专题11.1 不等式（3大知识点+ 8大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦初中数学不等式核心知识点，系统梳理不等式的相关概念（定义、不等号辨析、解与解集），深入解析基本性质（加减不变号、乘除正数不变号、乘除负数必变号），并通过数轴表示解集，构建从概念理解到性质应用再到数形结合的完整学习支架。 资料以分层题型设计为特色，基础题型强化不等式识别、列不等式等基础技能，培养抽象能力与符号意识，如通过关键词转化训练提升数学眼光；培优题型通过性质变形、综合应用提升推理能力，压轴题型引入作差法比较大小与证明题，发展逻辑表达与创新意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过易错点总结与巩固练习查漏补缺，有效落实数学核心素养。

专题11.1 不等式 知识点1：不等式的相关概念 1.不等式定义：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。 2.常见不等号与文字对应 不等号 文字描述 符号意义 ＞ 大于、超过 a＞b ＜ 小于、不足 a＜b ≥ 不小于、至少、不低于 a≥b ≤ 不大于、至多、不超过 a≤b ≠ 不等于 a≠b 3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的全体；求解集的过程叫解不等式。 知识点2：不等式的基本性质（核心） 设a、b、c为实数，性质如下： 1.性质1（加减不变号） 若a＞b，则a±c＞b±c；不等号方向不变。 2.性质2（乘除正数不变号） 若a＞b，c＞0，则ac＞bc，；不等号方向不变。 3.性质3（乘除负数必变号） 若a＞b，c＜0，则ac＜bc，；不等号方向改变。 知识点3：不等式解集的数轴表示 解集符号 边界点类型 数轴图示 方向 空心圆圈（不包含） 向右 空心圆圈（不包含） 向左 实心圆点（包含） 向右 实心圆点（包含） 向左 【基础必考题型】 【题型1】不等式的识别与定义判断 1.核心知识点 不等式定义；5种不等号辨析；区分等式、代数式、不等式。 2.解题方法技巧 只要式子含＞、＜、≥、≤、≠，就是不等式；与式子是否成立无关。 【例题1】.（25-26八年级下·江西九江·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·湖南株洲·期中）已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式题1-3】.（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2】根据文字语言列不等式 1.核心知识点 关键词转化：正数(＞0)、负数(＜0)、非负(≥0)、不超过(≤)、至少(≥)。 2.解题方法技巧 抓关键词→定不等号→按语序写式子；注意“不大于”是≤，“不小于”是≥。 【例题2】.（25-26七年级下·海南海口·期中）用不等式表示“、两数的和的平方是非负数”为___________． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·河南郑州·期中）用适当的符号表示下列关系：是非负数___． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·山西太原·月考）惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，气温转暖，渐有春雷，今年惊蛰这一天太原市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温t（）满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）“a的9倍与b的的和是正数”可表示为______． 【题型3】判断数值是否为不等式的解 1.核心知识点 不等式解的定义：代入后不等式成立即为解。 2.解题方法技巧 直接代入计算，判断左右大小关系；注意解集是所有解。 【例题3】.（24-25八年级下·江西抚州·月考）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A． B． C． D． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【题型4】不等式解集的数轴表示 1.核心知识点 数轴表示规则；空心/实心判断；方向判断。 2.解题方法技巧 口诀：大于向右，小于向左，有等实心，无等空心。 【例题4】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，数轴上表示的关于x的不等式的解集是______． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·广东清远·期中）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·北京通州·期中）某不等式的解集是，其在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在数轴上表示的解集对应的不等式是（    ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型5】不等式基本性质的简单应用 1.核心知识点 性质1（加减不变）、性质2（正数不变）、性质3（负数变号）。 2.解题方法技巧 见加减不变号；见乘除先看系数正负，负必变号。 【例题5】.（25-26七年级下·北京顺义·期中）如果，那么下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·河北保定·期中）如果，下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（2026·四川达州·一模）设，则下列不等关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（2026·湖南岳阳·一模）在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型6】利用不等式性质变形与化简 1.核心知识点 移项法则；系数化为1；性质综合运用。 2.解题方法技巧 移项要变号；系数化为1时，系数为负一定变号。 【例题6】.（25-26七年级下·海南海口·期中）小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正． 已知，试比较与的大小． 解：，① ．② ．③ (1)小华的解题过程中，从步骤______开始出现错误（填写序号）； (2)请写出正确的全部解题过程； (3)尝试证明：若，则． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·福建福州·期中）已知三个正整数，，满足，且． (1)请利用不等式的性质，证明：； (2)求，，的值． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）解答 (1)已知，判断与的大小关系如何？并说明理由； (2)已知都是负数，且，请判断与的大小关系如何？并说明理由． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·江西九江·月考）阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 【压轴素养题型】 【题型7】作差法比较代数式大小 1.核心知识点 作差→判正负→定大小；a−b＞0⇨a＞b。 2.解题方法技巧 两式相减化简，根据结果符号判断大小。 【例题7】.（24-25八年级上·浙江舟山·期中）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一解：∵， ∴（不等式的基本性质3） 根据仿例，请解答：已知，试比较与的大小，两种方法解答． 【变式题7-1】.（24-25八年级上·浙江·期中）解决下面问题： (1)已知，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） 解：，且（已知） _______（不等式的基本性质2） _______（不等式的基本性质1） (2)若，比较与的大小，并说明理由． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 如果，将不等式两边都加上，可得，所以； 如果，将等式两边都加上，可得，所以； 如果，将不等式两边都加上，可得，所以； 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)若，则___________；（填“”、“”或“”） (2)用作差法比较与的大小； (3)在一次劳动课上，老师让同学们用面积分别为的A、B两种卡纸不重叠的进行拼图，甲同学用3张A卡纸和6张B卡纸拼出图案一，乙同学用2张A卡纸和7张B卡纸拼出图案二，图案一和图案二的面积分别记为和，比较和的大小． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·安徽宿州·月考）据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两个数大小的方法． 若，则； 若，则； 若，则． 反之也成立． 这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)若，则______；填“”“”“” (2)若，，试比较，的大小； (3)请运用“作差法”解决下面的问题： 截至年月日中午，《哪吒之魔童闹海》全球总票房已突破亿，强势跻身全球影史票房榜第五位，成为首部冲入该榜单前十的亚洲动画电影电影中哪吒的法宝更是不胜枚举，其中乾坤圈和火尖枪尤为厉害． 若个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为；个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为，每个乾坤圈的重量比每个火尖枪的重量小，试比较，的大小． 【题型8】不等式性质探究与证明题 1.核心知识点 性质推导；传递性、可加性综合说理。 2.解题方法技巧 每一步注明依据（性质1/2/3），严谨推理。 【例题8】.（22-23七年级下·江苏南通·期末）求证：当时，一定比小． 【变式题8-1】.（2026·江苏盐城·一模）判断命题“如果，，那么”的真假性？并证明你的结论． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·江苏南京·期中）证明：当时，． 【变式题8-3】.（2024·江苏扬州·二模）阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数x、y满足，证明：． 证明：因为且x，y均为正， 所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： (1)请将上面的证明过程填写完整． (2)尝试证明：若，则． 易错点 1、运用性质3时忘记变号：两边乘/除负数，不等号方向必须改变。 2、混淆空心与实心：有等号（≥、≤）画实心，无等号（＞、＜）画空心。 3、列不等式关键词用错：把“不超过”写成＞，“至少”写成＜。 4、移项不变号：与方程移项一致，跨过等号要变号。 5、判断解集时以偏概全：把个别解当成全部解集。 重点 1、不等式的3条基本性质，尤其是性质3（负数变号）。 2、文字语言与不等式互化，准确抓关键词列不等式。 3、解集的数轴表示，数形结合思想应用。 4、利用性质解简单不等式，规范步骤。 难点 1、含参数不等式：由解集反推参数范围，紧扣变号规则。 2、复杂情境建模：从生活/跨学科情境提炼不等关系。 3、作差法比较大小与性质证明的严谨说理。 4、解集与特殊解（整数解、非负解）综合问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若有理数m，n满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如果，那么______（填“”“”或“”）． 5．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则__________0．（填“”“”或“”） 6．若，则___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 三、解答题 7．解下列不等式，并将其解集表示在数轴上． (1)． (2)． (3)． 8．根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 9．先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1 不等式 知识点1：不等式的相关概念 1.不等式定义：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。 2.常见不等号与文字对应 不等号 文字描述 符号意义 ＞ 大于、超过 a＞b ＜ 小于、不足 a＜b ≥ 不小于、至少、不低于 a≥b ≤ 不大于、至多、不超过 a≤b ≠ 不等于 a≠b 3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的全体；求解集的过程叫解不等式。 知识点2：不等式的基本性质（核心） 设a、b、c为实数，性质如下： 1.性质1（加减不变号） 若a＞b，则a±c＞b±c；不等号方向不变。 2.性质2（乘除正数不变号） 若a＞b，c＞0，则ac＞bc，；不等号方向不变。 3.性质3（乘除负数必变号） 若a＞b，c＜0，则ac＜bc，；不等号方向改变。 知识点3：不等式解集的数轴表示 解集符号 边界点类型 数轴图示 方向 空心圆圈（不包含） 向右 空心圆圈（不包含） 向左 实心圆点（包含） 向右 实心圆点（包含） 向左 【基础必考题型】 【题型1】不等式的识别与定义判断 1.核心知识点 不等式定义；5种不等号辨析；区分等式、代数式、不等式。 2.解题方法技巧 只要式子含＞、＜、≥、≤、≠，就是不等式；与式子是否成立无关。 【例题1】.（25-26八年级下·江西九江·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用不等号连接，表示不等关系的式子叫做不等式，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是多项式，不是不等式； B．是等式，不是不等式； C．是等式，不是不等式； D．用不等号连接，表示不等关系，是不等式． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A的是代数式，不含不等号，不是不等式， 选项B的，选项C的都是用等号连接的等式，不是不等式， 选项D的是用不等号连接，表示不等关系的式子，符合不等式定义． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·湖南株洲·期中）已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据不等式的定义，即用不等号连接的式子是不等式，逐个判断式子，统计符合条件的个数即可求解． 【详解】解：∵ ①是等式，不含不等号，不属于不等式； ②是代数式，不含不等号，不属于不等式； ③是代数式，不含不等号，不属于不等式； ④含有不等号，属于不等式； ⑤含有不等号，属于不等式； ∴ 属于不等式的共有2个． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】不等式的概念：用不等号、、、、连接而成的式子叫做不等式，据此逐个判断式子即可． 【详解】解：∵ ① 是用不等号连接的式子，是不等式； ② 是用不等号连接的式子，是不等式； ③ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ④ 是等式，不是不等式； ⑤ 是用不等号连接的式子，是不等式； ∴符合条件的不等式共有3个，故C正确． 【题型2】根据文字语言列不等式 1.核心知识点 关键词转化：正数(＞0)、负数(＜0)、非负(≥0)、不超过(≤)、至少(≥)。 2.解题方法技巧 抓关键词→定不等号→按语序写式子；注意“不大于”是≤，“不小于”是≥。 【例题2】.（25-26七年级下·海南海口·期中）用不等式表示“、两数的和的平方是非负数”为___________． 【答案】 【详解】解：用不等式表示“、两数的和的平方是非负数”为． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·河南郑州·期中）用适当的符号表示下列关系：是非负数___． 【答案】 【分析】根据非负数的定义，非负数是大于或等于的数，据此列出不等式即可. 【详解】解：因为非负数是指大于或等于的数，是非负数，所以可得. 【变式题2-2】.（25-26八年级下·山西太原·月考）惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，气温转暖，渐有春雷，今年惊蛰这一天太原市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温t（）满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最高气温和最低气温的实际含义，气温不低于最低气温，不高于最高气温，包含端点值，即可得到正确结果． 【详解】解：∵当天太原市的最高气温是，最低气温是， ∴气温（单位）满足：不低于最低气温，不高于最高气温可得． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）“a的9倍与b的的和是正数”可表示为______． 【答案】 【分析】先分别表示出的9倍与的，再根据和为正数的条件列出不等式． 【详解】解： 的倍为，的为，因为两个式子的和是正数，正数都大于， 因此可得不等式：． 【题型3】判断数值是否为不等式的解 1.核心知识点 不等式解的定义：代入后不等式成立即为解。 2.解题方法技巧 直接代入计算，判断左右大小关系；注意解集是所有解。 【例题3】.（24-25八年级下·江西抚州·月考）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中包含，符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中不包含，不符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：A． 【变式题3-1】.（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，依题意，结合每个选项的的解集进行判断，即可作答． 【详解】解：A、不包括，故该选项符合题意； B、包括，故该选项不符合题意； C、包括，故该选项不符合题意； D、包括，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，把代入不等式，逐项判断即可求解，理解不等式解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项符合题意； 故选：． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 【题型4】不等式解集的数轴表示 1.核心知识点 数轴表示规则；空心/实心判断；方向判断。 2.解题方法技巧 口诀：大于向右，小于向左，有等实心，无等空心。 【例题4】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，数轴上表示的关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【详解】解：由数轴可得． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·广东清远·期中）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示为： 【变式题4-2】.（25-26七年级下·北京通州·期中）某不等式的解集是，其在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示如下： 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在数轴上表示的解集对应的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在数轴上表示的解集对应的不等式是． 【培优高频题型】 【题型5】不等式基本性质的简单应用 1.核心知识点 性质1（加减不变）、性质2（正数不变）、性质3（负数变号）。 2.解题方法技巧 见加减不变号；见乘除先看系数正负，负必变号。 【例题5】.（25-26七年级下·北京顺义·期中）如果，那么下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：已知 根据不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变． ∵两边同时加3，不等号方向不变， ∴成立，A不符合题意； 根据不等式性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变． ∵，两边同时乘，不等号方向改变， ∴，因此不成立，B符合题意． ∵两边同时减2，不等号方向不变， ∴成立，C不符合题意； 根据不等式性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，结合性质1可得： ∵，两边同时除以正数2，得，再两边同时加1，不等号方向不变， ∴ 成立，D不符合题意； 【变式题5-1】.（25-26八年级下·河北保定·期中）如果，下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴两边同时减2得，故A正确，不符合要求； ∵， ∴两边同时除以2得，故B正确，不符合要求； ∵， ∴两边同时乘以得，故C正确，不符合要求； ∵， ∴两边同乘得， 两边同时加1得， ∴不成立，故D错误，符合要求． 【变式题5-2】.（2026·四川达州·一模）设，则下列不等关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、若，则，故选项不符合题意； B、若，则，故选项不符合题意； C、若，则，故选项不符合题意； D、若，则，故选项符合题意． 【变式题5-3】.（2026·湖南岳阳·一模）在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据题中的不等关系，即可得到答案． 【详解】根据题意，，B选项符合条件． 【题型6】利用不等式性质变形与化简 1.核心知识点 移项法则；系数化为1；性质综合运用。 2.解题方法技巧 移项要变号；系数化为1时，系数为负一定变号。 【例题6】.（25-26七年级下·海南海口·期中）小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正． 已知，试比较与的大小． 解：，① ．② ．③ (1)小华的解题过程中，从步骤______开始出现错误（填写序号）； (2)请写出正确的全部解题过程； (3)尝试证明：若，则． 【答案】(1)② (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：小华的解题过程中，从步骤②开始出现错误； （2）解：∵， ∴． ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·福建福州·期中）已知三个正整数，，满足，且． (1)请利用不等式的性质，证明：； (2)求，，的值． 【答案】(1) 见解析 (2) ，， 【分析】（1）先由，且，，为正整数得，则，，由此可得； （2）由（1）中结论可得，进而可得，同理得，则，结合可得，进而再求出的值即可． 【详解】（1）证明：，且，，为正整数， ， ， 又， ，， ，， ∴； （2）解：∵，且为正整数， ， 将代入，得， 同理：，则， ，且为正整数， ， 将代入，得， 综上所述：，，． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）解答 (1)已知，判断与的大小关系如何？并说明理由； (2)已知都是负数，且，请判断与的大小关系如何？并说明理由． 【答案】(1) ，详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）利用不等式的性质判断即可． （2）先利用不等式的性质得出，，进而可得出． 【详解】（1）解： ． 理由如下：因为， 所以， 即． （2）解∶ ， 理由如下：因为，， 所以． 因为，， 所以， 所以． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·江西九江·月考）阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； （）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再根据不等式性质求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； 本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由①②得：， ∴的取值范围是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由不等式性质，②乘得③， ①乘得④， ③④，得， ∴的取值范围是． 【压轴素养题型】 【题型7】作差法比较代数式大小 1.核心知识点 作差→判正负→定大小；a−b＞0⇨a＞b。 2.解题方法技巧 两式相减化简，根据结果符号判断大小。 【例题7】.（24-25八年级上·浙江舟山·期中）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一解：∵， ∴（不等式的基本性质3） 根据仿例，请解答：已知，试比较与的大小，两种方法解答． 【答案】，两种方法见解析 【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可． 【详解】解：法一∵，（已知）， ∴（不等式的基本性质3）； 法二：∵， ∴，即（不等式的基本性质1，不等式两边同时加）． 【变式题7-1】.（24-25八年级上·浙江·期中）解决下面问题： (1)已知，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） 解：，且（已知） _______（不等式的基本性质2） _______（不等式的基本性质1） (2)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)＜，＜； (2)见解析． 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式的传递性：若，，则，②把不等式的两边都加(或减去)同一个数，不等号仍然成立；③不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号仍然成立；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须改变不等号方向，所得不等式成立． （1）根据不等式的性质解答即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：，且（已知） （不等式的基本性质2） （不等式的基本性质1） 故答案为：＜，＜； （2）解：，且（已知） （不等式的基本性质3） （不等式的基本性质1）． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 如果，将不等式两边都加上，可得，所以； 如果，将等式两边都加上，可得，所以； 如果，将不等式两边都加上，可得，所以； 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)若，则___________；（填“”、“”或“”） (2)用作差法比较与的大小； (3)在一次劳动课上，老师让同学们用面积分别为的A、B两种卡纸不重叠的进行拼图，甲同学用3张A卡纸和6张B卡纸拼出图案一，乙同学用2张A卡纸和7张B卡纸拼出图案二，图案一和图案二的面积分别记为和，比较和的大小． 【答案】(1)< (2) (3)见解析 【分析】（1）要比较与的大小，可计算的差，再结合已知条件进行判断． （2）根据作差法的定义，计算的差，再根据绝对值的性质，即得结果． （3）先根据题意分别表示出和，再对和作差，化简差的表达式，根据和的大小关系判断差的正负，进而比较和的大小． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴． （2）解：将与的作差， 得． ． ∴． （3）解：∵． ∴． 当时，． 当时，． 当时，． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·安徽宿州·月考）据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两个数大小的方法． 若，则； 若，则； 若，则． 反之也成立． 这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)若，则______；填“”“”“” (2)若，，试比较，的大小； (3)请运用“作差法”解决下面的问题： 截至年月日中午，《哪吒之魔童闹海》全球总票房已突破亿，强势跻身全球影史票房榜第五位，成为首部冲入该榜单前十的亚洲动画电影电影中哪吒的法宝更是不胜枚举，其中乾坤圈和火尖枪尤为厉害． 若个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为；个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为，每个乾坤圈的重量比每个火尖枪的重量小，试比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算． （1）将与作差并计算，然后结合已知条件进行判断即可； （2）将与作差并计算，然后将结果与比较大小即可； （3）设每个乾坤圈的重量为，每个火尖枪的重量为，且，则，，将它们作差并计算，然后将结果与比较大小即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ； （3）解：设每个乾坤圈的重量为，每个火尖枪的重量为，且， 则，， ， ． 【题型8】不等式性质探究与证明题 1.核心知识点 性质推导；传递性、可加性综合说理。 2.解题方法技巧 每一步注明依据（性质1/2/3），严谨推理。 【例题8】.（22-23七年级下·江苏南通·期末）求证：当时，一定比小． 【答案】见解析 【分析】对和进行作差与0进行比较，从而得出结论． 【详解】证明：由题意得， ， ， 当时，， ∴当时，一定比小． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，根据题意得出式子，在给定的取值范围内，用作差法比较大小是解题的关键． 【变式题8-1】.（2026·江苏盐城·一模）判断命题“如果，，那么”的真假性？并证明你的结论． 【答案】真命题，证明见解析 【分析】根据不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变 ,可得， ，由此即可判断命题的真假性． 【详解】证明： ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ 因此原命题是真命题． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·江苏南京·期中）证明：当时，． 【答案】见解析 【分析】根据不等式的性质可得，则，据此可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即 ． 【变式题8-3】.（2024·江苏扬州·二模）阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数x、y满足，证明：． 证明：因为且x，y均为正， 所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： (1)请将上面的证明过程填写完整． (2)尝试证明：若，则． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． 【详解】（1）证明：因为且，均为正， 所以，．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以（不等式的传递性）， 故答案为：，； （2）证明：， ， ． 易错点 1、运用性质3时忘记变号：两边乘/除负数，不等号方向必须改变。 2、混淆空心与实心：有等号（≥、≤）画实心，无等号（＞、＜）画空心。 3、列不等式关键词用错：把“不超过”写成＞，“至少”写成＜。 4、移项不变号：与方程移项一致，跨过等号要变号。 5、判断解集时以偏概全：把个别解当成全部解集。 重点 1、不等式的3条基本性质，尤其是性质3（负数变号）。 2、文字语言与不等式互化，准确抓关键词列不等式。 3、解集的数轴表示，数形结合思想应用。 4、利用性质解简单不等式，规范步骤。 难点 1、含参数不等式：由解集反推参数范围，紧扣变号规则。 2、复杂情境建模：从生活/跨学科情境提炼不等关系。 3、作差法比较大小与性质证明的严谨说理。 4、解集与特殊解（整数解、非负解）综合问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义判断各个式子是否为不等式，统计个数即可得到答案． 【详解】解：①使用不等号连接，是不等式． ②使用等号连接，是等式，不是不等式． ③使用不等号连接，是不等式． ④是多项式，没有不等号连接，不是不等式． 不等式共有个． 2．若有理数m，n满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A，∵不等式两边同时乘以正数，不等号方向不变， ∴，A不成立； 对于B，∵不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变， ∴，B不成立； 对于C，∵不等式两边同时除以正数，不等号方向不变， ∴，C一定成立； 对于D，∵不等式两边同时减去，不等号方向不变， ∴，D不成立． 3．若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将代入各选项不等式，判断不等式是否成立即可得到正确答案． 【详解】解：选项A：不等式为，不成立，故A错误； 选项B：不等式为，成立，故B正确； 选项C：不等式为，不成立，故C错误； 选项D：不等式为，不成立，故D错误． 二、填空题 4．如果，那么______（填“”“”或“”）． 【答案】< 【分析】本题考查不等式的基本性质. 根据不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，即可判断大小. 【详解】解： 故答案为 5．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则__________0．（填“”“”或“”） 【答案】 > 【详解】由数轴可知， 在原点的左侧， ， . 【点睛】 6．若，则___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵，， ∴；；． 三、解答题 7．解下列不等式，并将其解集表示在数轴上． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及数轴表示解集，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质，特别是在乘除负数时要注意改变不等号的方向． （1）利用不等式的基本性质，两边同时减去，即可求解； （2）利用不等式的基本性质，两边同时除以，不等号方向不变； （3）利用不等式的基本性质，两边同时乘以，不等号方向改变． 【详解】（1）解： 将不等式的解集在数轴上表示如图所示． （2）解： 将不等式的解集在数轴上表示如图所示． （3）解： 将不等式的解集在数轴上表示如图所示． 8．根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的性质进行解答即可； （2）根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：， 不等式两边同时加上1，得； （2）解：， 不等式两边同时减去1，得， 不等式的两边同时乘，得． 9．先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记不等式的性质是解本题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断； （2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． （2）解：∵， ∴． ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $