数列插项问题、数列新定义问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

数列插项问题、数列新定义问题讲义 数列插项问题、数列新定义问题讲义 考点目录 数列插项问题 数列新定义问题 考点一 数列插项问题 【知识点解析】 一、解题原理 在原有等差/等比数列的相邻项间插入新项，原数列的项序、核心规律（公差/公比）保持不变，插项后新数列为等差/等比或分段有规律数列，解题核心是定原数列项距、算插项总个数、重构新数列的项数与规律。 二、解题思路（三步法：析原数列→定插项规则→求新数列结论） 1. 分析原数列，锁定核心参数 确定原数列为等差/等比，求出公差/公比、相邻项的间距（如等差），明确原数列的项数、指定项（如）。 2. 明确插项规则，计算插项总个数 按题干要求（如“每相邻两项间插入个项”“在第项后插入个项”），计算插项的总个数： - 等距插项：原数列项有个间隔，每间隔插个，总插项数，新数列总项数； - 定点插项：直接按位置累加插项数，确定新数列中原有项的新序号。 3. 结合插项要求，求新数列结论 - 若插项后新数列为等差/等比：利用“原相邻项为新数列的隔项，间距不变”求新数列的公差/公比，再套通项/求和公式； - 若插项后为分段数列：原项保持原规律，插项按题干要求（如插常数、插等差项）单独成列，分别计算后整合； - 求新数列指定项：先判断该位置为“原项”还是“插项”，原项还原原序号求解，插项按插项规律求解。 关键：插项不改变原数列项的大小与内在规律，仅改变项序和总项数。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·山东临沂·月考）已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 例2．（24-25高三下·安徽安庆·月考）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式 (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.设，求； 例3．（24-25高二下·广东深圳·月考）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求及其最小值. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·天津北辰·月考）已知等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)求 (3)在，之间插入1个数，使成等差数列，在，之间插入2个数，，使成等差数列，；在，之间插入个数，使成等差数列. ①求； ②求. 变式2．（24-25高三上·江苏无锡·月考）已知数列中，为数列的前n项和，满足 (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和； (3)在和之间插入k个数构成一个新数列，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式，求数列的前30项和． 变式3．（2025·广东佛山·模拟预测）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前2n项和. 考点二 数列新定义问题 【知识点解析】 一、解题原理 题干自定义数列相关概念（如新数列、新运算、新性质，如“差数列、等和数列、阶递推数列”），解题核心是精准解读新定义的规则，将其转化为等差/等比、递推数列、奇偶数列等常规数列模型，再用常规方法求通项、求和、判定性质。 二、解题思路（四步法：读定义→转常规→定参数→求结论） 1. 逐字解读新定义，提取核心规则 明确新定义的适用对象（如对通项/前项和/相邻项的定义）、运算/性质规则（如“若，则称为数列”）、限定条件（如、），标注关键公式/关系。 2. 转化新定义，对接常规数列模型 将新定义的规则转化为已学的数列形式： - 新定义为递推关系：转化为一阶/二阶线性递推、奇偶数列递推，用构造法、累加法等求通项； - 新定义为新数列：如“为的差数列，”，转化为累加法求通项； - 新定义为特殊性质：如“等和数列（常数）”，转化为奇偶数列，分别求奇偶项规律。 3. 利用已知条件，确定核心参数 结合题干给出的初始条件（如）、限定条件（如），求出新数列/原数列的初始项、公差/公比、递推系数等核心参数，为后续计算铺垫。 4. 套用常规方法，求解最终结论 根据转化后的常规数列模型，用对应方法解题： - 求通项：累加法、累乘法、构造等差/等比、特征方程法等； - 求前项和：公式法、裂项相消、错位相减、分组求和等； - 判定性质：作差/作商判单调性、求最值、验证周期性（如）等。 关键：不纠结于“新定义名称”，只聚焦“定义的数学规则”，精准转化是核心。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·河南南阳·月考）设n个不同的元素1，2，3，…，n的一个排列中，若每个元素都不在原来的位置，则称该排列为一个错位排列（也叫“错排”），记为n个元素的错位排列的总数． (1)求 (2)求证：是等比数列； (3)求证：. 例2．（25-26高二下·安徽·开学考试）已知是一个项数有限的数列，从中任意选出若干项，按原顺序组成数列，剩余的项按原顺序组成数列，和都至少有1项，所有项的和记为，所有项的和记为. (1)若共有3项，，，，求的取值集合； (2)若是首项为2，公比为2的等比数列，共有2026项，求的最小值； (3)已知是首项为1，公差为1的等差数列，共有项，有项，求的最大值.（结果用表示） 例3．（25-26高二上·广东清远·期末）已知数列为无穷整数数列，若满足：对于任意的，，都存在，使得，其中，，，，则称数列是“因分数列”. (1)若数列的前项和为，且，. （i）求数列的通项公式； （ii）证明：数列是“因分数列”； (2)已知数列是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列是“因分数列”，若，，三个数中恰有两个出现在数列中，求满足题意的的公比. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·天津南开·期末）已知等差数列满足，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式及； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的积，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“拓展”.例如对于数列1，3，一阶“拓展”得到数列1，3，3；二阶“拓展”得到数列1，3，3，9，3；依次构造，设阶“拓展”得到数列,（），设，则. （i）数列的通项公式； （ii）已知为正整数，设，求. 变式2．（25-26高三上·天津·期中）对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”. (1)已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式，并判断是否为“数列”； (2)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若数列是“数列”， （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）记数列中不超过正整数的项的个数为，设数列的前项和为，求（） 变式3．（24-25高二下·北京平谷·期末）若数列满足，则称数列为Q增数列． (1)判断下面两个数列是否为Q增数列？并说明理由． ①     ② (2)若数列为Q增数列，且任意项，，，，求正整数k的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列插项问题、数列新定义问题讲义 数列插项问题、数列新定义问题讲义 考点目录 数列插项问题 数列新定义问题 考点一 数列插项问题 【知识点解析】 一、解题原理 在原有等差/等比数列的相邻项间插入新项，原数列的项序、核心规律（公差/公比）保持不变，插项后新数列为等差/等比或分段有规律数列，解题核心是定原数列项距、算插项总个数、重构新数列的项数与规律。 二、解题思路（三步法：析原数列→定插项规则→求新数列结论） 1. 分析原数列，锁定核心参数 确定原数列为等差/等比，求出公差/公比、相邻项的间距（如等差），明确原数列的项数、指定项（如）。 2. 明确插项规则，计算插项总个数 按题干要求（如“每相邻两项间插入个项”“在第项后插入个项”），计算插项的总个数： - 等距插项：原数列项有个间隔，每间隔插个，总插项数，新数列总项数； - 定点插项：直接按位置累加插项数，确定新数列中原有项的新序号。 3. 结合插项要求，求新数列结论 - 若插项后新数列为等差/等比：利用“原相邻项为新数列的隔项，间距不变”求新数列的公差/公比，再套通项/求和公式； - 若插项后为分段数列：原项保持原规律，插项按题干要求（如插常数、插等差项）单独成列，分别计算后整合； - 求新数列指定项：先判断该位置为“原项”还是“插项”，原项还原原序号求解，插项按插项规律求解。 关键：插项不改变原数列项的大小与内在规律，仅改变项序和总项数。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·山东临沂·月考）已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）由题意，当时，有；当时， 联立方程，解得或（舍）. 所以数列的通项公式. 由题意知，，则， 联立方程，解得， 所以数列的通项公式． 综上，，. （2）因为， 所以...①， ①×3得，...②， ①-②得，， ， 化简得：. （3）由（1）知. 所以，所以． 设数列中存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 则．故，即． 又因为m，k，p成等差数列，所以，故. 故，化简得，所以. 又因为，所以，故，即. 而，所以. 与假设矛盾． 所以在数列中不存在3项成等比数列． 例2．（24-25高三下·安徽安庆·月考）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式 (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.设，求； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， ，又，满足， 所以，数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，故. （2）解：①由题意可得， 则， 所以，， 则， 上述两个等式作差得， 因此，； 例3．（24-25高二下·广东深圳·月考）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求及其最小值. 【答案】(1) (2)，最小值为2 【详解】（1）由题意知：设数列公比为， 当时，① 当时，② 联立①②，，故或（舍），故. 所以数列的通项公式， 此时，符合题设条件， 故数列的通项公式. （2）证明：由（1）知，. 所以. 所以，所以， 因 ， 所以是递增数列，故的最小值为. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·天津北辰·月考）已知等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)求 (3)在，之间插入1个数，使成等差数列，在，之间插入2个数，，使成等差数列，；在，之间插入个数，使成等差数列. ①求； ②求. 【答案】(1)； (2) (3)； 【详解】（1）设数列的公差为d， 因为，，则，解得， 所以； 因为数列的前n项和为，且满足， 当时，； 当时，； 验证，当时，，满足上式， 所以． （2）由（1）可知：，且， 可得， 所以． （3）①：因为成等差数列，， 所以； ②：设， 则， 设，则， 可得， 两式相减得：， 则， 所以. 变式2．（24-25高三上·江苏无锡·月考）已知数列中，为数列的前n项和，满足 (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和； (3)在和之间插入k个数构成一个新数列，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式，求数列的前30项和． 【答案】(1); (2); (3). 【详解】（1）由题意，当时，， 得，, ． 当时，，① ，② ①②得， 因为， 所以． 则， ∵，∴, 所以是以为首项，2为公比的等比数列． 即，则． （2）由，则， 所以的前项和：； （3）在数列中，项之前（含）共有， 所以数列的前30项中包含了数列的前7项及数列的前23项， 所以 ． 变式3．（2025·广东佛山·模拟预测）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前2n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为①， 所以时，②， ①②得：，即， 又时，，所以也满足上式， 故的通项公式为. （2）设数列满足． 记的前项和为，的前项和为，则． 由等比数列的求和公式得：，． 所以． 即新数列的前项和． 考点二 数列新定义问题 【知识点解析】 一、解题原理 题干自定义数列相关概念（如新数列、新运算、新性质，如“差数列、等和数列、阶递推数列”），解题核心是精准解读新定义的规则，将其转化为等差/等比、递推数列、奇偶数列等常规数列模型，再用常规方法求通项、求和、判定性质。 二、解题思路（四步法：读定义→转常规→定参数→求结论） 1. 逐字解读新定义，提取核心规则 明确新定义的适用对象（如对通项/前项和/相邻项的定义）、运算/性质规则（如“若，则称为数列”）、限定条件（如、），标注关键公式/关系。 2. 转化新定义，对接常规数列模型 将新定义的规则转化为已学的数列形式： - 新定义为递推关系：转化为一阶/二阶线性递推、奇偶数列递推，用构造法、累加法等求通项； - 新定义为新数列：如“为的差数列，”，转化为累加法求通项； - 新定义为特殊性质：如“等和数列（常数）”，转化为奇偶数列，分别求奇偶项规律。 3. 利用已知条件，确定核心参数 结合题干给出的初始条件（如）、限定条件（如），求出新数列/原数列的初始项、公差/公比、递推系数等核心参数，为后续计算铺垫。 4. 套用常规方法，求解最终结论 根据转化后的常规数列模型，用对应方法解题： - 求通项：累加法、累乘法、构造等差/等比、特征方程法等； - 求前项和：公式法、裂项相消、错位相减、分组求和等； - 判定性质：作差/作商判单调性、求最值、验证周期性（如）等。 关键：不纠结于“新定义名称”，只聚焦“定义的数学规则”，精准转化是核心。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·河南南阳·月考）设n个不同的元素1，2，3，…，n的一个排列中，若每个元素都不在原来的位置，则称该排列为一个错位排列（也叫“错排”），记为n个元素的错位排列的总数． (1)求 (2)求证：是等比数列； (3)求证：. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）时，只有一个元素，无法错排，所以； 时，有两个元素，只有一种错排即，所以； 时，有三个元素，有两种错排和，所以. （2）对于，假设第个元素放在了第个位置，，考虑第个元素的去向： 若放在第个位置，则意味着第个元素和第个元素互相交换了位置， 剩下的个元素进行错排，有种方法；若没有放在第个位置， 我们可以把第个位置看作是第个元素的“原位置”（因为它不能去那里）， 这等价于剩下的个元素（包括第个元素）进行错排，有种方法， 对每个进行考虑即可得， 所以， 所以是等比数列，公比为. （3）由（2）可知，， 也即，，两边同时除以得到， 对到进行累加，有， 左边裂项相消，得到即， 令即可化为. 例2．（25-26高二下·安徽·开学考试）已知是一个项数有限的数列，从中任意选出若干项，按原顺序组成数列，剩余的项按原顺序组成数列，和都至少有1项，所有项的和记为，所有项的和记为. (1)若共有3项，，，，求的取值集合； (2)若是首项为2，公比为2的等比数列，共有2026项，求的最小值； (3)已知是首项为1，公差为1的等差数列，共有项，有项，求的最大值.（结果用表示） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设原数列总和为，则，因此， 由题意，都至少有1项，故可取所有非零且不等于6的和， 枚举得的所有可能值为，对应为， 故的取值集合为：. （2）原数列，共2026项，总和，因此， 该数列的前2025项和为，末项， 若，则； 因 原数列所有项都是正偶数，必为偶数，不可能更小，故的最小值为. （3）原数列，总和，， 代入化简： ， 是从中选项的和，最小值为， 最大值为， 分别代入得： ， 代入原式化简得最大值为， 故的最大值为. 例3．（25-26高二上·广东清远·期末）已知数列为无穷整数数列，若满足：对于任意的，，都存在，使得，其中，，，，则称数列是“因分数列”. (1)若数列的前项和为，且，. （i）求数列的通项公式； （ii）证明：数列是“因分数列”； (2)已知数列是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列是“因分数列”，若，，三个数中恰有两个出现在数列中，求满足题意的的公比. 【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析； (2)2. 【详解】（1）（i）当，则且，故，可得， 当，联立， 可得， 所以，可得， 所以， 综上，是首项为3，公差为1的等差数列，则； （ii）对于任意且，取， 所以，且， 所以数列是“因分数列”； （2）由数列是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列是“因分数列”， 等价于对任意且，存在，使得，即， 设的公比为且，， 若，则为常数列，仅当常数为1时满足条件，此时，，不在该数列中，不符合； 若，则的通项公式形式必为，此时数列中的数为的幂， 由，，中，仅当是的幂时，可同时出现在数列中，但不可能出现， 设且，则， 由，出现在数列中，存在正整数，使， 所以是的公因数，而互质，则，故公比为， 此时，取，则，显然，出现在数列内，满足， 所以的公比. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·天津南开·期末）已知等差数列满足，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式及； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的积，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“拓展”.例如对于数列1，3，一阶“拓展”得到数列1，3，3；二阶“拓展”得到数列1，3，3，9，3；依次构造，设阶“拓展”得到数列,（），设，则. （i）数列的通项公式； （ii）已知为正整数，设，求. 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【详解】（1）在等差数列中，设公差为， 依题意，可得，解得. 故，. （2）（i）由已知，， 则 于是，可得是以为首项，3为公比的等比数列. 故，故； （ii）因. 则. 而中，共有项. 注意到； ∴； ； … 于是 . ∴原式， 记， 则， 两式相减，可得， 则， 即，故得， 即 . 变式2．（25-26高三上·天津·期中）对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”. (1)已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式，并判断是否为“数列”； (2)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若数列是“数列”， （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）记数列中不超过正整数的项的个数为，设数列的前项和为，求（） 【答案】(1)，是“数列” (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由，得①，则②， ②－①得，整理得， 由，得， 又时，，解得， 所以数列是首项为1公差为2的等差数列，则， 由于，所以是“数列” （2）（ⅰ）设数列的公比为，则. 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项. 同理，中，为最小项. 由为“数列”，只需，即. 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即. 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以，或，. 当，时，，设. ， 又， 所以为递增数列，因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“数列”. 当，时，，则. 因为，所以数列不是“数列”. 综上， （ⅱ），，，，…，，， 当时，，， 所以 ， 记， ， 两式相减得， 化简得，所以. 变式3．（24-25高二下·北京平谷·期末）若数列满足，则称数列为Q增数列． (1)判断下面两个数列是否为Q增数列？并说明理由． ①     ② (2)若数列为Q增数列，且任意项，，，，求正整数k的最大值． 【答案】(1)①是，②不是，理由见解析 (2)64 【详解】（1）①数列是增数列. 因为，所以，. 所以， 所以，即. 所以该数列是增数列. ②数列不是增数列. 因为，所以，. 因为，根据对数的单调性可知. 即，所以该数列不是增数列. （2）因为数列是增数列，所以. 所以，设，则是递增数列. 因为，所以. 所以. 又. 所以，化简得. 解得，又且，所以的最大值为64. 2 学科网（北京）股份有限公司 $