第10章 数学活动4：二元一次方程的“图象”及轮胎换位问题（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（人教版）

该教案聚焦二元一次方程的图象及应用，核心知识点包括二元一次方程的图象是直线、方程组解与两直线交点的关系，以及轮胎换位的实际问题。导入通过坐标平面点与有序数对的对应关系，引导学生思考用点表示方程解，搭建从代数到几何的学习支架。 该资料以合作探究为主线，通过问题链（如探究x-y=0的解与直线关系）引导学生自主发现规律，培养几何直观。轮胎换位问题结合实际，强化应用意识，体现“用数学眼光观察现实世界”“用数学语言表达现实世界”。学生提升探究能力与核心素养，教师可依托结构化活动高效教学，助力知识内化。

第十章 二元一次方程组 数学活动4：二元一次方程的“图象”及轮胎换位问题 1．会把二元一次方程的解在平面直角坐标系中运用点的坐标表示出来． 2．能通过两条直线的交点情况确定二元一次方程组的解的情况． 3．从方程到直线，从点的坐标到方程组的解，体会数形结合思想． 4．培养学生乐于探究的钻研精神，培养几何直观、应用意识等核心素养． 5．了解轮胎换位的实际意义，增强对数学的应用意识. 重点：二元一次方程的图象是一条直线．　 难点：利用图象法求二元一次方程组的解． 一、导入新课 知识链接 我们知道坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，那么我们能否把二元一次方程的解作为点的坐标在坐标系内找出相应的点，然后借助于图形的直观性来确定二元一次方程（组）的解与两方程对应的图象特征呢？ 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究点一：二元一次方程的“图象” 思考：在平面直角坐标系中，你能把二元一次方程x－y＝0的一个解用一个点表示出来吗？ 问题1：你能说出二元一次方程x－y＝0的一些解吗？ 问题2：你能把二元一次方程x－y＝0的这些解用有序数对表示出来吗？ 问题3：标出一些以方程x－y＝0的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，你有什么发现？ 问题4：在这条直线上任取一点，这个点的坐标是方程x－y＝0的解吗？ 问题5：描出的点都在同一条直线上，你发现了什么？ 问题6：请你任意画出一个二元一次方程的图象，并观察图象是什么几何图形？ （答案在课件中展示） 探究点二：二元一次方程组的“图象” 活动：请你在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象． 问题1：任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，那么怎样快速地画出它的图象呢？ 问题2：点A（2，0），B（0，4），C（0，1），D（－1，0），E（1，2）在哪个图象上？是哪个方程的解？ 问题3：通过这两个二元一次方程的图象，你能得出这个二元一次方程组的解吗？ （答案在课件中展示） 要点归纳：（1）以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．（2）一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上的任意一点的坐标都是这个方程的解．（3）两条直线的交点坐标就是这个二元一次方程组的解；方程组的解就是对应两直线的交点坐标．　 拓展思考：两条直线的交点个数有几种情况？二元一次方程组的解有几种情况？二元一次方程组的解的个数是否与两条直线的交点个数存在对应关系？存在一致性？ （1）两直线相交，方程组有唯一解． （2）两直线平行，方程组无解；方程组无解，两直线平行． （3）两直线重合，方程组有无数个解． 探究点三：用二元一次方程组解决轮胎换位问题 问题情境：资料显示：汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到60 000 km时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到80 000 km时报废，如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少时，交换前、后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程． 问题分析：若设汽车新轮胎开至报废时的磨损程度为1，前轮胎每行驶1 km磨损，后轮胎每行驶1 km磨损，设更换前行驶x km，更换后行驶y km，你能列出关于x和y满足的方程组吗？ 解得 问题解决：你能求出轮胎报废时汽车的行驶里程是多少？（x＋y＝ km） 结论：当汽车行驶里程约为 km时更换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，汽车报废时行驶里程约为 km. 方法探究：你能否用其他方法来解决问题呢？ 解：设汽车行驶了x km后更换轮胎，你能列出关于x的方程吗？ （60 000－x）·＝（80 000－x）·，解得x＝. 追问：还可以运用其他方法解决问题吗？ 三、当堂检测 （见配套PPT） 教学过程中，要注重引导学生进行探究活动，让他们在实践中掌握用图象法解二元一次方程组的方法．在总结归纳环节，要充分发挥学生的主体作用，让他们自己总结出解题的方法和注意事项，提高他们的归纳总结能力． 学科网（北京）股份有限公司 $