数学活动4：二元一次方程的“图象”及轮胎换位问题 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学导学案围绕二元一次方程组展开，涵盖定义、解的概念、代入与加减消元法，以及图象法（方程图象为直线，方程组的解即直线交点）。通过复习一元一次方程，结合鸡兔同笼问题导入，搭建从一元到二元的认知支架。 资料亮点在于数形结合探究，引导学生将方程解与坐标系点对应，培养几何直观；结合轮胎换位等实际问题，发展模型意识，同时通过展示评价和分层练习，提升运算能力与推理意识，兼顾知识掌握与核心素养培养。

第十章 二元一次方程组 *10.4 三元一次方程组的解法(选讲内容)3. 展示评价：邀请学生上台展示拓展题的解题过程，要求规范书写步骤，师生共同评价，肯定优点，指出步骤中的错误和不足，对思路清晰、步骤规范的学生给予表扬，同时引导学生总结解题技巧，巩固两种消元法的应用。 五、总结提升，梳理收获（5分钟） 1. 师生共同总结：教师引导学生回顾本节课的核心内容，提问“本节课我们学会了什么方法解二元一次方程组？解题的核心思想是什么？”，让学生自主发言，梳理代入消元法和加减消元法的解题步骤，强调“消元思想”是解二元一次方程组的核心，两种方法的本质都是将二元转化为一元。 2. 梳理收获：教师补充总结，强调两种方法的适用场景：代入消元法适合有一个未知数系数为1或-1的方程组；加减消元法适合有一个未知数系数相同或互为相反数的方程组，鼓励学生根据方程组特点选择合适的方法，同时提醒学生注意解题步骤规范和计算准确性，避免常见错误。 3. 布置作业：让学生课后巩固两种消元法的解题方法，完成基础计算题（每种方法各2道），并解决1道实际应用题（列出方程组并求解），要求规范书写解题步骤，下节课上台展示，进一步强化技能，深化对消元思想的理解。 整个教学过程注重实操性和逻辑性，层层递进，从思想讲解到方法演示，再到实操练习和拓展应用，兼顾知识传授和能力培养，符合七年级学生的认知特点和运算能力水平，确保学生能掌握代入消元法和加减消元法，能熟练解简单的二元一次方程组，同时培养学生的运算能力、逻辑推理能力和规范书写习惯。 本教学过程时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的解的概念，能判断一个数对是否为方程组的解，培养学生的方程思想和抽象思维能力。教学过程围绕“复习铺垫—探究新知—实操巩固—拓展应用—总结收获”五个环节展开，注重实例引导、师生互动和分层教学，突出概念的逻辑性和实操性，总字数控制在1500字左右，贴合导学案教学落地需求，确保学生能扎实掌握二元一次方程组的核心概念。 一、复习铺垫，导入新课（5分钟） 1. 师生互动：教师提问“我们之前学过一元一次方程，谁能说出一元一次方程的定义？”，引导学生回忆——只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，随后板书例题：2x+3=7、5y-1=0，让学生快速判断并说明理由，唤醒旧知，强调“一元一次方程的核心是‘一个未知数、次数为1’”。2. 情境导入：展示实际问题：“现有鸡和兔共8只，它们的脚共有26只，问鸡和兔各有几只？”，引导学生思考：若设鸡有x只，兔有y只，可列出两个关系式：x+y=8、2x+4y=26，提问“这两个方程和我们之前学的一元一次方程有什么不同？”，进而引出课题——二元一次方程组，明确本节课学习任务：理解二元一次方程、二元一次方程组及解的概念，能判断方程类型和数对是否为方程组的解。 二、探究新知，突破核心（15分钟） 本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究二元一次方程组的相关概念，注重实例分析、概念拆解和易错点强调，贴合七年级学生认知特点，避免抽象难懂。 1. 二元一次方程的定义：结合导入环节的两个方程x+y=8、2x+4y=26，讲解二元一次方程的定义——含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。强调三个关键条件：① 含有两个未知数（如x和y）；② 未知数的项的次数都是1（不含平方、立方等次数）；③ 等号两边都是整式（分母不含未知数）。举例说明：3x+2y=5是二元一次方程，而x²+y=3（未知数次数为2）、1/x + y=2（分母含未知数）都不是二元一次方程，通过正反例对比，帮助学生准确理解定义。 2. 二元一次方程组的定义：讲解“把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组”，强调“合在一起”的含义——两个方程共同含有两个相同的未知数，且每个方程都是二元一次方程。 【学习目标】 1．会把二元一次方程的解在平面直角坐标系中运用点的坐标表示出来． 2．能通过两条直线的交点情况确定二元一次方程组的解的情况． 3．从方程到直线，从点的坐标到方程组的解，体会数形结合思想． 4．培养学生乐于探究的钻研精神，培养几何直观、应用意识等核心素养． 5．了解轮胎换位的实际意义，增强对数学的应用意识. 重点：二元一次方程的图象是一条直线．　 难点：利用图象法求二元一次方程组的解． 【自主学习】 我们知道坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，那么我们能否把二元一次方程的解作为点的坐标在坐标系内找出相应的点，然后借助于图形的直观性来确定二元一次方程(组)的解与两方程对应的图象特征呢? 【合作探究】 探究点一：二元一次方程的“图象” 思考：在平面直角坐标系中，你能把二元一次方程x－y＝0的一个解用一个点表示出来吗？ 问题1：你能说出二元一次方程x－y＝0的一些解吗？ 问题2：你能把二元一次方程x－y＝0的这些解用有序数对表示出来吗？ 问题3：标出一些以方程x－y＝0的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，你有什么发现？ 问题4：在这条直线上任取一点，这个点的坐标是方程x－y＝0的解吗？ 问题5：描出的点都在同一条直线上，你发现了什么？ 问题6：请你任意画出一个二元一次方程的图象，并观察图象是什么几何图形？ 探究点二：二元一次方程组的“图象” 活动：请你在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象． 问题1：任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，那么怎样快速地画出它的图象呢？ 问题2：点A（2，0），B（0，4），C（0，1），D（－1，0），E（1，2）在哪个图象上？是哪个方程的解？ 问题3：通过这两个二元一次方程的图象，你能得出这个二元一次方程组的解吗？ 要点归纳： （1）以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象． （2）一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上的任意一点的坐标都是这个方程的解． （3）两条直线的交点坐标就是这个二元一次方程组的解；方程组的解就是对应两直线的交点坐标．　 拓展思考：两条直线的交点个数有几种情况？二元一次方程组的解有几种情况？二元一次方程组的解的个数是否与两条直线的交点个数存在对应关系？存在一致性？ （1）两直线相交，方程组有唯一解． （2）两直线平行，方程组无解；方程组无解，两直线平行． （3）两直线重合，方程组有无数个解． 探究点三：用二元一次方程组解决轮胎换位问题 问题情境：资料显示：汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到60 000 km时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到80 000 km时报废，如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少时，交换前、后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程． 问题分析：若设汽车新轮胎开至报废时的磨损程度为1，前轮胎每行驶1 km磨损，后轮胎每行驶1 km磨损，设更换前行驶x km，更换后行驶y km，你能列出关于x和y满足的方程组吗？ 问题解决：你能求出轮胎报废时汽车的行驶里程是多少？ 结论： 方法探究：你能否用其他方法来解决问题呢？ 课堂检测 1.一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2 500km后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1 500km后报废，如果可以在自行车行驶一定的路程后，通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共能支撑自行车行驶( ) A.1 875 km B. 1 975 km C.2 000 km D.2 250 km 2.汽车轮胎如果放在前轮可以行驶 30 000 km，如果放在后轮可以行驶 50 000 km. 现有一辆汽车，允许在恰当的时候将前轮和后轮互换，如果在行驶过程中只允许前、后轮对调一次，那么最多可以行驶多少千米而不需要购买新的轮胎? 应当在行驶多少千米的时候将前、后轮对调? 参考答案 问题1： 问题2：(-2, -2) (-1, -1) (0， 0） (1， 1) (2， 2) 问题3：这些点都在同一条直线上. 问题4： 在这条直线上的每一个点所对应的数对刚好是方程 x - y = 0 的解. 问题5：方程 x - y = 0 的解与这条直线上的点所表示的数对刚好一一对应. 问题6： 活动2：二元一次方程组的“图象“ 活动： 问题1：可以选择在这个二元一次方程图象上的两个点，然后连接起来. 问题2：点A(2，0)，B(0，4) ，E(1，2) 在 2x + y = 4 的图象上，并且是它的解. 点C(0，1)，D(-1，0)， E(1，2) 在 x - y = -1 的图象上，并且是它的解. 问题3： 二元一次方程组的解是满足 2x + y = 4 和 x - y = -1 两个方程的公共解，在图象上反映的就是这两个图象的交点. 问题分析： 解得 问题解决：（x＋y＝ km） 结论：当汽车行驶里程约为 km时更换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，汽车报废时行驶里程约为 km. 方法探究： 解：设汽车行驶了x km后更换轮胎，你能列出关于x的方程吗？ （60 000－x）·＝（80 000－x）·，解得x＝. 课堂检测 1.A 2.解：设跑 x 千米后调换，继续行驶 y 千米后，所有的轮胎全部需要更换. 解得 x+y=18 750+18 750=37 500(千米) 答：行驶 18 750 千米后调换，最多可行驶37 500千米. 学科网（北京）股份有限公司 $