第十章 二元一次方程组（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

第十章 二元一次方程组 教学目标 1. 熟练掌握有理数全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）二元一次方程（组）的解； （2）解二元一次方程组； （3）二元一次方程组的实际应用。 2. 难点 （1）解决二元一次方程（组）中带有参数的方程问题； （2）二元一次方程组的实际应用。 考点01 二元一次方程 1. 二元一次方程的概念： 含有2个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，像这样的方程叫做二元一次方程。 2. 二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程等号左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。一个二元一次方程可以由无数组解。 【题型1】判断二元一次方程 1．下列各方程中，是二元一次方程的是（　　） A．xy＝3 B．x﹣y＝0 C． D．x2+y＝4 【答案】B 【解答】解：A．该方程的次数是2，故此项不符合题意； B．该方程是二元一次方程，故此项符合题意； C．该方程是分式方程，故此次项不符合题意； D．该方程的次数是2，故此项不符合题意； 故选：B． 【题型2】根据二元一次方程的概念求值 2．若x|a|﹣1﹣（a﹣2）y+3＝0是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（　　） A．±2 B．2 C．0 D．﹣2 【答案】D 【解答】解：∵x|a|﹣1﹣（a﹣2）y+3＝0是关于x，y的二元一次方程， ∴|a|﹣1＝1，且a﹣2≠0， 解得：a＝﹣2， 故选：D． 【题型3】判断二元一次方程的解 3．下列满足二元一次方程2x﹣y＝0的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．把代入得2×（﹣1）﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0，二元一次方程不成立，不符合题意； B．把代入得2×1﹣1＝2﹣1＝1≠0，二元一次方程不成立，不符合题意； C．把代入得2×1﹣（﹣2）＝2+2＝4≠0，二元一次方程不成立，不符合题意； D．把代入得2×0﹣0＝0﹣0＝0，二元一次方程成立，符合题意． 故选：D． 【题型4】根据二元一次方程的解求值 4．已知是二元一次方程2x﹣y＝14的解，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：将代入二元一次方程2x﹣y＝14，得 7k＝14， k＝2． 故选：A． 5．若是二元一次方程ax+by＝3的一个解，则a﹣b的值等于（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，a×1+b×1＝3， ∴a﹣b＝3． 故选：D． 【题型5】二元一次方程的整数解 6．方程2x+3y＝17的正整数解的对数是（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【解答】解：方程2x+3y＝17， 解得：y， 当x＝1时，y＝5；x＝4时，y＝3；x＝7时，y＝1， 则正整数解的个数是3个， 故选：C． 考点02 二元一次方程组 1. 二元一次方程组的概念： 把多个方程放在一起叫做方程组。若一个整式方程组中一共只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫做二元一次方程组。 2. 二元一次方程组的解： 一般地，二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。 【题型1】判断二元一次方程组 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．该方程组属于二元二次方程组，不符合题意； B．该方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； C．该方程组属于二元一次方程组，符合题意； D．该方程组符号二元二次方程组的定义，不符合题意． 故选：C． 【题型2】判断二元一次方程组的解 8．下列方程组中，解是的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、， 把代入①得：左边＝1﹣1＝0，右边＝0，成立； 代入②得：左边＝1﹣2＝﹣1，右边＝﹣1，成立，符合题意； B、， 把代入①得：1+2＝3，右边＝2，不符合题意； C、， 把代入①得：左边＝1+1＝2，右边＝0，不符合题意； D、， 把代入①得：左边＝1﹣1＝0，右边＝0； 把代入②得：左边＝1+1＝2，右边＝﹣2，不符合题意． 故选：A． 【题型3】根据二元一次方程组的解求值 9．方程组的解为，则△和□的值分别是多少（　　） A．1、2 B．5、1 C．1、5 D．2、4 【答案】B 【解答】解：把x＝2代入方程x+y＝3中，得2+y＝3， 解得y＝1，即□的值是1， 把x＝2，y＝1代入方程2x+y＝△中，得△的值是2×2+1＝5， 故选：B． 10．已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：∵是二元一次方程组的解， ∴代入得：， 解得：m＝7，n＝3， ∴m﹣n＝7﹣3＝4， 故选：D． 【题型4】二元一次方程组的整数解 11．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组，有整数解，则m的值为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：， ①+②得：（3+m）x＝10， 则x， 把x代入②：y， 当方程组有整数解时，3+m是10和15的公约数． ∴3+m＝±1或±5． 即m＝﹣2或﹣4或2或﹣8． 又∵m是正整数， ∴m＝2， 故答案为2． 考点03 二元一次方程组的解法 1. 代入消元法： (1) 消元思想： 将多元方程中的未知数逐个消除转换为一元一次方程，先求出一个未知数在求其他未知数这样由多化少的转换思想叫做消元思想。 (2) 代入消元法： 将二元一次方程组中其中一个方程的未知数用另一个未知数表示出来，在代入另一个方程中实现消元，进而求得这个二元一次方程的解的方法。简称代入法。 (3) 代入消元法的具体步骤： 1 变形：即把其中一个方程中一个未知数用另一个未知数表示出来。 2 代入：将变形得到的式子代入另一个方程。得到消元后的一元一次方程。 3 求解：解消元后的一元一次方程。 4 回代：把求得的一元一次方程的解代回变形后的式子求出另一个未知数的值。 5 写解：把两个未知数的解用联立起来。一定要写成的形式。 注意：代入消元法多使用于方程组中未知数系数为±1时的方程，有直接代入，变形代入与整体代入。 2. 加减消元法 (1) 概念： 在二元一次方程组的两个方程中，若同一个未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程分别相减或相加就能消除这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法。 (2) 加减消元法的具体步骤： 1 变形：把方程组中系数的最小公倍数较小的未知数的系数化成相等或互为相反数。 2 加减：当方程组中同一个未知数的系数化相等时，则把两个方程相减，当方程组中同一个未知数的系数化为相反数时，则把两个方程相加。消元得到一元一次方程。 3 求解：解一元一次方程得到其中一个未知数的值。 4 回代：将求出的未知数的值代入其中任意一个方程求另一个未知数的值。 5 写解：把两个未知数的解用联立起来。一定要写成的形式。 【题型1】解二元一次方程组 12．解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， 把①代入②，得x+2（2x﹣1）＝﹣7， 去括号，得x+4x﹣2＝﹣7， 解得：x＝﹣1， 把x＝﹣1代入①，得y＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3， ∴方程组的解为； （2）， ①×2，得8x+2y＝30③， ②+③，得11x＝33， 解得：x＝3， 把x＝3代入②，得3×3﹣2y＝3， 解得：y＝3， ∴方程组的解为． 13．解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①×4，得4x﹣8y＝16③， ③﹣②，得﹣11y＝11， 解得：y＝﹣1， 把y＝﹣1代入①，得x+2＝4， 解得：x＝2， ∴方程组的解为； （2）， 整理，得， ②×2，得2x+4y＝22③， ③﹣①，得3y＝9， 解得：y＝3， 把y＝3代入①，得2x+3＝13， 解得：x＝5， ∴方程组的解为． 【题型2】同解方程问题 14．若关于x，y的方程组与有相同的解，则m+n的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．3 D．﹣5 【答案】A 【解答】解：根据题意得两个方程组相同的解是， 把代入方程mx+ny＝1和方程nx+my＝﹣7中，得，， ①+②，得3m+3n＝﹣6， ∴m+n＝﹣2， 故选：A． 15．已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵方程组和有相同的解， ∴方程组的解也它们的解， 解得：， 代入其他两个方程得， 解得：， 故选：D． 【题型3】错解方程问题 16．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为：；乙看错了方程②中的b，得到方程组解为．试计算：的值． 【答案】0． 【解答】解：将代入4x﹣by＝﹣2，得﹣12+b＝﹣2， 解得b＝10， 将代入ax+5y＝15，得5a+20＝15， 解得a＝﹣1， ∴原式． 17．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为．乙看错了方程组中的b，而得解为． （1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么； （2）求出原方程组的正确解． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将代入原方程组得解得． 将代入原方程组得，解得， ∴甲把a看成，乙把b看成了． （2）由（1）可知原方程组中a＝﹣1，b＝10．故原方程组为，解得． 【题型4】利用解的特殊关系求字母 18．若方程组的解互为相反数，则m的值是（　　） A．﹣7 B．10 C．﹣10 D．﹣12 【答案】C 【解答】解； 解得， x、y互为相反数， ∴0， m＝﹣10， 故选：C． 19．已知关于x，y的方程组的解为x+y＝4的一个解，那么m的值为（　　） A．5 B．2 C．﹣3 D．﹣2 【答案】B 【解答】解：， ①﹣②得：3y＝﹣3m， ∴y＝﹣m， 把y＝﹣m代入②得：x＝3m， ∵x+y＝4， ∴3m+（﹣m）＝4， ∴m＝2． 故选：B． 20．若关于x，y的方程组的解x与y相等，则a的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．4 【答案】D 【解答】解：∵x与y相等， ∴， 解得：x＝y＝1， 代入ax+（a﹣5）y＝3中， 得：a+（a﹣5）＝3 解得：a＝4， 故选：D． 21．若关于x、y的二元一次方程组的解，也是方程3x+y＝20的解，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．无法计算 【答案】C 【解答】解：， ①+②得：4x＝12m， 解得：x＝3m， 把x＝3m代入①得：3m+2y＝5m， 解得：y＝m， 把x＝3m，y＝m代入3x+y＝20得：9m+m＝20， 解得：m＝2． 故选：C． 【题型5】不解方程组求字母的值 22．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k的值为　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：根据题意可知，二元一次方程组的解也是二元一次方程组的解， ∴， 解得：， 把代入3x+4y＝k+2，得3×3+4×（﹣2）＝k+2， 解得：k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 23．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组为， ①﹣②，得： 2x﹣2y＝2m+6， ∴x﹣y＝m+3， ∵x﹣y＝4， ∴m+3＝4， ∴m＝1． 故选：B． 24．已知x、y是二元一次方程组的解，那么x﹣y的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：将方程两式相加得， 4x﹣4y＝8， ∴x﹣y＝2， 故选：A． 【题型6】整体代入法的应用 25．阅读材料在解方程组时，明明采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③； 把方程①代入③得2×3+y＝5，∴y＝﹣1， 把y＝﹣1代入①，得x＝4， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题；模仿明明的“整体代换”法解方程组． 【答案】． 【解答】解：中将②变形，得2（4x﹣3y）﹣y＝18③， 将①代入③得，2×6﹣y＝18， ∴y＝﹣6， 将y＝﹣6代入①得，x＝﹣3， ∴方程组的解为． 26．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③ 把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1 把y＝﹣1代入①得x＝4， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组； （2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2与xy的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将方程②变形：3x+6x﹣4y＝19即3x+2（3x﹣2y）＝19③ 把方程①代入③得：3x+10＝19，∴x＝3 把x＝3代入①得y＝2， ∴方程组的解为． （2）①+2×②得到，7x2+28y2＝119， ∴x2+4y2＝17， 由①得到3（x2+4y2）﹣2xy＝47， ∴51﹣2xy＝47 ∴xy＝2． 27．阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y， 原方程组可化为， 解得，． ∴原方程组的解为． 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设x+y＝m，x﹣y＝n， 原方程可化为，即， ②﹣①得，n＝﹣1， 把n＝﹣1代入②得，， ∴， ∴， 解得． 考点04 列二元一次方程组解决实际问题 1. 列二元一次方程组解应用题的基本步骤： （1） 审题：弄清题意已经题目中的等量关系。 （2） 设未知数：根据题意设出两个未知数表示题目中的两个未知量。 （3） 列方程：根据所设未知数以及等量关系列出方程组。 （4） 解方程：解出所列的方程组。 （5） 检验：检验方程组的解是否满足实际问题。 （6） 答：写出答案。 2. 常见的基本等量关系： （1） 行程问题：速度×时间＝路程 顺水速度＝静水速度＋水流速度 逆水速度＝静水速度－水流速度 （2） 配套问题：实际数量比＝配套比 （3） 商品销售问题：利润＝售价－进价；售价＝标价×折扣；利润率＝利润÷进价×100% （4） 工程问题：工作效率×工作时间＝工作总量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率 【题型1】二元一次方程组与数学文化 28．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设有x人，y辆车， 依题意得：． 故选：C． 29．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x和y的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是，类似地，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意可列方程为． 故选：D． 30．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意得，， 故选：A． 31．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设买甜果x个，买苦果y个，由题意可得， ， 故选：A． 【题型2】行程问题 32．小明去距市区40km的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了2h，已知汽车的速度为38km/h，步行的速度为4km/h，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为xkm和ykm，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意可列方程组为， 故选：B． 33．李明和刘伟分别从A，B两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发24min后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进4.8km，相遇后6min李明到达B地．两人每小时分别行进多少千米？相遇后经过多长时间刘伟到达A地？ 【答案】李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米，相遇后经过1.6小时刘伟到达A地． 【解答】解：设李明每小时行进x千米，刘伟每小时行进y千米， 由题意得：， 解得：， ∴16÷4＝1.6（小时）， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米，相遇后经过1.6小时刘伟到达A地． 【题型3】顺逆行问题 34．解诗谜：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，试求风的速度为 　50里/分钟　 ． 【答案】50里/分钟． 【解答】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟， 依题意，得， 解得． 答：风的速度为50里/分钟． 故答案为：50里/分钟． 【题型4】配套问题 35．某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，由题意得： 故选：C． 36．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大、小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． （1）该车间有男、女生各多少人？ （2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大、小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人生产大齿轮，多少名工人生产小齿轮？ 【答案】（1）该车间有男生31人，女生54人； （2）应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人负责生产小齿轮． 【解答】解：（1）设该车间有男生x人，女生y人， 根据题意得：， 解得：， 答：该车间有男生31人，女生54人； （2）设应该分配m名工人生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人生产小齿轮， 根据题意得：3×16m＝2×10（85﹣m）， 解得：m＝25， ∴85﹣m＝60， 答：应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮． 37．2025年12月22日，我县某校开展的“情暖冬至，传承传统”劳动实践活动上了《贵州教育报》，学生们自己动手包饺子等劳动实践活动，在劳动中感悟节日的内涵，不仅丰富了校园生活，更在潜移默化的培养了学生的文化自信，让传统节日焕发新生．该校七年级（2）班共有学生50人，其中女生人数比男生少6人，并且每名学生每节课可以制作20张饺皮或者包饺子30个． （1）求该班男生、女生各多少人？ （2）班主任计划让男生负责制作饺皮，女生负责包饺子，一张饺皮包一个饺子，那么女生应向男生支援多少人时，才能使这节课制作的饺皮正好用完？ 【答案】（1）男生28人，女生22人； （2）女生应向男生支援2人． 【解答】解：（1）设该班男生有x人，则女生有x﹣6人． 根据题意列一元一次方程得，x+（x﹣6）＝ 50， 整理得，2x＝56， 解得x＝28， ∴男生人数：28人，女生人数：28﹣6＝22人； （2）设女生向男生支援y人， 根据题意得，制作饺皮的总人数：28+y人，每节课可做饺皮20（28+y）张；包饺子的总人数：22﹣y人，每节课可包饺子30（22﹣y）个， ∵“一张饺皮包一个饺子”， ∴根据题意列一元一次方程得，20（28+y）＝ 30（22﹣y）， 整理得，50y＝100， 解得y＝2． 答：女生应向男生支援2人． 【题型5】工程问题 38．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建260m，雨天每天修建120m，他们连续修建了1480m，平均每天修建148m，那么这几天中有几天雨天（　　） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【答案】C 【解答】解：设这几天中有x天晴天，y天雨天， 根据题意得：， 解得：， ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 39．某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车， 依题意，得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划， 依题意，得：4×30+2m＝200， 解得：m＝40． 答：还需要招聘40名新工人才能完成一个月的生产计划． 【题型6】商品销售问题 40．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（　　） A．200元 B．300元 C．400元 D．500元 【答案】C 【解答】解：设打折前每件A商品x元，每件B商品y元， ∵买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元， ∴， 解得， ∴打折前每件A商品16元，每件B商品4元， ∵500×16+500×4﹣9600＝400（元）， ∴买500件A商品和500件B商品比不打折少花400元； 故选：C． 41．苗族刺绣是苗族传统手工技艺之一，也是苗族服饰主要的装饰手段，苗绣于2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为传承和弘扬非遗文化，某文创店用1170元购进A，B两款苗绣产品共30件，这两款苗绣产品的进价与标价如下表所示． 类型 A款 B款 进价（元/件） 30 45 标价（元/件） 50 70 （1）这两款苗绣产品各购进多少件？ （2）若B款苗绣产品按标价的八折出售，且这30件苗绣产品全部售出后，该文创店共获得利润258元，则A款苗绣产品按标价的几折出售？ 【答案】（1）A款苗绣产品购进12件，B款苗绣产品购进18件； （2）A款苗绣产品按标价的七折出售． 【解答】解：（1）设A款苗绣产品购进x件，B款苗绣产品购进y件． 根据题意列二元一次方程组： 解得． 答：A款苗绣产品购进12件，B款苗绣产品购进18件． （2）设A款苗绣产品按标价的k折出售． 根据题意列一元一次方程：， 整理得，60k＝420， 解得k＝7． 答：A款苗绣产品按标价的七折出售． 【题型7】几何问题 42．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为xcm和ycm，则依题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据图示可得：． 故选：B． 43．如图（单位：cm），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． （1）若设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则大长方形的宽可用含有x与y的式子表示为　（x+y）　 cm； （2）每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 【答案】（1）（x+y）； （2）长为30cm，宽为10cm． 【解答】解：（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm， 根据题意列式得，大长方形的宽为：（x+y）cm， 故答案为：（x+y）； （2）设小长方形的长为xcm，宽为ycm， 由题意列二元一次方程得， ， 解得， 所以每块小长方形墙砖的长为30cm，宽为10cm． 考点05 三元一次方程组及其解法 1. 三元一次方程的定义： 含有3个未知数且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程。 2. 三元一次方程组的定义： 方程组中含有3个未知数，含未知数的项的次数都是1且一共有三个方程的方程组叫做三元一次方程组。 3. 解三元一次方程组的基本步骤： （1） 变形：通过加减消元或带入消元把三元一次方程组变为二元一次方程。 （2） 求解：求解二元一次方程组。 （3） 回代：将求得的二元一次方程组的两个解带入原方程中任意一个方程，得到一个一元一次方程。 （4） 求解：解一元一次方程得到第三个未知数的值。 （5） 写解：用写出方程组的解。 【题型1】解三元一次方程组 44．将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：， 由②+③得：4x﹣3y＝5④， ∴， 故答案为：． 45．解方程组：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：， ①×3+②得，9x+7y＝19④， ①×2﹣③得，3x+3y＝9， 即x+y＝3⑤， 联立， 解得， 把x＝﹣1，y＝4代入①得，2×（﹣1）+3×4﹣z＝4， 解得z＝6， 所以方程组的解是． 【题型2】三元一次方程组的简单实际应用 46．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件丙1件，共需64元，若购甲4件，乙10件，丙1件，共需79元．现购甲、乙、丙各一件，共需（　　）元． A．32 B．33 C．34 D．35 【答案】C 【解答】解：设购甲每件x元，购乙每件y元，购丙每件z元． 列方程组得：， ①×3﹣②×2得：x+y+z＝34． 故选：C． 47．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表： 农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金 水稻 4人 1万元 棉花 8人 1万元 蔬菜 5人 2万元 已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，由题意得： ， 解得：， 答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜为16公顷． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 教学目标 1. 熟练掌握有理数全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）二元一次方程（组）的解； （2）解二元一次方程组； （3）二元一次方程组的实际应用。 2. 难点 （1）解决二元一次方程（组）中带有参数的方程问题； （2）二元一次方程组的实际应用。 考点01 二元一次方程 1. 二元一次方程的概念： 含有2个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，像这样的方程叫做二元一次方程。 2. 二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程等号左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。一个二元一次方程可以由无数组解。 【题型1】判断二元一次方程 1．下列各方程中，是二元一次方程的是（　　） A．xy＝3 B．x﹣y＝0 C． D．x2+y＝4 【题型2】根据二元一次方程的概念求值 2．若x|a|﹣1﹣（a﹣2）y+3＝0是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（　　） A．±2 B．2 C．0 D．﹣2 【题型3】判断二元一次方程的解 3．下列满足二元一次方程2x﹣y＝0的是（　　） A． B． C． D． 【题型4】根据二元一次方程的解求值 4．已知是二元一次方程2x﹣y＝14的解，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 5．若是二元一次方程ax+by＝3的一个解，则a﹣b的值等于（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【题型5】二元一次方程的整数解 6．方程2x+3y＝17的正整数解的对数是（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 考点02 二元一次方程组 1. 二元一次方程组的概念： 把多个方程放在一起叫做方程组。若一个整式方程组中一共只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫做二元一次方程组。 2. 二元一次方程组的解： 一般地，二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。 【题型1】判断二元一次方程组 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【题型2】判断二元一次方程组的解 8．下列方程组中，解是的是（　　） A． B． C． D． 【题型3】根据二元一次方程组的解求值 9．方程组的解为，则△和□的值分别是多少（　　） A．1、2 B．5、1 C．1、5 D．2、4 10．已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4】二元一次方程组的整数解 11．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组，有整数解，则m的值为　 　 ． 考点03 二元一次方程组的解法 1. 代入消元法： (1) 消元思想： 将多元方程中的未知数逐个消除转换为一元一次方程，先求出一个未知数在求其他未知数这样由多化少的转换思想叫做消元思想。 (2) 代入消元法： 将二元一次方程组中其中一个方程的未知数用另一个未知数表示出来，在代入另一个方程中实现消元，进而求得这个二元一次方程的解的方法。简称代入法。 (3) 代入消元法的具体步骤： 1 变形：即把其中一个方程中一个未知数用另一个未知数表示出来。 2 代入：将变形得到的式子代入另一个方程。得到消元后的一元一次方程。 3 求解：解消元后的一元一次方程。 4 回代：把求得的一元一次方程的解代回变形后的式子求出另一个未知数的值。 5 写解：把两个未知数的解用联立起来。一定要写成的形式。 注意：代入消元法多使用于方程组中未知数系数为±1时的方程，有直接代入，变形代入与整体代入。 2. 加减消元法 (1) 概念： 在二元一次方程组的两个方程中，若同一个未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程分别相减或相加就能消除这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法。 (2) 加减消元法的具体步骤： 1 变形：把方程组中系数的最小公倍数较小的未知数的系数化成相等或互为相反数。 2 加减：当方程组中同一个未知数的系数化相等时，则把两个方程相减，当方程组中同一个未知数的系数化为相反数时，则把两个方程相加。消元得到一元一次方程。 3 求解：解一元一次方程得到其中一个未知数的值。 4 回代：将求出的未知数的值代入其中任意一个方程求另一个未知数的值。 5 写解：把两个未知数的解用联立起来。一定要写成的形式。 【题型1】解二元一次方程组 12．解下列方程组： （1）； （2）． 13．解下列方程组： （1）； （2）． 【题型2】同解方程问题 14．若关于x，y的方程组与有相同的解，则m+n的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．3 D．﹣5 15．已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（　　） A． B． C． D． 【题型3】错解方程问题 16．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为：；乙看错了方程②中的b，得到方程组解为．试计算：的值． 17．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为．乙看错了方程组中的b，而得解为． （1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么； （2）求出原方程组的正确解． 【题型4】利用解的特殊关系求字母 18．若方程组的解互为相反数，则m的值是（　　） A．﹣7 B．10 C．﹣10 D．﹣12 19．已知关于x，y的方程组的解为x+y＝4的一个解，那么m的值为（　　） A．5 B．2 C．﹣3 D．﹣2 20．若关于x，y的方程组的解x与y相等，则a的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．4 21．若关于x、y的二元一次方程组的解，也是方程3x+y＝20的解，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．无法计算 【题型5】不解方程组求字母的值 22．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k的值为　 　 ． 23．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 24．已知x、y是二元一次方程组的解，那么x﹣y的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【题型6】整体代入法的应用 25．阅读材料在解方程组时，明明采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③； 把方程①代入③得2×3+y＝5，∴y＝﹣1， 把y＝﹣1代入①，得x＝4， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题；模仿明明的“整体代换”法解方程组． 26．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③ 把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1 把y＝﹣1代入①得x＝4， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组； （2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2与xy的值． 27．阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y， 原方程组可化为， 解得，． ∴原方程组的解为． 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 考点04 列二元一次方程组解决实际问题 1. 列二元一次方程组解应用题的基本步骤： （1） 审题：弄清题意已经题目中的等量关系。 （2） 设未知数：根据题意设出两个未知数表示题目中的两个未知量。 （3） 列方程：根据所设未知数以及等量关系列出方程组。 （4） 解方程：解出所列的方程组。 （5） 检验：检验方程组的解是否满足实际问题。 （6） 答：写出答案。 2. 常见的基本等量关系： （1） 行程问题：速度×时间＝路程 顺水速度＝静水速度＋水流速度 逆水速度＝静水速度－水流速度 （2） 配套问题：实际数量比＝配套比 （3） 商品销售问题：利润＝售价－进价；售价＝标价×折扣；利润率＝利润÷进价×100% （4） 工程问题：工作效率×工作时间＝工作总量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率 【题型1】二元一次方程组与数学文化 28．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 29．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x和y的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是，类似地，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为（　　） A． B． C． D． 30．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 31．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【题型2】行程问题 32．小明去距市区40km的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了2h，已知汽车的速度为38km/h，步行的速度为4km/h，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为xkm和ykm，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 33．李明和刘伟分别从A，B两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发24min后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进4.8km，相遇后6min李明到达B地．两人每小时分别行进多少千米？相遇后经过多长时间刘伟到达A地？ 【题型3】顺逆行问题 34．解诗谜：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，试求风的速度为 　 　 ． 【题型4】配套问题 35．某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 36．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大、小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． （1）该车间有男、女生各多少人？ （2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大、小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人生产大齿轮，多少名工人生产小齿轮？ 37．2025年12月22日，我县某校开展的“情暖冬至，传承传统”劳动实践活动上了《贵州教育报》，学生们自己动手包饺子等劳动实践活动，在劳动中感悟节日的内涵，不仅丰富了校园生活，更在潜移默化的培养了学生的文化自信，让传统节日焕发新生．该校七年级（2）班共有学生50人，其中女生人数比男生少6人，并且每名学生每节课可以制作20张饺皮或者包饺子30个． （1）求该班男生、女生各多少人？ （2）班主任计划让男生负责制作饺皮，女生负责包饺子，一张饺皮包一个饺子，那么女生应向男生支援多少人时，才能使这节课制作的饺皮正好用完？ 【题型5】工程问题 38．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建260m，雨天每天修建120m，他们连续修建了1480m，平均每天修建148m，那么这几天中有几天雨天（　　） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 39．某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？ 【题型6】商品销售问题 40．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（　　） A．200元 B．300元 C．400元 D．500元 41．苗族刺绣是苗族传统手工技艺之一，也是苗族服饰主要的装饰手段，苗绣于2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为传承和弘扬非遗文化，某文创店用1170元购进A，B两款苗绣产品共30件，这两款苗绣产品的进价与标价如下表所示． 类型 A款 B款 进价（元/件） 30 45 标价（元/件） 50 70 （1）这两款苗绣产品各购进多少件？ （2）若B款苗绣产品按标价的八折出售，且这30件苗绣产品全部售出后，该文创店共获得利润258元，则A款苗绣产品按标价的几折出售？ 【题型7】几何问题 42．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为xcm和ycm，则依题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 43．如图（单位：cm），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． （1）若设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则大长方形的宽可用含有x与y的式子表示为　 　 cm； （2）每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 考点05 三元一次方程组及其解法 1. 三元一次方程的定义： 含有3个未知数且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程。 2. 三元一次方程组的定义： 方程组中含有3个未知数，含未知数的项的次数都是1且一共有三个方程的方程组叫做三元一次方程组。 3. 解三元一次方程组的基本步骤： （1） 变形：通过加减消元或带入消元把三元一次方程组变为二元一次方程。 （2） 求解：求解二元一次方程组。 （3） 回代：将求得的二元一次方程组的两个解带入原方程中任意一个方程，得到一个一元一次方程。 （4） 求解：解一元一次方程得到第三个未知数的值。 （5） 写解：用写出方程组的解。 【题型1】解三元一次方程组 44．将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 　 　 ． 45．解方程组：． 【题型2】三元一次方程组的简单实际应用 46．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件丙1件，共需64元，若购甲4件，乙10件，丙1件，共需79元．现购甲、乙、丙各一件，共需（　　）元． A．32 B．33 C．34 D．35 47．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表： 农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金 水稻 4人 1万元 棉花 8人 1万元 蔬菜 5人 2万元 已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $