7.1.2复数的几何意义 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复 数 7.1 复数的概念 7.1.2 复数的几何意义 复习引入 2. 复数z=a+bi (a、bR)中a叫z的 、b叫z的 . 实部 虚部 1. 虚数单位i：i2= . -1 3. 复数的分类 复数 实数(b=0) 虚数(b≠0) 纯虚数 (a=0, b≠0) 非纯虚数 (a≠0, b≠0) 4. 复数相等 思考1 复数z= a +bi里面含有几个实数？ 5. 我们知道实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示. 那么，复数能否像实数一样，也用点来表示呢？如何构建一个对应关系，使得复数和点一一对应？ 思考2 复数z= a +bi里的实数a,b可以与什么图形对应？ 两个 点 实数 数轴上的点 (形) (数) 一一对应 思考3 复数z= a +bi还可以和是什么图形对应？ 向量 教材导学 阅读教材： 1.复平面、实轴、虚轴的含义是什么？ 2.如何理解复数可以与点、与向量一一对应？（几何意义） 3.复数的模或绝对值是什么？ 4.什么是共轭复数？ 用复平面内的点表示复数 如图示, 点Z的横坐标是a, 纵坐标是b, 复数z＝a＋bi可用点Z(a,b)表示. Z:a+bi a b 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. x轴—实轴 y轴—虚轴 实轴 虚轴 如：复平面内点（-2，3） 复数 -2+3i 原点(0,0) 0 （-2，0） -2 （0，-5） -5i 实数 纯虚数 注：实轴上的点都表示 ；除原点外，虚轴上的点都表示 . 实数 纯虚数 1.复平面、实轴、虚轴的含义是什么？ 问题1.1 根据复数的代数形式，一个复数由什么唯一确定？ z=a+bi(a, b∈R) 实部 虚部 由一个有序实数对（a,b）唯一确定 问题1.2 根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi都可以由一个有序实数对（a,b）唯一确定；反之也对.由此你能想到复数的几何表示方法吗？ 复数z＝a＋bi(a,b∈R) 有序实数对(a,b) 平面直角坐标系中的点 一一对应 一一对应 一一对应 （数） （形） 所以，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系，因此可以用点表示复数. 2.如何理解复数可以与点、与向量一一对应？（几何意义） 复数的几何意义1 复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a,b) 一一对应 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的复数和它对应. 由此可知，复数集C中的数与复平面内的点按照如下方式建立了一一对应关系. 问题2 在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复平面是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗？ a b Z:a＋bi 复数z＝a＋bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 一一对应 平面向量 复数的几何意义2 规定: 相等的向量表示同一个复数. 方便起见，常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量 Z(a,b) 定义：向量 的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|. 几何意义：复数z＝a＋bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 如果b=0，那么z=a+bi是一个实数，它的模就等于|a|. 3.复数的模或绝对值是什么？ 4.什么是共轭复数？ 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 共轭复数： 复数z的共轭复数用 表示，即 问题3 若z1,z2是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？ 关于实轴对称 练习：复数z1=-1-2i，z2=3，z3=5i的共轭复数分别为什么？ 特别地，实数的共轭复数就是它自己本身。 模长相等 共轭复数有哪些性质？ ①∣z∣= ∣ ∣ ② ③= ④z= 为实数 = 拓展探究 巩固应用 O x y A B C D E F G H 课本P73 1. 说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小方格的边长为1). 解：点A表示的复数是4+3i； 点B表示的复数是3-3i； 点C表示的复数是-3+2i； 点D表示的复数是-3-3i； 点E表示的复数是5； 点F表示的复数是-2； 点G表示的复数是5i； 点H表示的复数是-5i. (1) 2+5i； (2)－3+2i； (3)2－4i； (4)－3－5i； (5) 5； (6) －3i； y O x A B C D E F 课本P73 2. 已知在复平面内，描出表示下列复数的点. 例2 设复数z1＝4＋3i，z2＝4－3i. (1) 在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量； (2) 求复数z1，z2的模，并比较它们的模大小. Z1(4,3) Z2(4,－3) 解：(1) 复数z1，z2对应的点和向量如图示. (2) 反思 点 Z1，Z2 有怎样的关系？复数z1，z2有怎样的关系? 课本P71 例3 设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形. (1) |z|=1 ； (2) 1<|z|<2. 所以满足条件 |z|=1 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 1 为半径的圆． 解：（1）由 |z|=1 得，向量 的模等于 1， （2）不等式 1<|z|<2 可化为不等式 不等式的解集是以原点为圆心，1为半径和2为半径的两个圆所夹的圆环，不包括圆环的边界. 课本P72 课本P73 解：(1) 这些复数对应的向量如图示. 3. 已知复数2＋i, －2＋4i , －2i, 4, (1) 在复平面内画出这些复数对应的向量； (2) 求这些复数的模. A(2,1) B(－2,4) C(0,－2) D(4,0) (2) 6. 当实数m取什么值时，复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点分别满足下列条件？ (1)位于第四象限 (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线y=x上. 课本P73—习题7.1 小结 1、知识要点：复平面，实轴，虚轴，复数的模或绝对值， 复数的两种几何意义，共轭复数； 2、思想方法：转化的思想方法； 3、易错点：含复数的模的不等式的计算以及其几何意义的理解. 作业 7.1.2 复数的几何意义 $