11.2 第3课时 一元一次不等式的应用(2)（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦一元一次不等式的应用，通过自主学习中购买笔记本和证书的优惠方案问题导入，承接不等式解法知识，以设未知数、表示费用、比较大小的问题链为支架，引导学生从实际问题抽象数量关系。 以超市购物、污水处理设备购买等真实情境问题培养数学眼光，通过分类讨论比较方案费用发展数学思维中的推理意识，列不等式建模体现数学语言的应用，习题层次分明，助力学生提升解决复杂实际问题的能力。

第11章 不等式与不等式组 11.2 一元一次不等式 第3课时 一元一次不等式的应用(2) 【学习目标】 1. 会在实际问题中寻找数量关系，并列出相应的一元一次不等式，加强抽象能力. 养成用数学眼光观察的习惯，进一步渗透模型思想. 2.在利用一元一次不等式解决复杂的实际问题的过程中，体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，学会分类讨论，培养发散性思维. 【学习重点】一元一次不等式解决复杂的实际问题中的应用. 【学习难点】在实际问题中建立一元一次不等式的数量关系. 【自主学习】 问题：某学校期末需要表彰优秀学生，计划购买一些笔记本和证书，笔记本的单价为 6 元，证书的单价为 0.4 元. 某文具用品商店给出两种优惠方案： 甲：买一个笔记本，赠送一张证书； 乙：一次购买证书 200 张以上，超过 200 张的证书按原价打八折，笔记本不打折. 学校准备购买 80 本笔记本，证书若干张(超过 200 张)， 请你判断哪种方案更合算，并说明理由. 【合作探究】 探究点：方案问题 问题1：题中还有什么未知量？怎么设未知数？ 问题2：怎么用含未知数的代数式表示甲、乙两个方案的费用？ 问题3：怎么比较两个方案费用的大小？ [典例精析] 例1 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？ 分析： 累计购物花费 在甲超市花费 在乙超市花费 0＜x≤50 50＜x≤100 x＞100 (1) 当 0＜x≤50 时，在两家超市购物花费_____，因为_______________. (2) 当 50＜x≤100 时，在_______超市购物花费少，因为_______________. (3) 当累计购物超过100元，即 x＞100 时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠. ①若到甲超市购物花费较少，则_________________________________________， 解得 ________. 即________时，到甲超市购物花费较少. ②若到乙超市购物花费较少，则_________________________，解得 ________. 即____________时，到乙超市购物花费较少. ③若到两超市购物花费相同，则_________________________，解得 ________. 即____________时，到甲、乙两超市购物花费相同. 归纳总结： 练一练 1. 为了保护环境，某企业决定购买 10 台污水处理设备，现有 A，B 两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表. 经预算，该企业购买设备的资金不高于 105 万元. A型 B型 价格(万元/台) 12 10 处理污水量(吨/月) 240 200 (1) 该企业有多少种购买方案? (2) 若该企业每月产生的污水量为 2040 吨，为了节省资金，应该选择哪种购买方案? 课堂检测 1.某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用.已知该汽车用油驱动方式行驶1千米的油费为0.9元，用电驱动方式行驶1千米的电费比油费少0.8元.该汽车从A地行驶100千米至B地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？设该汽车从A地行驶至B地用电行驶x千米，则x满足的不等关系为(　　) A.0.9x＋(0.9－0.8)(100－x)≤40 B.(0.9－0.8)x＋0.9(100－x)≤40 C.(0.9＋0.8)x＋0.9(100－x)≤40 D.0.9x＋(0.9＋0.8)(100－x)≤40 2.小林一家五口去餐馆用餐，平均每人消费60元，爸爸去结账时，服务员告诉他有两种方式：方式一是团购，有58元抵100的抵用券，每桌限用2张，其余部分另外支付；方式二是享受八折优惠.哪种方式支付更划算呢？(　　) A.方式一 B.方式二 C.两种方式花费相同 D.无法确定 3.[教材变式]某班为了奖励进步学生，班主任准备购买笔记本和笔袋两种文具共10个，已知笔记本每本12元，笔袋每个6元，若购买的总费用不超过100元，则班主任最多能买　　本笔记本. 4.某农场实行机械化种植，为了更好更快地收割庄稼，农场主小张决定购买8台收割机.现有甲、乙两种品牌的收割机，其中甲收割机每天收割24亩，乙收割机每天收割18亩.销售商又宣传说，购买一台甲收割机比购买一台乙收割机多8万元，购买2台甲收割机比购买3台乙收割机多4万元. (1)求两种收割机的价格； (2)如果小张购买收割机的资金不超过125万元，那么有哪几种购买方案？ 5. 某单位准备购买某文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖. (1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市购买需支付 元，在乙超市购买需支付 元； (2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 参考答案 【合作探究】 探究点 、方案问题 问题1 购买证书的数量，设购买证书 m (m＞200) 张. 问题2 选择方案甲所需费用 y甲为80×6＋0.4×(m－80)＝(0.4m＋448) (元)； 选择方案乙所需费用y乙为80×6＋0.4×200＋0.4×0.8×(m－200)＝(0.32m＋496) (元). 问题3 ① 当 y甲＝y乙 时，即 0.4m＋448＝0.32m＋496.移项，得 0.4m－0.32m＝496－448.合并同类项，0.08m＝48.解得m＝600. ② 当 y甲＞y乙 时，0.4m＋448＞0.32m＋496.移项：0.4m－0.32m＞496－448.合并同类项：0.08m＞48.解得m＞600. ③当 y甲＜y乙 时，0.4m＋448＜0.32m＋496.移项：0.4m－0.32m＜496－448. 合并同类项：0.08m＜48. 解得m＜600. 综上，当购买证书 600 张时，甲、乙两种方案费用一样；当购买证书的数量大于 600 张时，方案乙更合算；当购买证书的数量大于 200 张且小于 600 张时，方案甲更合算. 例1 表格填空 x x x 50+0.95(x-50) 100+0.9(x-100) 50+0.95(x-50) （1） 一样 都不享受优惠 （2）乙超市有优惠，甲超市没有 （3）① 100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50) x＞150 x＞150 ②100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50) x＜150 100＜x＜150 ③ 100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50) x＝150 x＝150 答：综上所述，当累计购物花费不超过 50 元或等于 150 元时，到两家超市购物花费相同；当累计购物超过 50 元而不到 150 元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少. 【练一练】 3.（1）解：设购买 A 型污水处理设备 x 台，则购买 B 型污水处理设备 (10－x) 台.由题意，得 12x＋10(10－x)≤105，解这个不等式，得 x≤2.5.因为 x 为设备的台数，所以 x 为非负整数，即0≤x≤2.5 且 x 为整数，那么 x 的值可以为 0，1，2.当x=0时，10-x=10-0=10，即购买A型 0 台，B型10 台. 当x=1时，10-x=10-1=9，即购买A型 1 台，B型 9 台. 当x=2时，10-x=10-2=8，即购买A型 2 台，B型 8 台. 所以该企业有 3 种购买方案. （2）解：由题意得 240x＋200(10－x)≥2040， 解得 x≥1. 结合(1) 中 x≤2.5且 x 为整数，可得 x 的值为 1 或 2. 分别计算两种情况下的购买资金： 当 x＝1 时，购买A 型 1 台，B 型 9 台， 购买资金为12×1＋10×9＝12＋90＝102 (万元). 当 x＝2 时，购买 A 型 2 台，B 型 8 台，购买资金为 12×2＋10×8＝24＋80＝104 (万元). 因为 102<104，所以为了节省资金，应该选择购买A型1 台，B型 9 台的方案. 课堂检测 1.　B　2.　A　3.　6　 4.解：(1)设每台乙收割机的价格是x万元， 则每台甲收割机的价格是(x＋8)万元. 根据题意得2(x＋8)－3x＝4，解得x＝12.∴x＋8＝20. 答：每台甲收割机的价格是20万元，每台乙收割机的价格是12万元. (2)设购买m台甲收割机，则购买(8－m)台乙收割机. 根据题意得20m＋12(8－m)≤125，解得m≤. 又∵m为非负整数， ∴m可以为0，1，2，3. ∴共有4种购买方案， 方案1：购买8台乙收割机； 方案2：购买1台甲收割机，7台乙收割机； 方案3：购买2台甲收割机，6台乙收割机； 方案4：购买3台甲收割机，5台乙收割机. 5.(1) 300 (2) 240 (2) 解：设购买x件这种文化用品.当0＜x≤40时， 在甲超市购买需支付10x元， 在乙超市购买需支付0.8×10x＝8x(元). ∵10x＞8x， ∴选择乙超市支付的费用较少.当x＞40时，在甲超市购买需支付 400＋0.6(10x－400)＝(6x＋160)(元)， 在乙超市购买需支付0.8×10x＝8x(元). 若6x＋160＞8x，则x＜80；若6x＋160＝8x， 则x＝80；若6x＋160＜8x，则x＞80. 综上，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为80件时，选择两家超市支付的费用相同；当购买数量超过80件时，选择甲超 市支付的费用较少. 学科网（北京）股份有限公司 $