数列恒成立求参数问题、数列新定义问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

数列恒成立求参数问题、数列新定义问题讲义 数列恒成立求参数问题、数列新定义问题讲义 考点目录 数列恒成立求参数问题 数列新定义问题 考点一 数列恒成立求参数问题 【知识点解析】 数列恒成立求参数是高中数列的高频考点，本质是将数列的恒成立问题转化为函数的最值/范围问题，核心思路为：若对任意的正整数，（或）恒成立，则（或）。 数列是定义域为正整数集的特殊函数，因此解决此类问题的关键是：先分析数列的单调性（确定最值点），再求最值，最终得到参数的取值范围；部分题型需结合分离参数法、分类讨论简化求解。 1. 核心前置知识：判断数列的单调性 数列的单调性可通过作差法（首选）、作商法（适用于正项数列）判断： （1）作差法：若，则单调递增；若，则单调递减；若，则为常数列。 （2）作商法：若，且，则递增；若，且，则递减。 2. 关键结论： （1）单调递增数列的最值：最小值为，无最大值（或趋近于极限）； （2）单调递减数列的最值：最大值为，无最小值（或趋近于极限）； （3）先增后减/先减后增的数列（如二次型数列）：最值出现在顶点附近的正整数（需验证相邻项）。 3. 通用解题方法总结 （1）分离参数法（首选）：若能将恒成立条件整理为或（为仅含n的表达式），则转化为求的最小值/最大值，此方法可避免分类讨论，简化计算； ✅ 适用场景：参数与n可分离，无交叉项（如、可分离，需结合通项）。 （2）直接分析数列单调性：若参数无法分离，先判断数列的单调性（作差/作商），找到最值点，再列不等式求解； ✅ 适用场景：二次型数列、一次型数列（等差数列）。 （3）分类讨论法：针对含绝对值、公比/公差为参数的数列，需按参数的符号/范围分类，分别讨论单调性和恒成立条件； ✅ 适用场景：等比数列（公比q为参数）、等差数列（公差d为参数）、含的数列。 （4）验证特殊项：数列的最值常出现在首项、对称轴附近项、递推的初始项，若无法判断单调性，可先计算前3-4项，猜测单调性后验证。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若各项均为正数的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若正项等比数列，满足，求； (3)对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）由，可得，且， 又，所以， 即， 因为，所以，所以，        所以是公差为的等差数列. 又，得，所以. （2）设的公比为，因为，所以， 即，解得舍或， 因为，所以，， 所以， ， 两式相减得:. 所以； （3）由（2）得不等式，可变为 当为奇数时，， 记，所以， ， 令，得，所以. 所以时，，即，即， 时，，即，即且取奇数时，单调递增， 此时，即； 当为偶数时，，所以， 时，，即， 时，，即，且取偶数时，单调递增. 此时，所以，即. 综上所述，实数的取值范围为. 例2．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知数列的前n项和为，，（）． (1)求的通项公式； (2)记，数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得：（）， 两式相减得：，即（）， 又时，，（）， 是以为首项，公比的等比数列，. （2）， ， ， 易知，随n增大而增大，的最小值是， 由恒成立，可得，故的取值范围是. 例3．（25-26高二上·陕西西安·期末）在数列中，且． (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． (2)记数列的前n项和为，数列满足． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求； （ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）. 【详解】（1）在数列中，且，则，， 所以数列是以1为公差的等差数列，，即. （2）（ⅰ）当时，，即， 当时，由， 得， 两式相减，得，即，而满足上式， 所以的通项公式为. （ⅱ）由（ⅰ）得， 则， 两式相减得， 所以. （ⅲ）， 当n为奇数时，由，得， 而数列递减，恒成立，则，即； 当n为偶数时，由，得，即，而数列递减，则， 所以实数的取值范围为. 例4．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知数列的前项和为. (1)求和的通项公式； (2)对给定的，设数列为等差数列，其中首项为，公差为. （i）求数列的前10项和； （ii）记，若对任意的，求实数的取值范围. 【答案】(1)；； (2)（i）55；（ii） 【详解】（1）由，令得：，得出 令得：得：， 由得： ()， 两式相减得：() ，即 即()， ∴为等比数列 ， 故. （2）（i）由（1）知，，则数列的首项为，公差， 则数列的首项为，公差， 所以数列的前10项之和为. （ii）， 设,则， ， ， 两式作差得 所以，， 所以， 当为偶数时：原不等式等价为恒成立， 记， ， 所以单调递增，则， 为奇数时：原不等式等价为恒成立， 记， ， 所以单调递增，则，则， 综上所述取值范围是. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·天津·月考）已知是等差数列，其前n项和为，是等比数列，已知，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前n项和； (3)若对于恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；； (2)； (3) 【详解】（1）因为是等差数列，所以， 得，公差，所以. 再由，，得，，且是等比数列， 所以公比，即，. 故，. （2）由，所以，，， ——① ——② ①②相减得： 即 （3）由（1）知，，，代入 得，即对于恒成立. 令，则，， 所以当时，，数列递增，即； 当时，；当时，，数列递减. 所以或3时，数列有最大值，要使对于恒成立，所以. 故实数m的取值范围. 变式2．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在正项数列中，， 则，所以是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项，公差，则，， ，于是，而满足上式， 因此，， 则， ， 显然，且数列单调递增，， 因此，又不等式对任意正整数n恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 变式3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，，，的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若前项和为，且存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由题意每一项都不为零，由得， 所以，等式两边取倒数得，得， 又，因此是首项为，公比为的等比数列， 所以，故. （2）由（1）可知，. 所以 . ， ， 两式作差可得， 所以， 进而，使得，， 即有， 令，则， 令得，可得，解得， 因为，故， 令得，可得，解得或， 因为，故， 即有当时，，即， 同理当时，，即，所以， 再令， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 所以数列为递减数列，即， 所以有，解得. 因此实数的取值范围是. 变式4．（25-26高三上·辽宁·月考）在正项数列中，. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)若不等式对都成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因，则， 因数列为正项数列，则，即， 故数列是等差数列； （2）由（1）可知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，即， 则， 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 故； （3）因对都成立， 则对都成立， 令， 则 ， 当时，，即，即； 当时，，即，即； 则数列的最大值为， 则，得， 则的取值范围为. 考点二 数列新定义问题 【知识点解析】 1.通用解题三步核心逻辑（所有新定义题型通用） 无论新定义的概念多陌生，都遵循“读定义→拆规则→转已知”的三步法，这是解决此类问题的底层思路，缺一不可： 步骤1：精读新定义，圈画关键条件 逐字分析题目给出的新定义，圈出核心限定词、等式/不等式关系、n的取值范围（如、）、数列的初始条件等，避免遗漏细节导致解题偏差。圈画关键：①递推式为相邻两项的差的比值为常数；②（初始项从开始）；③分母不为0（数列不是常数列）；④为常数。 步骤2：拆解新规则，转化为已知数列模型 将新定义的等式/不等式关系变形、整理，转化为我们熟悉的数列形式（等差、等比、递推数列、可求通项的数列等），这是解题的核心步骤。 常见转化方向： - 新定义是等式递推式：变形为等差/等比数列的定义形式（如则为等比，则为等差）； - 新定义是性质描述（如对称、保序、有界）：转化为数列的项之间的关系（如对称数列：，为数列项数）； - 新定义是最值/范围限定：转化为数列的单调性、最值问题（如“保增数列”：对任意成立）。 步骤3：结合问题要求，用已知知识求解 根据题目问题（判断是否为新定义数列、求通项、证明性质、求参数），结合转化后的数列模型，用已学的通项公式、前n项和公式、单调性判断、恒成立求参数等方法求解，必要时用“特殊值验证一般结论”。 2.必备辅助技巧（快速破题，避免卡壳） 技巧1：特殊值法——先验证，再推导 新定义问题中，可先取n=1,2,3等小正整数，代入新定义求出数列的前几项，通过前几项的规律： - 快速判断是否为新定义数列； - 猜测通项公式、数列的单调性/周期性，再进行一般化证明； - 验证所求结论是否正确，避免推导错误。 适用场景：判断型问题、求通项的猜测阶段、证明题的思路探索。 技巧2：构造法——造新数列，贴合新定义 若新定义的递推式无法直接转化为等差/等比，构造一个新数列，使满足等差/等比的定义，这是解决新定义递推数列的核心技巧。 常见构造方式： - 新定义为“差的比值为常数”：构造，则为等比数列； - 新定义为“积的差为常数”：构造，则为等差数列； - 新定义含“”：构造，消去使为等比。 技巧3：分类讨论法——按n的范围/参数符号拆分 新定义中常出现、参数等限定，需根据n的取值范围（如n=1和n≥2分开讨论）、参数的符号/取值（如k>0、k=0、k<0）分类，避免因范围遗漏导致结论错误。 适用场景：含参数的新定义问题、n有初始范围的递推型新定义。 技巧4：反证法——否定性判断/证明 若题目要求判断“是否存在”“是否为新定义数列”，正面推导困难时，用反证法：假设符合条件，代入新定义推出矛盾，从而证明结论不成立。 适用场景：存在性探究问题、否定性判断问题。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽·开学考试）已知是一个项数有限的数列，从中任意选出若干项，按原顺序组成数列，剩余的项按原顺序组成数列，和都至少有1项，所有项的和记为，所有项的和记为. (1)若共有3项，，，，求的取值集合； (2)若是首项为2，公比为2的等比数列，共有2026项，求的最小值； (3)已知是首项为1，公差为1的等差数列，共有项，有项，求的最大值.（结果用表示） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设原数列总和为，则，因此， 由题意，都至少有1项，故可取所有非零且不等于6的和， 枚举得的所有可能值为，对应为， 故的取值集合为：. （2）原数列，共2026项，总和，因此， 该数列的前2025项和为，末项， 若，则； 因 原数列所有项都是正偶数，必为偶数，不可能更小，故的最小值为. （3）原数列，总和，， 代入化简： ， 是从中选项的和，最小值为， 最大值为， 分别代入得： ， 代入原式化简得最大值为， 故的最大值为. 例2．（25-26高二上·云南保山·期末）已知数列满足：；数列满足：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)定义：“若存在常数，使得对任意正整数，数列的前项和都满足，则称数列是‘和有上界数列’，且‘和上界’为”．证明：数列的其中一个‘和上界’为． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 又，所以是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，则. 则. （2）由（1）得， 则， 所以 （3）由（1）得， 当时，， 当时，， 所以，则， 所以数列的前n项和 ， 所以对于任意正整数，数列的其中一个‘和上界’为 例3．（25-26高二上·广东清远·期末）已知数列为无穷整数数列，若满足：对于任意的，，都存在，使得，其中，，，，则称数列是“因分数列”. (1)若数列的前项和为，且，. （i）求数列的通项公式； （ii）证明：数列是“因分数列”； (2)已知数列是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列是“因分数列”，若，，三个数中恰有两个出现在数列中，求满足题意的的公比. 【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析； (2)2. 【详解】（1）（i）当，则且，故，可得， 当，联立， 可得， 所以，可得， 所以， 综上，是首项为3，公差为1的等差数列，则； （ii）对于任意且，取， 所以，且， 所以数列是“因分数列”； （2）由数列是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列是“因分数列”， 等价于对任意且，存在，使得，即， 设的公比为且，， 若，则为常数列，仅当常数为1时满足条件，此时，，不在该数列中，不符合； 若，则的通项公式形式必为，此时数列中的数为的幂， 由，，中，仅当是的幂时，可同时出现在数列中，但不可能出现， 设且，则， 由，出现在数列中，存在正整数，使， 所以是的公因数，而互质，则，故公比为， 此时，取，则，显然，出现在数列内，满足， 所以的公比. 例4．（25-26高二上·北京平谷·期末）定义：对于数列，若存在正整数，使得对任意都有，（约定时，），则称为“对称等差数列”. (1)已知数列是“对称等差数列”，且，，求，的值，并写出数列的一个通项公式. (2)若数列是“对称等差数列”，证明：与均是等差数列； (3)设数列是“对称等差数列”，且数列的前项和，求的解析式. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为数列是“对称等差数列”， 所以对任意，， 可得，即， 则（为常数），故为等差数列， 由，，得公差，则， 且； （2）由数列是“对称等差数列”， 故对任意，， 则对任意，，即， 则成立，即， 所以（为常数）， 故是等差数列； 由，即， 故同理可得是等差数列. （3）由数列是“对称等差数列”， 所以对任意，都有， 则对任意，，即， 所以， 则数列是等差数列，且首项为，第项为， 由数列的前项和， 则有， 可得， 故. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设无穷数列的前n项和为，定义集合对任意正整数，集合对任意正整数． (1)若，分别判断，是否成立，说明理由； (2)若，求集合D与集合E； (3)已知无穷数列的各项均为正整数，求证：或者存在一个单调递增的无穷正整数数列使得对任意正整数有，或者存在一个单调递增的无穷正整数数列使得对任意正整数有． 【答案】(1)成立，不成立； (2)； (3)答案见解析. 【详解】（1）成立，不成立，理由如下： 因为为等差数列，所以其前项和， 则. 因为对任意正整数，都有，又与中必有一个偶数， 所以，即； 因为，即不成立； （2）根据题意，可得数列满足：， 所以（），由，可得，， 故， 则当时，， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则当时，； 当时，， 则； 由此可得，（）； ①当（且）时， ，此时； ②当（且）时， ，此时； ③当（且）时， ，此时； ④当（且）时， ，此时； 综上可知，对于任意奇数，满足任意正整数时，恒成立， 即所有奇数都属于，都不属于； 对于任意偶数，存在正奇数满足时，成立， 即所有偶数都不属于；存在正偶数满足时，成立， 即所有偶数都不属于； 故，； （3）①若集合对任意正整数，为无穷集合， 设（）， 则构成无穷正整数数列， 可知单调递增，且满足对任意正整数，有； ②若集合对任意正整数，为有穷集合， 当为空集时，令； 当为非空有穷集合时，令. 令，因为，所以， 所以存在，使得，则，且， 依此类推，可构造无穷整数数列， 故当时，令，且， 则组成无穷正整数数列， 可知单调递增，且满足对任意正整数，有. 综上，结论成立. 变式2．（25-26高二上·广东东莞·期末）在一个数列的每相邻两项之间插入这两项的和的倍（），形成新的数列，我们把这个新的数列称为该数列的“扩展”数列，例如：数列2，4的“扩展”数列为2，12，4． (1)已知数列1，4，16，写出该数列的“3﹣扩展”数列和“扩展”数列； (2)公比为q的等比数列，若数列的“扩展”数列仍为等比数列，求实数的值（用表示）； (3)是否存在一个无限项的正实数列及实数，使得数列的“扩展”数列是一个周期数列，且最小正周期是一个大于1的奇数?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，15，4，60，16；1，2，4，8，16； (2)； (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）该数列的“扩展”数列为：1，15，4，60，16； 该数列的“扩展”数列为：1，2，4，8，16； （2）若等比数列的“扩展”数列仍为等比数列， 则对任意的，是，的等比中项， 故，    可得，又，， 所以，  可得 ； （3）假设存在，设数列的“扩展”数列的最小正周期为， ，根据“扩展”的定义有，， ，故， 因为数列的最小正周期为， 故也是数列的周期， 所以 ， 因为；故， 所以， 设，则， 故， 得， 故数列为常数列，则数列也为常数列，最小正周期为1，与题设矛盾， 故不存在满足题设的数列及． 变式3．（2026·河南开封·一模）若数列满足：对任意，总存在，使得，则称是融积数列．已知数列是融积数列，且． (1)求的所有可能取值； (2)若对任意，，求，的所有可能取值； (3)在（2）的条件下，记为数列的前项和，证明：对任意，有． 【答案】(1)8 (2)或 (3)证明见解析 【详解】（1）由于两实数相乘满足交换律，以下解答中不妨设． ； （2）若对任意，，则，或； ①若，则，或， 或，或； ②若，则，或， 或； 综上，或 （3）因为，且对任意，总存在， 使得， 所以数列的任意一项都可以写成2的正整数指数幂的形式， 又因为对任意，，所以， 所以， 所以 变式4．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 【答案】(1)存在；11，10，9，8，7. (2)单调递减，证明见解析 (3)46 【详解】（1）数列1，5，9，13，17存在“默契数列” 因为， ，， ，， 所以数列1，5，9，13，17存在“默契数列”为：11，10，9，8，7. （2）数列为单调递减数列． 因为，，， 又因为，所以有， 所以， 即成立 所以数列为单调递减数列． （3），都有， 因为，． 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 又 ， 则，即，，所以． 所以的最大值是46． 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列恒成立求参数问题、数列新定义问题讲义 数列恒成立求参数问题、数列新定义问题讲义 考点目录 数列恒成立求参数问题 数列新定义问题 考点一 数列恒成立求参数问题 【知识点解析】 数列恒成立求参数是高中数列的高频考点，本质是将数列的恒成立问题转化为函数的最值/范围问题，核心思路为：若对任意的正整数，（或）恒成立，则（或）。 数列是定义域为正整数集的特殊函数，因此解决此类问题的关键是：先分析数列的单调性（确定最值点），再求最值，最终得到参数的取值范围；部分题型需结合分离参数法、分类讨论简化求解。 1. 核心前置知识：判断数列的单调性 数列的单调性可通过作差法（首选）、作商法（适用于正项数列）判断： （1）作差法：若，则单调递增；若，则单调递减；若，则为常数列。 （2）作商法：若，且，则递增；若，且，则递减。 2. 关键结论： （1）单调递增数列的最值：最小值为，无最大值（或趋近于极限）； （2）单调递减数列的最值：最大值为，无最小值（或趋近于极限）； （3）先增后减/先减后增的数列（如二次型数列）：最值出现在顶点附近的正整数（需验证相邻项）。 3. 通用解题方法总结 （1）分离参数法（首选）：若能将恒成立条件整理为或（为仅含n的表达式），则转化为求的最小值/最大值，此方法可避免分类讨论，简化计算； ✅ 适用场景：参数与n可分离，无交叉项（如、可分离，需结合通项）。 （2）直接分析数列单调性：若参数无法分离，先判断数列的单调性（作差/作商），找到最值点，再列不等式求解； ✅ 适用场景：二次型数列、一次型数列（等差数列）。 （3）分类讨论法：针对含绝对值、公比/公差为参数的数列，需按参数的符号/范围分类，分别讨论单调性和恒成立条件； ✅ 适用场景：等比数列（公比q为参数）、等差数列（公差d为参数）、含的数列。 （4）验证特殊项：数列的最值常出现在首项、对称轴附近项、递推的初始项，若无法判断单调性，可先计算前3-4项，猜测单调性后验证。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若各项均为正数的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若正项等比数列，满足，求； (3)对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 例2．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知数列的前n项和为，，（）． (1)求的通项公式； (2)记，数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 例3．（25-26高二上·陕西西安·期末）在数列中，且． (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． (2)记数列的前n项和为，数列满足． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求； （ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 例4．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知数列的前项和为. (1)求和的通项公式； (2)对给定的，设数列为等差数列，其中首项为，公差为. （i）求数列的前10项和； （ii）记，若对任意的，求实数的取值范围. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·天津·月考）已知是等差数列，其前n项和为，是等比数列，已知，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前n项和； (3)若对于恒成立，求实数m的取值范围． 变式2．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 变式3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，，，的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若前项和为，且存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围. 变式4．（25-26高三上·辽宁·月考）在正项数列中，. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)若不等式对都成立，求的取值范围. 考点二 数列新定义问题 【知识点解析】 1.通用解题三步核心逻辑（所有新定义题型通用） 无论新定义的概念多陌生，都遵循“读定义→拆规则→转已知”的三步法，这是解决此类问题的底层思路，缺一不可： 步骤1：精读新定义，圈画关键条件 逐字分析题目给出的新定义，圈出核心限定词、等式/不等式关系、n的取值范围（如、）、数列的初始条件等，避免遗漏细节导致解题偏差。圈画关键：①递推式为相邻两项的差的比值为常数；②（初始项从开始）；③分母不为0（数列不是常数列）；④为常数。 步骤2：拆解新规则，转化为已知数列模型 将新定义的等式/不等式关系变形、整理，转化为我们熟悉的数列形式（等差、等比、递推数列、可求通项的数列等），这是解题的核心步骤。 常见转化方向： - 新定义是等式递推式：变形为等差/等比数列的定义形式（如则为等比，则为等差）； - 新定义是性质描述（如对称、保序、有界）：转化为数列的项之间的关系（如对称数列：，为数列项数）； - 新定义是最值/范围限定：转化为数列的单调性、最值问题（如“保增数列”：对任意成立）。 步骤3：结合问题要求，用已知知识求解 根据题目问题（判断是否为新定义数列、求通项、证明性质、求参数），结合转化后的数列模型，用已学的通项公式、前n项和公式、单调性判断、恒成立求参数等方法求解，必要时用“特殊值验证一般结论”。 2.必备辅助技巧（快速破题，避免卡壳） 技巧1：特殊值法——先验证，再推导 新定义问题中，可先取n=1,2,3等小正整数，代入新定义求出数列的前几项，通过前几项的规律： - 快速判断是否为新定义数列； - 猜测通项公式、数列的单调性/周期性，再进行一般化证明； - 验证所求结论是否正确，避免推导错误。 适用场景：判断型问题、求通项的猜测阶段、证明题的思路探索。 技巧2：构造法——造新数列，贴合新定义 若新定义的递推式无法直接转化为等差/等比，构造一个新数列，使满足等差/等比的定义，这是解决新定义递推数列的核心技巧。 常见构造方式： - 新定义为“差的比值为常数”：构造，则为等比数列； - 新定义为“积的差为常数”：构造，则为等差数列； - 新定义含“”：构造，消去使为等比。 技巧3：分类讨论法——按n的范围/参数符号拆分 新定义中常出现、参数等限定，需根据n的取值范围（如n=1和n≥2分开讨论）、参数的符号/取值（如k>0、k=0、k<0）分类，避免因范围遗漏导致结论错误。 适用场景：含参数的新定义问题、n有初始范围的递推型新定义。 技巧4：反证法——否定性判断/证明 若题目要求判断“是否存在”“是否为新定义数列”，正面推导困难时，用反证法：假设符合条件，代入新定义推出矛盾，从而证明结论不成立。 适用场景：存在性探究问题、否定性判断问题。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽·开学考试）已知是一个项数有限的数列，从中任意选出若干项，按原顺序组成数列，剩余的项按原顺序组成数列，和都至少有1项，所有项的和记为，所有项的和记为. (1)若共有3项，，，，求的取值集合； (2)若是首项为2，公比为2的等比数列，共有2026项，求的最小值； (3)已知是首项为1，公差为1的等差数列，共有项，有项，求的最大值.（结果用表示） 例2．（25-26高二上·云南保山·期末）已知数列满足：；数列满足：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)定义：“若存在常数，使得对任意正整数，数列的前项和都满足，则称数列是‘和有上界数列’，且‘和上界’为”．证明：数列的其中一个‘和上界’为． 例3．（25-26高二上·广东清远·期末）已知数列为无穷整数数列，若满足：对于任意的，，都存在，使得，其中，，，，则称数列是“因分数列”. (1)若数列的前项和为，且，. （i）求数列的通项公式； （ii）证明：数列是“因分数列”； (2)已知数列是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列是“因分数列”，若，，三个数中恰有两个出现在数列中，求满足题意的的公比. 例4．（25-26高二上·北京平谷·期末）定义：对于数列，若存在正整数，使得对任意都有，（约定时，），则称为“对称等差数列”. (1)已知数列是“对称等差数列”，且，，求，的值，并写出数列的一个通项公式. (2)若数列是“对称等差数列”，证明：与均是等差数列； (3)设数列是“对称等差数列”，且数列的前项和，求的解析式. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设无穷数列的前n项和为，定义集合对任意正整数，集合对任意正整数． (1)若，分别判断，是否成立，说明理由； (2)若，求集合D与集合E； (3)已知无穷数列的各项均为正整数，求证：或者存在一个单调递增的无穷正整数数列使得对任意正整数有，或者存在一个单调递增的无穷正整数数列使得对任意正整数有． 变式2．（25-26高二上·广东东莞·期末）在一个数列的每相邻两项之间插入这两项的和的倍（），形成新的数列，我们把这个新的数列称为该数列的“扩展”数列，例如：数列2，4的“扩展”数列为2，12，4． (1)已知数列1，4，16，写出该数列的“3﹣扩展”数列和“扩展”数列； (2)公比为q的等比数列，若数列的“扩展”数列仍为等比数列，求实数的值（用表示）； (3)是否存在一个无限项的正实数列及实数，使得数列的“扩展”数列是一个周期数列，且最小正周期是一个大于1的奇数?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式3．（2026·河南开封·一模）若数列满足：对任意，总存在，使得，则称是融积数列．已知数列是融积数列，且． (1)求的所有可能取值； (2)若对任意，，求，的所有可能取值； (3)在（2）的条件下，记为数列的前项和，证明：对任意，有． 变式4．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $