精品解析：河南开封高级中学2025-2026学年高二下学期学情调研数学试题

开封高中27届高二年级下学期学情调研 ——数学学科 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 由1、2、5、7、9任取两个数作除法，可得到不同的商的个数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】除法是有序的，故直接利用排列数求解即可. 【详解】任意两个数作除法，可得到不同的商的个数为. 故选：A. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：由，故B正确； 选项C：由，故C错误； 选项D：由，故D错误． 3. 中国象棋中棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线（图中楚河汉界处的“日”字没有画出），如图，马从点处走出一步，只能到达点，，中的一处则马从点出发到达对方“帅”所在的处，最少需要的步数是　　 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线，即可算出结果. 【详解】解：由题意可知，按如图所示的走法， 需要6步即可点出发到达对方“帅”所在的处， 故选：B. 【点睛】本题考查实际问题中的计数原理，考查对题目的理解和分析能力，是基础题． 4. 若点，，则、两点间距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线方程的求解，转化成两条直线间的距离即可求解. 【详解】点在直线，点在上，，设的切线的切点为，令 ，所以在点处的切线为,此时切线与直线平行， 直线与之间的距离为的最小值， 故选：B 5. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 144 B. 288 C. 480 D. 672 【答案】B 【解析】 【分析】利用插空法分步考虑即可，需要注意限制条件. 【详解】先排 4 个歌舞节目，有种排法，排好后会产生 5 个空位（包括两端）， 然后将 2 个机器人表演节目插入除第一个以外的空位，有种排法， 所以满足条件的排法有种. 6. 已知函数在处有极值0，则实数的值为（ ） A. 4 B. 4或11 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点列方程，结合函数的单调性确定其正确答案. 【详解】，则， 即，解得或. 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， 令，得或；令，得． 所以在上单调递增， 在上单调递减，符合题意，则． 故选：D 7. 国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国外媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ） A. 306 B. 198 C. 268 D. 378 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类思想进行选取和排列即可求解. 【详解】第一类：国内媒体团2个，国外媒体团1个，此时不同的选法和提问方式共有：种； 第二类：国内媒体团1个，国外媒体团2个，此时不同的选法和提问方式共有：种； 综上，共有306种 故选:A． 8. 函数的定义域为，部分对应值如下表，其导函数的图像如下图， 0 2 3 4 2 3 0 3 0 当时，函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象，画出原函数的草图，利用，函数，令，得，或，得到函数的零点的个数． 【详解】解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图： ，，（2），（3），（4）， 函数， 令，得，或， 当时，与有三个交点， 当时，即，与有四个交点， 所以函数 的零点有7个． 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合原函数与导函数的关系依次判断即可． 【详解】对于A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故A正确； 对于B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确； 对于C，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确； 对于D，无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误. 故选：ABC. 10. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式中共有9项 B. 第3项为 C. 各项系数的和为256 D. 二项式系数的最大值为70 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，二项式的展开式中共有项，故A正确； 对于B，第3项为，故B正确； 对于C，令，得各项系数的和为，故C错误； 对于D，二项式系数的最大值为，故D正确. 11. 已知 ，若 ，则下列关系式能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】令，先求与的导数，通过导数判断其单调性与最值，再构造函数判断其单调性，最后结合函数值及图象分析时与的大小关系. 【详解】令，， ， 当时，， 当时，由，则，， 综上可知，在上单调递增， ，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 最小值为， 当时，，，即， 当时，令， ， 因为，，所以， 单调递增，且，所以，即. 故二者图象如图所示，令， 当时，， 当时，或， 当时，或. 故选：BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 的展开式的常数项为______． 【答案】16 【解析】 【分析】直接利用二项展开式的通项公式即可求解． 【详解】， 因为的展开式的通项为， 所以令，即，则的常数项为1， 令，即，则的常数项为15， 所以的展开式的常数项为． 13. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：存在区间，使得，利用参变分离结合存在性问题分析求解. 【详解】， 由题意可知：在区间有解，整理得， 即不等式 在区间 内有解，因为 ，所以 ， 要使 在 内有解，需 小于 的上界，即 ， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 如图，下列有5个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有1个数字，现从这5个圆中各选一个方位，并记下该方位圆内的数字，要求所得5个数字来自不同的方位（例如第1个圆选了左方位上的数字，后面4个圆均不能在左方位上选数字），且这5个数字之积为0，然后将这5个数字排成一个5位数，则共有______种情况（在排5位数的过程中，若数字相同，但来自不同的圆，也视为不同的情况）． 【答案】2304 【解析】 【详解】因为这5个数字之积为0，并排成一个5位数， 所以第4个圆的上方位被选， 则左方位有种选择，右方位有种选择，下方位有种选择，正中位有种选择， 且0不能在万位上， 先排万位有种，剩下的有， 所以共有种. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从3位女生，4位男生中选出3人参加校园大扫除活动. （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）如果至少有1位女生人选，共有多少种不同的选择方法？ 【答案】（1）35 （2）31 【解析】 【分析】（1）根据组合数的含义求解即得； （2）根据“至少有1位女生”的反面情况为“没有女生”，运用间接法即得. 【小问1详解】 从3位女生，4位男生中选出3人参加校园大扫除活动， 选择方法数为； 【小问2详解】 因为没有女生人选的选择方法数为， 所以至少有1位女生人选的选择方法数为. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】(1)代入，求出即可求得切线方程； (2)函数求导 ，对分类讨论，进而求得单调性. 【小问1详解】 当时，， ，所以，曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 ， ①当时，，所以函数在上单调递增； ②当时，令，则(舍)或， ，当时，函数单调递减； ，当时，函数单调递增. ③当时，令，则或(舍)， ，当时，函数单调递减； ，当时，函数单调递增. 综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增； 当时，当时，函数单调递减 当时，函数单调递增； 当时，当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增 17. 某人工智能社团有5位同学（含甲、乙），计划对ChatGPT、Sora、GPT-4这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型.请解答下列问题： （1）共有多少种不同的安排方案? （2）若甲、乙不能调研同一种模型，且ChatGPT模型最多只能由2人负责，共有多少种不同的安排方案? 【答案】（1）150 （2）100 【解析】 【小问1详解】 将5人分配给3种模型，每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型，安排方案有两种： 方案1（3，1，1型），共有种安排方案； 方案2（2，2，1型），共有种安排方案. 故共有安排方案种. 【小问2详解】 依题意，可从对立事件的方法数考虑. 由（1）可知，若无任何限制，则总方案数为150种. ①若甲、乙调研同一模型，有两种情况： 甲、乙与另外一人调研同一种模型，有种安排方案； 只有甲、乙两人调研同一种模型，有种安排方案； 所以甲、乙调研同一模型，共有种安排方案. ②若ChatGPT模型由3人负责，有种安排方案. ③若甲、乙调研同一种模型，且ChatGPT模型由3人负责，有种安排方案. 综上，共有种安排方案. 18. 已知，． （1）若，判断的单调性； （2）若，且的极值点为，求证：且． 【答案】（1）时是减函数，，是增函数 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的单调性和零点可得； （2）求导，利用零点存在性定理判断导函数的零点，从而可得极值，并用零点表示a代入化简可证. 【小问1详解】 当时， ， 在上是增函数，且， 所以时，是减函数，时，是增函数． 【小问2详解】 ，， 设 在上是增函数，因为，所以， 所以存在唯一极值点，且， 由得，， 时，是减函数，时，是增函数． 所以 设，则 ，，则在是减函数，所以， 即． 【点睛】该题破题关键在于利用导数方程得到极值点和参数关系，从而对极值消参，将二元变一元. 19. 在中，把，，…，称为三项式系数. （1）当时，写出三项式系数，，，，的值； （2）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； （3）求的值（用组合数作答）. 【答案】（1），，，， （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）写出展开式，即可得到相应的系数； （2）写出（，）的展开式，即可得解； （3）由表示出系数，再由，计算出系数，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，，，，； 【小问2详解】 因为， ， ， ， ， 所以三项式的（，）次系数的数阵表如下： 【小问3详解】 ， 其中系数为， 又 而二项式的通项（且）， 由，解得， 所以系数为， 由代数式恒成立， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封高中27届高二年级下学期学情调研 ——数学学科 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 由1、2、5、7、9任取两个数作除法，可得到不同的商的个数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 21 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国象棋中棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线（图中楚河汉界处的“日”字没有画出），如图，马从点处走出一步，只能到达点，，中的一处则马从点出发到达对方“帅”所在的处，最少需要的步数是　　 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 若点，，则、两点间距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 144 B. 288 C. 480 D. 672 6. 已知函数在处有极值0，则实数的值为（ ） A. 4 B. 4或11 C. 9 D. 11 7. 国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国外媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ） A. 306 B. 198 C. 268 D. 378 8. 函数的定义域为，部分对应值如下表，其导函数的图像如下图， 0 2 3 4 2 3 0 3 0 当时，函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式中共有9项 B. 第3项为 C. 各项系数的和为256 D. 二项式系数的最大值为70 11. 已知 ，若 ，则下列关系式能成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 的展开式的常数项为______． 13. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是__________． 14. 如图，下列有5个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有1个数字，现从这5个圆中各选一个方位，并记下该方位圆内的数字，要求所得5个数字来自不同的方位（例如第1个圆选了左方位上的数字，后面4个圆均不能在左方位上选数字），且这5个数字之积为0，然后将这5个数字排成一个5位数，则共有______种情况（在排5位数的过程中，若数字相同，但来自不同的圆，也视为不同的情况）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从3位女生，4位男生中选出3人参加校园大扫除活动. （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）如果至少有1位女生人选，共有多少种不同的选择方法？ 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； 17. 某人工智能社团有5位同学（含甲、乙），计划对ChatGPT、Sora、GPT-4这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型.请解答下列问题： （1）共有多少种不同的安排方案? （2）若甲、乙不能调研同一种模型，且ChatGPT模型最多只能由2人负责，共有多少种不同的安排方案? 18. 已知，． （1）若，判断的单调性； （2）若，且的极值点为，求证：且． 19. 在中，把，，…，称为三项式系数. （1）当时，写出三项式系数，，，，的值； （2）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； （3）求的值（用组合数作答）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $