陕西榆林市神木市第四中学2025-2026学年高三下学期第一次检测考试数学试题

2025-2026学年高三下学期第一次检测考试数学试题 （考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜1}，B＝{x|x2+x﹣2＞0}，则（∁RA）∩B＝（　　） A．{x|x＜﹣3或x≥1} B．{x|x＜﹣3或x＞1} C．{x|x＜﹣2或x≥1} D．{x|x＜﹣2或x＞1} 2．已知向量满足，则（　　） A．2 B．7 C． D． 3．已知复数z＝m2﹣7m+6+（m2﹣36）i是纯虚数，则实数m的值为（　　） A．±6 B．1或6 C．﹣6 D．1 4．已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，又是以2为周期的周期函数，在[﹣1，0）上的图象是如图所示的线段，那么对于函数y＝f（x），下列结论正确的是（　　） A．f（﹣3）＝f（﹣1）＝f（1）＝0，f（﹣2）＝f（0）＝f（2）＝﹣1 B．当x∈[﹣2，﹣1）时，f（x）＝﹣x+3 C．当x∈[1，2）时，f（x）＝﹣x+1 D．当x∈[2，3）时，f（x）＝x﹣3 5．若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的侧面积为（　　） A．10π B．15 C．20π D．15π 6．记，则a2+a4+a6+⋯+a2026＝（　　） A．22027 B．22027﹣1 C．22027﹣2 D．22027+1 7．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线．用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面倾斜，可得到椭圆．如图，现有一个轴截面为等腰Rt△PAB的圆锥PO，过点A及线段PB的中点M的某平面截圆锥PO，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 8．若数列{Fn}满足F1＝F2＝1，Fn＝Fn﹣1+Fn﹣2（n＞2），则称数列{Fn}为斐波那契数列，设，若数列{an}的前k项和为﹣3，则k的最大值是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，则（　　） A．f（x）是奇函数 B．f（x）的最小正周期是2π C．f（x）图象的一个对称中心是 D．单调递增 10．某工厂有3个生产车间加工同一型号的零件，已知第1，2，3号车间加工的零件数之比为3：3：4．在某次产品抽检中，1号车间的合格率为80%，2号车间的合格率为70%，3号车间的合格率为75%，从该工厂随机抽取一个零件．记事件A＝“该零件合格”，事件Bi＝“该零件由i号车间加工”（i＝1，2，3），则（　　） A．P（A）＝0.75 B．A与Bi（i＝1，2，3）均不相互独立 C． D．若从这次抽检的合格零件中随机抽取一个，则该零件来自1号车间的概率最大 11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有f（2﹣x）＝f（x）成立，且f（1）＝1，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）＝f（x+4） B．f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2025）＝1 C．在区间[﹣6，6]有5个零点 D．f（x）关于x＝2对称 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数在上恰有一个极值点，则ω的取值范围是 　 　 ． 13．在三棱锥P﹣ABC中，PA＝6，PB＝8，，∠APB＝60°，∠APC＝45°，则此三棱锥的体积为　 　 ． 14．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，且，则△FAB面积的最小值等于 　 　 ． 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，投进一次得2分，否则得0分．已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为．从第二次投篮开始，若前一次投进，则这次投进的概率为，若前一次没投进，则这次投进的概率为． （1）求甲3次投篮的得分超过3分的概率； （2）乙3次投篮的得分为X，求X的分布列和期望． 16．（15分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． （1）求{an}的通项公式； （2）数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn． 17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，AB⊥AD，BC＝2，AB＝AD＝1，，△PAB是正三角形，E为棱PC中点． （1）求证：ED∥平面PAB； （2）求平面EBD与平面CBD夹角的余弦值． 18．（17分）双曲线的焦距为，点A（0，﹣2）在C上，直线交y轴于点P，过P作直线GH交C于G，H两点，且GH的斜率存在，直线AG，AH交l分别于M，N两点． （1）求C的方程； （2）求AG与AH的斜率之积； （3）证明：A，O，M，N共圆． 19．（17分）设函数φ（x）在（a，b）上可导，导函数为φ′（x），若关于x的方程φ（b）＝φ（a）+φ′（x）（b﹣a）在（a，b）有且只有两个不同的解，则称φ（x）是（a，b）上的“双平行切线函数”，其中两个不同的解称为φ（x）在（a，b）上的平行切点． （1）是否存在（a，b）上的“双平行切线函数”φ（x）＝px3+qx2+rx（p≠0），但在（a，b）上不是单调函数？若存在，请举例；若不存在，请说明理由； （2）令，设直线y＝c与y＝h（x）的图象交于两个不同的点R，S，其横坐标分别为r，s，且h（x）是（r，s）上的“双平行切线函数”，h（x）在（r，s）上的平行切点为x1，x2． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：x1+x2＞t+2． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D C D B B C 二．多选题 题号 9 10 11 答案 AC AC AB 三．填空题 12．[﹣11，﹣5）∪（1，7]． 13．． 14．2． 四．解答题 15．解：（1）甲3次投篮投进的次数为ξ，则， 故甲3次投篮的得分超过3分的概率． （2）记“乙第i（i＝1，2，3）次投篮投进”为事件Ai，i＝1，2，3， 可得：X的可能取值为0，2，4，6四种情况， 则有：， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 2 4 6 P 故X的期望． 16．解：（1）因为S1＝a1＝1，所以， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 所以，所以， 当n⩾2时，， 所以（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，即， 则， 又a1＝1满足上式， 所以{an}的通项公式为； （2）由题意可知，， ①， ②， ①﹣②，得， 所以数列{bn}的前n项和． 17．解：（1）证明：取PB中点F，连接EF，AF， 因为E，F分别为PC，PB中点，所以， 又因为AD∥BC，，所以EF∥AD，EF＝AD， 所以四边形AFED为平行四边形，所以AF∥DE， 又因为DE⊄平面PAB，AF⊂平面PAB， 所以ED∥平面PAB． （2）取AB中点O，连接PO， 因为△PAB是正三角形，所以PO⊥AB，AP＝AB＝1， 又因为AD＝1，，则AD2+AP2＝PD2，所以AD⊥AP， 又因为AD⊥AB，AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面PAB， 所以AD⊥平面PAB， 又因为AD⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD， 因为PO⊥AB，PO⊂平面PAB，平面PAB∩平面ABCD＝AB， 所以PO⊥平面ABCD， 在平面PAB内过点A作AM∥PO，则AM⊥平面ABCD， 如图所示，以A为原点，AB，AD，AM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则B（1，0，0），D（0，1，0），，C（1，2，0），， 则，， 设平面EBD的法向量为（x，y，z）， 则，即， 取x＝1则， 平面CBD的法向量为（0，0，1）， 设平面EBD与平面CBD夹角为θ， 则， 所以平面EBD与平面CBD夹角的余弦值为． 18．解：（1）由题意得，，得a＝2，， 所以C的方程为； （2）由题设知GH过，故设，G（x1，y1），H（x2，y2）， 由得，其中， 且，即． 故，， 则， 即， 亦即AG与AH的斜率之积为． （3）证明：只需证明∠AOM+∠ANM＝π，即∠ANM＝∠MOP， 亦即证明Rt△OMP∽Rt△NAP，有，即，， 即证明（*），结合， 又， 故（*）式成立，所以∠AOM+∠ANM＝π， 所以A，O，M，N共圆． 19．解：（1）存在（0，3）上的“双平行切线函数”φ（x），且在（0，3）上不是单调函数． 先证明：φ（x）为（0，3）上的“双平行切线函数”： 由函数φ（x），可得φ′（x）＝x2﹣3x+2， 令φ（3）＝φ（0）+（3﹣0）φ′（x），可得， 化简得，解得， 所以φ（x）为（0，3）上的“双平行切线函数”； 令φ′（x）＝0，即x2﹣3x+2＝0，可得x3＝1或x4＝2， 当且仅当x∈（0，1）∪（2，3）时，φ′（x）＞0，所以φ（x）在（0，1），（2，3）上单调递增， 当且仅当x∈（1，2）时，φ′（x）＜0，所以φ（x）在（1，2）上单调递减， 所以φ（x）在（0，3）上不是单调函数， 所以存在（0，3）上的“双平行切线函数”，且在（0，3）上不为单调函数． （2）（i）由题意知：h（s）＝h（r）＝c，且0＜r＜s， 所以h（s）＝h（r）+h'（x）（s﹣r）在（r，s）上有两个不同的解x1，x2， 所以h'（x1）＝h'（x2）＝0，即h'（x）＝0在（r，s）上有两个不同的解x1，x2， 因为，可得h'（x）＝x﹣lnx﹣（t+1）， 设μ（x）＝x﹣lnx﹣（t+1），则， 当x∈（0，1）时，μ'（x）＜0，则μ（x）为减函数，即h'（x）为减函数， 当x∈（1，+∞）时，μ'（x）＞0，则μ（x）为增函数，即h'（x）为增函数， 故h'（x）min＝h'（1）＝﹣t，且当x→0时，h'（x）→+∞，x→+∞，h'（x）→+∞， 所以h'（x）＝0在（r，s）⊆（0，+∞）上有两个不同的解x1，x2， 所以﹣t＜0，解得t＞0，所以实数的取值范围为（0，+∞）． （ii）证明：不妨设0＜x1＜1＜x2，则x1﹣lnx1＝t+1，x2﹣lnx2＝t+1， 要证x1+x2＞t+2，即证x2＞t+2﹣x1＝1﹣lnx1， 因为0＜x1＜1，所以1﹣lnx1＞1，因为x2＞1，μ（x）在（1，+∞）上为增函数， 所以只需要证明：μ（x2）＞μ（1﹣lnx1），因为μ（x1）＝μ（x2）＝0， 所以只需要证明：μ（x1）＞μ（1﹣lnx1），其中0＜x1＜1， 设r（x）＝μ（x）﹣μ（1﹣lnx）＝x﹣1+ln（1﹣lnx）（0＜x＜1）， 则， 设φ（x）＝x（1﹣lnx）（0＜x＜1），则φ′（x）＝﹣lnx＞0， 所以φ（x）在（0，1）上单调递增，所以0＜φ（x）＜φ（1）＝1， 所以，所以r（x）在（0，1）上单调递减， 因为r（1）＝μ（1）﹣μ（1）＝0，所以r（x1）＞0，即μ（x1）＞μ（1﹣lnx1），其中x∈（0，1）， 所以x1+x2＞t+2得证． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/8 22:47:19；用户：18872980286；邮箱：18872980286；学号：68720822 APP 公众号 小程序 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $