8.3 第1课时 实数（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“实数”核心内容，涵盖无理数与实数的概念、分类，实数与数轴的一一对应及大小比较。通过自主学习问题回顾有理数知识，结合视频“万物皆数”追溯无理数起源，搭建从有理数到实数的学习支架。 资料以合作探究为特色，通过计算有理数小数形式引导发现规律，结合圆滚动、正方形剪拼等直观演示突破难点，典型例题与分层检测结合，培养学生抽象能力、几何直观和推理意识，助力构建严谨知识体系，提升数学思维品质。

第八章 实数 8.3 第1课时 实数 【学习目标】 1. 经历无理数的探究过程，了解无理数和实数的概念，会把实数进行分类. 2.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小. 3. 通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 【学习重点】对实数按照一定的标准进行分类,用数轴上的点表示实数，并比较实数的大小. 【学习难点】用数轴上的点表示实数,并比较实数的大小. 【自主学习】 (1)什么是有理数? 有理数包括哪些类别? (2) 什么是无限不循环小数? 我们接触的最常见的无限不循环小数有哪些? 展示视频“万物皆数”,了解无理数的起源. 【合作探究】 探究点一：无理数和实数的概念及实数分类 计算：把下列有理数写成小数的形式： 4= ____ = ____ −= ____ = ____ = ____ = ____ 思考 1：观察运算结果，请问你有什么发现? 请同学们自主讨论得出自己的结论. 思考 2：像 这样的无限不循环小数属于有理数吗?为什么? 思考 3：如果无限不循环小数不属于有理数，通过阅读教材P52说说它属于哪一类数? 【知识要点】 类比有理数，我们将无限不循环小数叫作________. 无理数的 3 种常见的表现形式有： (1) 构造型的无限不循环小数 【如 0.301 001 0001···（每相邻两个1之间依次增加1个0)】 ； (2) 具有特定意义的数(如 π)； (3) 含有根号且被开方数不能被开尽的数(如 ). 我们将有理数和无理数统称为实数. 思考 4：类比有理数的分类，你能给实数分类吗? 因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小对实数分类吗？ 【典型例题】例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内： ，0，， 0.252252225…(相邻两个5之间依次增加一个2) 无理数：{ } 有理数：{ } 正实数：{ } 负实数：{ } 【练一练】 1.下列说法中，正确的是（ ）. A. 实数分为正实数和负实数 B. 无限小数都是无理数 C. 无理数都是无限小数 D. 带根号的数都是无理数 2.有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的x为 81 时，输出的y是（ ）. A. 9 B. C.3 D. 探究点二、实数与数轴上的点 演示1：以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于 π. 如图 ，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点 O 到达点 O′，点 O′ 对应的数是多少? 思考 1： 点O′ 对应的数是多少? 思考 2： 点O′ 对应的数在数轴上的位置说明了什么? 演示2：你能在数轴上表示出和-吗？ 两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼 得到一个大正方形，由大正方形的面积为 2 可知其边长为_______，从而说明边长为1的小正方形的对角线长为____. 结合两个演示思考下面的问题: (1)回顾有理数在数轴上的表示，π， 与 － 在数轴上的对应位置说明了什么? 归纳小结：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数. (2) 通过上述探究，比较 π，－ ，，0，1，2，3 的大小，并说明如何比较实数的大小. 要点归纳 要点 1：实数和数轴上的点是一一对应的. 要点 2：与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 要点 3：(1)正数大于零，负数小于零，正数大于负数；(2)两个正数，绝对值大的数较大；(3)两个负数，绝对值大的数反而小. 【典型例题】 例2 在数轴上表示下列各数，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们. 1， ，－，π ，－ 【练一练】3.如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为 和 5.1，则 A，B 两点之间表示整数的点共有(　　) A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个 例3 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1和 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C，求点 C 所表示的实数． 课堂检测 1. 下列实数中，是无理数的是(　　) A. 0.2 B. C. D.－5 2. 下列各数：3.14159，π，，0.131131113…(相邻的两个3之间依次多一个1)，－，－ ，其中无理数有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3. 下列说法中错误的是(　　) A. 是有理数 B. 是无理数 C. 是有理数 D. 是分数 4. 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为和4.1，则A，B两点之间表示整数的点共有_______个. 5. 把下列各数填入相应的集合内： - ，－ ， ， ， ，0，π，－ ，， 1.2020020002…(相邻两个2之间0的个数逐次加1). ①有理数集合：{ }. ②无理数集合：{ }. ③整数集合：{ }. ④分数集合：{ }. ⑤正实数集合：{ }. ⑥负实数集合：{ }. 参考答案 【自主学习】 (1)可以写成分数形式的数是有理数，包括整数和分数. (2)无限不循环小数是指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复.我们接触的最常见的无限不循环小数有 ，π等. 【合作探究】 探究点一、无理数和实数的概念及实数分类 计算 2.5 −0.6 6.75 1.222… 0.8181… 思考1 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式. 思考2 不属于，因为有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，不能化成有限小数或无限循环小数的数不是有理数.√2不能化成有限小数或无限循环小数，所以√2不属于有理数. 思考3 无理数 知识要点 无理数 思考4 【典型例题】 例1 无理数：{ ， ， ， ，0.252252225… } 有理数：{ ， ， ，0，， } 正实数：{ ， ， ， ， ，0.252252225… } 负实数：{ } 【练一练】 1.C 2.D 探究点二、实数与数轴上的点 问题1 π 问题2 无理数π可以在数轴上表示 演示2 （1）无理数也可以在数轴上表示出来 （2）－＜0＜1＜＜2＜3＜π，可以根据实数在数轴上对应的位置关系比较大小 【典型例题】例2 －＜－＜1＜＜π 【练一练】3.C 例3 解：因为数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1和，所以点 B 到点 A 的距离为1＋，则点C到点A的距离为1＋.设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点C的距离为－1－x，所以－1－x＝1＋，所以 x ＝－2－. 课堂检测 1. C 2. B 3. D 4. 3 5. 把下列各数填入相应的集合内： - ，－ ， ， ， ，0，π，－ ，， 1.2020020002…(相邻两个2之间0的个数逐次加1). ①有理数集合：{ - , ， ，0，－ ， }. ②无理数集合：{ － ， ，π，1.2020020002… }. ③整数集合：{ ，0， }. ④分数集合：{ - ， ， － ， }. ⑤正实数集合：{ ， ， ，π，1.2020020002… }. ⑥负实数集合：{- ，－ ，－ ，}. 学科网（北京）股份有限公司 $