为、（如甲为，乙为）； 2. 找等量：紧扣题干关键词找2个等量——① 和差：“共/和/多/少/相差”；② 倍分：“是几倍/占几分之几/比…多几倍”； 3. 列方程：用、表示等量关系，列二元一次方程组； 4. 解验证：消元求解，验证结果符合数量实际意义（非负、整数等）。 关键：区分“是几倍”和“多几倍”，避免倍数关系列错。 【例题分析】 例1．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）王洋准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ (2)现有30吨梨子，王洋计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有多少种租车方案？ (3)若1辆甲型车需租金180元/次，1辆乙型车需租金150元/次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨 (2)共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，6辆乙型车；方案2：租用6辆甲型车，2辆乙型车 (3)租用6辆甲型车和2辆乙型车最省钱，最少租车费用为1380元 【详解】（1）解：设1辆甲型车装满梨子一次可运货x吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货y吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨． （2）解：依题意，得：， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，；当时，． ∴共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，6辆乙型车；方案2：租用6辆甲型车，2辆乙型车． （3）解：方案1所需租金（元）； 方案2所需租金（元）． ∵， ∴租用6辆甲型车和2辆乙型车最省钱，最少租车费用为1380元． 例2．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 【答案】(1)租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 (2)一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位 【详解】（1）解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，得 解得； 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． （2）解：设一辆乙型客车有个座位，则一辆甲型客车有个座位，根据题意，得 解得， 答：一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位． 例3．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克． (1)求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克； (2)已知1架型无人机的单次租金为150元，1架型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元． 【答案】(1)1架A型无人机一次可配送货物100千克，1架B型无人机一次可配送货物60千克 (2)租金更少的租用方案是租用8架A型无人机和1架B型无人机，节省了50元 【详解】（1）解：设1架型无人机一次可配送千克，1架型无人机一次可配送千克， 根据题意，得，解得：， 答：1架型无人机一次可配送100千克，1架型无人机一次可配送60千克． （2）解：选择方案：选8架型无人机和1架型无人机配送． 由（1）得1架型无人机一次可配送100千克，1架型无人机一次可配送60千克， 当按原计划租用9架A型无人机的运力为（千克），符合要求；此时，该方案的费用为（元）； 当租用8架A型无人机和1架B型无人机的运力为（千克），符合要求，此时，该方案的费用为（元）． 当租用7架A型无人机和2架B型无人机的运力为（千克），不符合要求； ∵， ∴选8架型无人机和1架型无人机配送的租金更少； ∴该方案节省的费用为（元）． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； (2)共有3种购买方案：方案1：购买10本笔记本，27支钢笔；方案2：购买20本笔记本，18支钢笔；方案3：购买30本笔记本，9支钢笔 【详解】（1）解：设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； （2）解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 根据题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买10本笔记本，27支钢笔； 方案2：购买20本笔记本，18支钢笔； 方案3：购买30本笔记本，9支钢笔． 变式2．（25-26七年级上·重庆合川·期末）“杀年猪，吃刨汤”是合川人民岁末的传统习俗．为了接待全国各地游客前来体验该活动，合川某生态园计划采购白猪和黑猪共650头，由于游客人数大大超过预期，该生态园实际采购两种猪共900头，其中白猪和黑猪的采购数量分别比原计划增长和． (1)该生态园实际采购白猪和黑猪分别为多少头？ (2)若白猪采购价格为每头3000元，黑猪采购价格为每头4000元，每头白猪的加工费是它价格的，每头黑猪的加工费是它价格的．一热心网友赠送了一批白猪，数量为白猪实际采购数量的，且赠送的白猪与采购的白猪均全部运输到位；而黑猪受到天气的影响，运输到位的数量比实际采购数量减少了，若所有运输到位的猪均被加工完毕，该生态园这些猪的加工费共花了81850元，求a的值． 【答案】(1)实际采购白猪500头，黑猪400头 (2)5 【详解】（1）解：设原计划采购白猪x头，黑猪y头， 由题意得：， 解得， （头）， （头）， 答：实际采购白猪500头，黑猪400头． （2）解：由题意得， 整理得， 解得， 答：a的值为5． 变式3．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹 (2)有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 根据题意得， 解得， 答：大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹； （2）解：设配件要买个，配件要买个． 根据题意得：， 整理得：，即， 因为和都为正整数， 所以符合条件的解为或， 答：有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个． 考点二 销售与利润问题 【知识点解析】 一、解题原理 依托销售核心公式找等量，未知量多为进价/售价、销量、单价等，利用“总价、单价、数量”和“利润、成本、利润率”的公式，结合题干中的销售场景（如两种方案、前后销售）列方程组。 二、解题思路（四步法） 1. 设未知：设销售中的两个未知量（如进价、售价；甲单价、乙单价）； 2. 找等量：紧扣2类核心公式找等量——① 基础销售：总价=单价×数量；② 利润：利润=售价-进价=进价×利润率，总利润=单件利润×销量； 3. 列方程：结合题干销售条件（如两种组合的总价/总利润），用公式列二元一次方程组； 4. 解验证：消元求解，验证单价、利润等为正数，符合实际销售逻辑。 关键：熟记利润公式，区分“单件利润”和“总利润”、“进价”和“售价”。 【例题分析】 例1．（24-25七年级下·山东聊城·期中）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件? (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【答案】(1)该超市购进甲商品150件，乙商品90件 (2)以五折售出的乙商品有70件 【详解】（1）解：设购进甲，乙商品分别为m，n件， 依题意可知：， 解得：， 答：该超市第一次购进甲种商品件、乙种商品件； （2）解：设以五折售出的乙商品有y件， 根据题意得：， 解得：， 故以五折售出的乙商品有70件． 例2．（25-26七年级下·河南周口·月考）某商店购进两种商品共件， 商品每件进价元， 商品每件进价元，总进价为元． (1)求两种商品各购进多少件？ (2)若商品每件售价元， 商品每件售价元，全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)商品购进件， 商品购进件； (2)元． 【详解】（1）解：设商品购进件，商品购进件， 根据题意得： ， 解得：， 答：商品购进件，商品购进件； （2）解：获利：（元），获利：（元）， 总获利：（元）． 例3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和1瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元． (1)求甲、乙两种消毒液的单价； (2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量． 【答案】(1)甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元 (2)分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个 【详解】（1）解：设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元， 依题意得， 解得， 答：甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元； （2）解：设需要的空瓶个，的空瓶个， 依题意得， ， 均为非负整数， 则， 解得，即或或， 或或， 当时，总损耗为； 当时，总损耗为； 当时，总损耗为； ， 分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个． 【变式训练】 变式1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）某专卖店销售“冰墩墩”和“雪容融”玩偶．学校为奖励同学，欲从该专卖店购买个玩偶作为奖品，如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元；如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元． (1)求每个“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的售价各为多少元？ (2)学校在购买好之后，该专卖店还剩下个“冰墩墩”和个“雪容融”，专卖店将这些玩偶中的一部分按套装销售(个“冰墩墩”和个“雪容融”为个套装，每套价格为元)，其余按原价销售，当这个玩偶全部售出后，共计收入元．问套装销售了多少套？ 【答案】(1)每个“冰墩墩”售价元，每个“雪容融”售价元； (2)套装销售了套． 【详解】（1）解：设每个“冰墩墩”玩偶售价元，每个“雪容融”玩偶售价元． 解得 答：每个“冰墩墩”售价元，每个“雪容融”售价元； （2）设套装销售了套，则 解得 答：套装销售了套． 变式2．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）某商场用相同的价格分三次购进A型和B型两种型号的电视机，前两次购进情况如下表： A型（台） B型（台） 总进价（元） 第一次 20 30 90000 第二次 10 20 55000 (1)求该商场购进A型和B型电视机的单价各为多少元？ (2)已知商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，共有多少种进货方案？ (3)在（2）的情况下，商场A型电视机的标价为每台2000元，B型电视机的标价为每台3750元，不考虑其他因素，为了促销，A型电视机打九折、B型电视机打八折销售．若将第三次购进的电视机全部售出，通过计算说明，购进时哪种进货方案可获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型电视机单价为1500元，B型电视机单价为2000元 (2)共有3种进货方案 (3)购进A型电视机3台，B型电视机8台时，获得最大利润，且最大利润为8900元 【详解】（1）解：设A型电视机单价为x元，B型电视机单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A型电视机单价为1500元，B型电视机单价为2000元； （2）解：设商场第三次购进A型电视机m台，购进B型电视机n台，根据题意得： ， 整理得：， ∵m、n为整数， ∴，，， ∴共有3种进货方案； （3）解：当购进A型电视机3台，B型电视机8台时，可获利润： （元）； 当购进A型电视机7台，B型电视机5台时，可获利润： （元）； 当购进A型电视机11台，B型电视机2台时，可获利润： （元）； ∵， ∴购进A型电视机3台，B型电视机8台时，获得最大利润，且最大利润为8900元． 变式3．（25-26八年级下·河南驻马店·月考）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半． (1)求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需多少元？ (2)经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该校需要洗手液的数是测温枪的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用等于1540元，那么该学校购买了多少个测温枪？ 【答案】(1) 购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元 (2) 该学校购买了50个测温枪 【详解】（1）解：设购买一个测温枪需要x元、则购买一瓶洗手液需要元， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， ∴购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元； （2）解：设购买测温枪的数量为个，则购买洗手液的数量为个， ∵购买一个测温枪赠送一瓶洗手液， ∴赠送后需要付费的洗手液的数量为（个）， ∴， 解得，， ∴该学校购买了50个测温枪． 考点三 方案选择问题 【知识点解析】 一、解题原理 题干给出两种/多种实施方案，未知量多为方案中的核心参数（如单价、用量、收费标准），先通过两种方案的等量关系列方程组求出参数，再结合题干要求（如省钱、满足用量）对比不同方案的结果，选择最优方案。 二、解题思路（五步核心法：求参数→算各方案→比结果→定最优） 1. 设未知：设方案中的两个核心未知参数（如甲收费标准、乙收费标准；A耗材单价、B耗材单价）； 2. 找等量：根据题干中两种已知方案的“总费用/总用量/总效果”列2个等量关系，列方程组； 3. 求参数：消元求解，得到方案的核心参数（即未知量的值）； 4. 算各方案：根据题干问题（如指定用量/费用），计算所有可选方案的最终结果（如总费用、总用量）； 5. 比选最优：对比各方案结果，结合题干要求（如费用最少、用量最省）确定最优方案，作答。 关键：先求方案参数，再计算对比，切勿直接凭题干条件选方案。 【例题分析】 例1．（2026·辽宁盘锦·一模）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 【答案】(1)A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元 (2)共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个；方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个；方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个 【详解】（1）解：设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元， 根据题意，可得， 解得， 答：A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元； （2）解：设购进A型玩具个，B型玩具个， 根据题意，可得， 整理可得， ∵均为正整数， ∴或或， 即共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个； 方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个； 方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个． 例2．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：，解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：，，． 答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 例3．（21-22七年级下·山东德州·期中）当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆型车和1辆型车装满货物一次可运货9吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮我们设计租车方案； (3)若1辆型车需租金90元/次，1辆型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨 (2)共有3种租车方案，具体见详解 (3)选租车方案3最省钱，最少租车费为730元 【详解】（1）解：设1辆A型车载满消毒液一次可运送吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送吨， 依题意得，解得， 答：1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨； （2）解：依题意得， ∴， 又均为整数， ∴或或， ∴共有3种租车方案： 方案1：租用A型车8辆，B型车1辆； 方案2：租用A型车5辆，B型车3辆； 方案3：租用A型车2辆，B型车5辆； （3）解：选用方案1所需租车费为（元）； 选用方案2所需租车费为（元）； 选用方案3所需租车费为（元）； ， ∴选租车方案3最省钱，最少租车费为730元． 【变式训练】 变式1．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 云南省积极推进“双减”政策落地见效，某校为了丰富课后服务内容，计划采购一批甲、乙两种艺术器材，为学生提供优质的艺术教育资源．该校准备在某文具店购买这两种器材 素材一 购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元 素材二 购买3件甲种器材和2件乙种器材共需540元 素材三 该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折 请完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种器材的单价分别是多少元 (2)任务二：经核算，该校准备购买甲、乙两种器材共50件（甲、乙两种器材都要购买），且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的总费用分别为元、元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少 【答案】(1)甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元 (2)当时，方案二花费少；当时，两种方案花费一样；当时，方案一花费少 【详解】（1）解：设甲种器材的单价为x元，乙种器材的单价为y元， 由题意，得， 解得， 答：甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元． （2）解：设购买甲种器材m件，则购买乙种器材件， 由题意，得， ． ∴． 当，即时，解得，此时两种方案花费一样； 当，即时，解得，此时方案一花费少； 当，即时，解得，此时方案二花费少， 又∵， ∴当时，方案二花费少； 当时，两种方案花费一样； 当时，方案一花费少． 变式2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有3种新工人的招聘方案，方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工 (3)千公里 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 故每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意，可知每日需安装（辆）， 设抽调熟练工m名，则每日可安装辆自行车， 令，则， ∵m，n均为非负整数，且， ∴共有3种新工人的招聘方案，分别是或或，即方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：由题意可知，安装在前轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命，安装在后轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命， 则每1千公里，共损耗的轮胎安全寿命， 通过行驶一段时间后，交换前后轮的轮胎，可以使得两个轮胎同时到达安全寿命，将轮胎充分利用， 故一对轮胎能行驶的最长路程是（千公里）． 变式3．（25-26七年级下·福建泉州·月考）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架．故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 (1)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板（恰好全部用完），则可裁切靠背板______块． (2)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板（靠背板和座板两者都要有且板材恰好全部用完），请你设计出所有符合要求的裁切方案． 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在（2）中的裁切方案中选定两种，并说出你选定的裁切方案分别需要多少块板材．（选择一种符合实际的组合即可） 【答案】(1) (2)，，， (3)需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板块和座板块，用其中94张板材裁切靠背板块和座板块，或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板块和座板块，用其中111张板材裁切靠背板块和座板块 【详解】（1）解：在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板（恰好全部用完），则可裁切靠背板块； （2）解：如图：一张该板材先靠上裁切靠背板块， 设余下的板材可裁切靠背板块，座板块， 根据题意可得， ∴， ∵，为正整数， ∴或或， ∴方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板块和座板块． 方案三：裁切靠背板块和座板块； （3）解：设用张板材裁切靠背板块和座板块，用张板材裁切靠背板块和座板块， 根据题意可得， 解得：， ∵（张）， ∴需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板块和座板块，用其中94张板材裁切靠背板块和座板块， 设用张板材裁切靠背板块和座板块，用张板材裁切靠背板块和座板块， 根据题意可得， 解得：， ∵（张）， ∴需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板块和座板块，用其中111张板材裁切靠背板块和座板块， 设用张板材裁切靠背板块和座板块，用张板材裁切靠背板块和座板块， 根据题意可得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板块和座板块，用其中94张板材裁切靠背板块和座板块，或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板块和座板块，用其中111张板材裁切靠背板块和座板块． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二元一次方程组的应用：和差倍分问题、销售与利润问题、方案选择问题讲义 二元一次方程组的应用：和差倍分问题、销售与利润问题、方案选择问题讲义 考点目录 和差倍分问题 销售与利润问题 方案选择问题 考点一 和差倍分问题 【知识点解析】 一、解题原理 围绕数量的和、差、倍数、比例关系找等量，未知量多为两类相关数量（如甲/乙的量、原/现的量），用等式表示数量间的和差倍分关系，列方程组求解。 二、 解题思路（四步法） 1. 设未知：设两类核心数量为、（如甲为，乙为）； 2. 找等量：紧扣题干关键词找2个等量——① 和差：“共/和/多/少/相差”；② 倍分：“是几倍/占几分之几/比…多几倍”； 3. 列方程：用、表示等量关系，列二元一次方程组； 4. 解验证：消元求解，验证结果符合数量实际意义（非负、整数等）。 关键：区分“是几倍”和“多几倍”，避免倍数关系列错。 【例题分析】 例1．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）王洋准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ (2)现有30吨梨子，王洋计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有多少种租车方案？ (3)若1辆甲型车需租金180元/次，1辆乙型车需租金150元/次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 例2．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 例3．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克． (1)求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克； (2)已知1架型无人机的单次租金为150元，1架型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 变式2．（25-26七年级上·重庆合川·期末）“杀年猪，吃刨汤”是合川人民岁末的传统习俗．为了接待全国各地游客前来体验该活动，合川某生态园计划采购白猪和黑猪共650头，由于游客人数大大超过预期，该生态园实际采购两种猪共900头，其中白猪和黑猪的采购数量分别比原计划增长和． (1)该生态园实际采购白猪和黑猪分别为多少头？ (2)若白猪采购价格为每头3000元，黑猪采购价格为每头4000元，每头白猪的加工费是它价格的，每头黑猪的加工费是它价格的．一热心网友赠送了一批白猪，数量为白猪实际采购数量的，且赠送的白猪与采购的白猪均全部运输到位；而黑猪受到天气的影响，运输到位的数量比实际采购数量减少了，若所有运输到位的猪均被加工完毕，该生态园这些猪的加工费共花了81850元，求a的值． 变式3．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 考点二 销售与利润问题 【知识点解析】 一、解题原理 依托销售核心公式找等量，未知量多为进价/售价、销量、单价等，利用“总价、单价、数量”和“利润、成本、利润率”的公式，结合题干中的销售场景（如两种方案、前后销售）列方程组。 二、解题思路（四步法） 1. 设未知：设销售中的两个未知量（如进价、售价；甲单价、乙单价）； 2. 找等量：紧扣2类核心公式找等量——① 基础销售：总价=单价×数量；② 利润：利润=售价-进价=进价×利润率，总利润=单件利润×销量； 3. 列方程：结合题干销售条件（如两种组合的总价/总利润），用公式列二元一次方程组； 4. 解验证：消元求解，验证单价、利润等为正数，符合实际销售逻辑。 关键：熟记利润公式，区分“单件利润”和“总利润”、“进价”和“售价”。 【例题分析】 例1．（24-25七年级下·山东聊城·期中）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件? (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 例2．（25-26七年级下·河南周口·月考）某商店购进两种商品共件， 商品每件进价元， 商品每件进价元，总进价为元． (1)求两种商品各购进多少件？ (2)若商品每件售价元， 商品每件售价元，全部售完后，该商店共获利多少元？ 例3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和1瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元． (1)求甲、乙两种消毒液的单价； (2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量． 【变式训练】 变式1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）某专卖店销售“冰墩墩”和“雪容融”玩偶．学校为奖励同学，欲从该专卖店购买个玩偶作为奖品，如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元；如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元． (1)求每个“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的售价各为多少元？ (2)学校在购买好之后，该专卖店还剩下个“冰墩墩”和个“雪容融”，专卖店将这些玩偶中的一部分按套装销售(个“冰墩墩”和个“雪容融”为个套装，每套价格为元)，其余按原价销售，当这个玩偶全部售出后，共计收入元．问套装销售了多少套？ 变式2．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）某商场用相同的价格分三次购进A型和B型两种型号的电视机，前两次购进情况如下表： A型（台） B型（台） 总进价（元） 第一次 20 30 90000 第二次 10 20 55000 (1)求该商场购进A型和B型电视机的单价各为多少元？ (2)已知商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，共有多少种进货方案？ (3)在（2）的情况下，商场A型电视机的标价为每台2000元，B型电视机的标价为每台3750元，不考虑其他因素，为了促销，A型电视机打九折、B型电视机打八折销售．若将第三次购进的电视机全部售出，通过计算说明，购进时哪种进货方案可获利润最大？最大利润是多少元？ 变式3．（25-26八年级下·河南驻马店·月考）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半． (1)求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需多少元？ (2)经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该校需要洗手液的数是测温枪的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用等于1540元，那么该学校购买了多少个测温枪？ 考点三 方案选择问题 【知识点解析】 一、解题原理 题干给出两种/多种实施方案，未知量多为方案中的核心参数（如单价、用量、收费标准），先通过两种方案的等量关系列方程组求出参数，再结合题干要求（如省钱、满足用量）对比不同方案的结果，选择最优方案。 二、解题思路（五步核心法：求参数→算各方案→比结果→定最优） 1. 设未知：设方案中的两个核心未知参数（如甲收费标准、乙收费标准；A耗材单价、B耗材单价）； 2. 找等量：根据题干中两种已知方案的“总费用/总用量/总效果”列2个等量关系，列方程组； 3. 求参数：消元求解，得到方案的核心参数（即未知量的值）； 4. 算各方案：根据题干问题（如指定用量/费用），计算所有可选方案的最终结果（如总费用、总用量）； 5. 比选最优：对比各方案结果，结合题干要求（如费用最少、用量最省）确定最优方案，作答。 关键：先求方案参数，再计算对比，切勿直接凭题干条件选方案。 【例题分析】 例1．（2026·辽宁盘锦·一模）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 例2．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 例3．（21-22七年级下·山东德州·期中）当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆型车和1辆型车装满货物一次可运货9吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮我们设计租车方案； (3)若1辆型车需租金90元/次，1辆型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【变式训练】 变式1．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 云南省积极推进“双减”政策落地见效，某校为了丰富课后服务内容，计划采购一批甲、乙两种艺术器材，为学生提供优质的艺术教育资源．该校准备在某文具店购买这两种器材 素材一 购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元 素材二 购买3件甲种器材和2件乙种器材共需540元 素材三 该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折 请完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种器材的单价分别是多少元 (2)任务二：经核算，该校准备购买甲、乙两种器材共50件（甲、乙两种器材都要购买），且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的总费用分别为元、元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少 变式2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 变式3．（25-26七年级下·福建泉州·月考）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架．故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 (1)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板（恰好全部用完），则可裁切靠背板______块． (2)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板（靠背板和座板两者都要有且板材恰好全部用完），请你设计出所有符合要求的裁切方案． 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在（2）中的裁切方案中选定两种，并说出你选定的裁切方案分别需要多少块板材．（选择一种符合实际的组合即可） 2 学科网（北京）股份有限公司 $