10.3 第1课时 和差倍分和销售问题（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦二元一次方程组的应用，核心解决和差倍分与销售问题。以《孙子算经》“鸡兔同笼”问题导入，衔接方程组解法，通过养牛场饲料、空调销售等实例搭建学习支架，引导学生从实际问题中抽象等量关系。 资料特色在于以生活情境激发兴趣，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力，通过问题链引导推理找等量关系发展数学思维，分层练习与检测强化模型意识，提升运用方程组解决实际问题的应用能力。

第十章 二元一次方程组 10.3 第1课时 和差倍分问题和销售问题 【学习目标】 1.使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题,让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用. 2.通过应用题教学，学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性. 【学习重点】能根据题意找出等量关系，并能根据题意列二元一次方程组. 【学习难点】正确找出问题中的两个等量关系. 【自主学习】 孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”，该如何解决呢？ 【合作探究】 探究点一、和差倍分问题 例1 养牛场原有 30 只大牛和 15 只小牛，1 天约用饲料 675 kg；一周后又购进 12 只大牛和 5 只小牛，这时 1 天约用饲料 940 kg. 饲养员李大叔估计每只大牛 1 天约需饲料 18-20 kg，每只小牛 1 天约需饲料7-8kg. 你认为李大叔估计的准确吗？ 等量关系： [合作探究] 随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的 42 头大牛和 20 头小牛，已知甲种饲养员每人可负责 8 头大牛和 4 头小牛，乙种饲养员每人可负责 5 头大牛和 2 头小牛，请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人? 问题1： 题中有哪些未知量，你如何设未知数? 问题2： 题中有哪些等量关系? 追问：你能根据上面的等量关系列出方程或者方程组解决问题吗? 总结： [练一练] 1.某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分.市第二中学足球队比赛 11 场，没有输过一场，共得 27 分，试问该队胜几场? 平几场? 方法归纳： 1.基本数量关系：各部分数量之和 = 全部数量； 2.方法：明显关系词，如此、是、多、少、倍、共、几分之几等； 探究点二、销售问题 [合作探究] 炎炎夏日，随着气温的升高，某空调专卖店销售的 A，B 两种空调销量迅速增长.已知 A 空调的进价为 0.2万元/台，售价为 0.5 万元/台； B 空调的进价为 0.4万元/台，售价为 0.7 万元/台.今年六月这两种空调的销售总额为 206 万元，总利润为102万元. 问这两种空调售出的台数分别是多少? 问题1：售价、进价、利润三者之间有什么关系? 问题2：设 A 空调售出x台，B 空调售出 y 台.分别用 x 和y表示两种空调的总售价和总利润. 问题3：你能根据上面的等量关系列出方程组解决问题吗? 例2小林在某商店购买商品 A，B共二次，购买商品A，B的数量和费用如下表： 购买商品 A的数量/个 购买商品B数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 1140 第二次购物 3 7 1110 求商品 A，B 的标价？ 要点归纳 标价 = 进价+进价×利润率 =(1十利润率)×进价. 售价 = 标价×n/10 (打n折销售时). 利润 = 售价-进价 利润率=利润/进价×100％ =售价−进价/进价×100％ [练一练] 2.《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”，该如何解决呢？ 3. 列二元一次方程组解决下面问题： 为落实教育部门安排的学生社会实践活动，八年级(9)班开展了一次蔬菜售卖体验.其中第一小组花 128 元从蔬菜批发市场批发了豆角和土豆共 55 kg 到蔬菜市场去卖，豆角和土豆当天的批发价与零售价如表所示： 品名 豆角 土豆 批发价(元/kg) 2.4 2.2 零售价(元/kg) 3.8 3.3 请问该小组当天卖完这些豆角和土豆可赚多少元？ 课堂检测 1. “六一”儿童节前夕，某超市用3360元购进A，B两种童装共120套，其中A种童装每套24元，B种童装每套36元.若设购A种童装x套，B种童装y套，根据题意列方程组正确的是(　　) A. B. C. D. 2. 有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次共可运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次共可运货35吨，则每辆小货车一次可运货(　　) A. 2吨 B. 2.5吨 C. 3吨 D. 3.5吨 3. 甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元.若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了_______张. 4. 某超市为促销，决定对A，B两种商品统一进行打8折销售，打折前，买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元，打折后，小敏买50件A商品和40件B商品仅需________元. 5.有48支队共520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，问篮球、排球队各有多少支 球队参赛？ 参考答案 【自主学习】 可以借助二元一次方程组来解决 【合作探究】 探究点一、和差倍分问题 [典型例题]例1 等量关系 30头大牛1天用的饲料 + 15头小牛1天用的饲料 = 675 kg 42头大牛1天用的饲料 + 20头小牛1天用的饲料 = 940 kg 问题1 甲种饲养员和乙种饲养员的人数未知；设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人. 问题2 甲负责的大牛数＋乙负责的大牛数＝总大牛数； 甲负责的小牛数＋乙负责的小牛数＝总小牛数. 追问： 解得 答：李大叔应聘请甲种饲养员 4 人，乙种饲养员 2 人. [练一练]1. 解：设该队胜了 x 场，平了 y 场. 答：该队胜了 8 场，平了 3 场. 探究点二、销售问题 问题1 利润 = 售价 - 进价 问题2 A空调总售价 0.5x 万元，总利润是0.3x万元；B 空调总售价 0.7y 万元，总利润是 0.3y 万元. 问题3 解得 答：所以 A 空调售出 160 台，B 空调售出 180 台. [典型例题]例2 解：设商品 A 的售价为 x 元，商品 B 的售价为 y 元. 解得 答：商品A的售价为90元，商品B的售价为120元. [练一练]2、解：设鸡有 x 只，兔有 y 只. 解得 答：鸡有 23 只，兔有 12 只. 3. 解：设该小组当天购买了 x kg 豆角，y kg 土豆. 根据题意，得 解得 (3.8-2.4)×35＋(3.3-2.2)×20 = 71（元） 答：该小组当天卖完这些豆角和土豆可赚 71 元. 课堂检测 1.B 2. B 3.20 4.384 5.解：设参赛的篮球队有x支，排球队有y支， 解得 答：参赛的篮球队有28支，排球队有20支. 学科网（北京）股份有限公司 $