8.1 第1课时 平方根（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“平方根”核心知识点，以土家族“西兰卡普”正方形织锦面积问题导入，从实际情境出发引导学生由面积反推边长，通过问题链和表格探究建立平方与开平方的互逆关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 这份资料特色鲜明，融入民族文化元素培养数学眼光，问题设计层层递进发展推理意识，习题涵盖基础计算与综合应用提升运算能力，助力学生自主构建知识体系，也便于教师评估教学效果。

第八章 实数 8.1 第1课时 平方根 【学习目标】 1. 了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根. 2. 体会平方运算到求平方根的演变过程，理解二者的互逆关系，培养勤思考、勤动笔的习惯. 3. 会利用平方和开平方的互逆关系求某些非负数的平方根，对一些特殊的数及其平方根形成记忆. 【学习重点】平方根的概念及平方根的求法. 【学习难点】求非负数的平方根. 【自主学习】 “西兰卡普”是一种土家族织锦的叫法，是土家族浓郁的民族特色和传统文化的代表，亦是国家级非物质文化遗产.如图，这张正方形的“西兰卡普”面积为 4 m²，请问它的边长是多少? 问题 1：你算出的边长是多少? 问题 2：你是怎样算出这个边长的? 【合作探究】 探究点一、平方根的概念 问题1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少? 问题2：填写下表： x2 1 16 0.36 49 1/25 x 思考1：上述表格得到的 x 值有什么特点? 思考 2：求一个数与自身相乘积的运算叫作平方，那么知道一个数的平方，求这个数的运算叫什么? 知识要点 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作 a 的______或________. 求一个数的平方根的运算，叫作_______. 比较两图中的两种运算的特点，你能发现什么？ 总结：平方与开平方互为_________.根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根. 【典型例题】 例1 分别求下列各数的平方根： (1) 64； (2) 9/100 (3) 0.01. 【练一练】1.分别求下列各数的平方根： (1) 16/9 (2) 1.44 (3) 121 2.判断对错: (1) 8 是 64 的平方根； ( ) (2) －8 是 64 的平方根； ( ) (3) ±8 是 64 的平方根； ( ) (4) 一个数的平方等于81，则这个数是9. ( ) 探究点二、平方根的性质 思考1：观察以上平方和开平方的过程你有什么发现? 思考2：1，4，9，1/4 的平方根是多少?它们有什么特点？ 思考3：0 的平方根是多少? 思考4：－1，－4，－9，－1/4 的平方根是多少? 平方根的性质归纳 性质1：__________________________________； 性质2：__________________________________； 性质3：__________________________________. 追问：前面我们学了一个数的平方的书写方式，那一个数的平方根又该如何表示呢? 正数 a 的正的平方根记为“”，读作“根号 a ”， a 叫作被开方数； 正数 a 的负的平方根记为“－ ”，读作“负根号 a ” 0 的平方根记为 = 0 注意：只有当 a ≥ 0 时， 才有意义. 而当a ＜ 0 时，无意义. 【典型例题】 例2 下列各数有平方根吗? 如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由. (1) 0.36； (2) －5； (3) (－4)2. 【练一练】 3. m－1 与 3－2m 是某正数的两个不同的平方根，则 m 的值是( ) A. 4 B. 2 C. －2 D. －4/3 4. 求下列式子中 x 的值. (1) x2 = 49 (2) 4x² = 9 课堂检测 1.16的平方根是(　　) A.4 B.-4 C.±4 D.±8 2. 下列说法正确的是(　　) A. 任何非负数都有两个平方根 B. 一个正数的平方根仍然是正数 C. 只有正数才有平方根 D. 负数没有平方根 3. 求下列各数（式）的平方根： (1) 124/25 ； (2) 0.0001； (3) (－2)2.　 4. 求下列各式中x的值： (1) 81x2－49＝0； 　(2) 49(x2＋1)＝50. 5. 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数. 参考答案 【自主学习】 问题1 面积＝边长×边长 边长为 2 m 问题2 通过正方形的面积公式反推出来 【合作探究】 探究点一、平方根的概念 问题1 3或－3 问题2 ±1 ±4 ±0.6 ±7 ±1/5 思考1 都有两个值，且这两个值互为相反数 思考2 开平方 知识要点 平方根 二次方根 开平方 总结 逆运算 【典型例题】 例1 解：(1) 因为 ( ±8 )2 = 64，所以 64 的平方根是 ±8； (2) 因为 (±3/10)2 = 9/100 ；所以 9/100 的平方根是 ±3/10； (3) 因为 ( ±0.1)2 = 0.01，所以 0.01 的平方根是±0.1. 【练一练】1.解：(1) 因为 (±4/3)^2 = 16/9 ，所以 16/9 的平方根是 ±4/3. (2) 因为 ( ±1.2 )2 = 1.44，所以 1.44 的平方根是 ±1.2. (3) 因为 ( ±11)2 = 121，所以 121 的平方根是±11. 2.（1）√ （2）√ （3）√ （4）× 探究点二、平方根的性质 问题1 平方和开平方是一个互逆的过程 问题2 ±1，±2，±3，±1/2 有两个平方根，且互为相反数 问题3 0 问题4 没有平方根 平方根的性质归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根. 【典型例题】例2 解：(1) 因为 0.36 是正数，所以 0.36 有两个平方根， ± = ±0.6； (2) 因为 －5 是负数，所以 －5 没有平方根； (3) 因为 (－4)2 = 16 是正数，所以 (－4)2 有两个平方根， ±2 = ± = ±4. 3.B 分析：因为 m－1 和 3－2m是某正数的两个不同的平方根，则有 m－1＋3－2m＝0，即 －m＋2＝0，解得 m＝2. 【练一练】4 解：(1) x = ± = ±7 .(2) x² = 9/4 ， x = ± = ±3/2. 课堂检测 1. C 2. D 3.解：(1)因为1＝49/25 ，(±7/5 )2＝49/25 ，所以1 的平方根为±7/5 .(2)因为(±0.01)2＝0.0001，所以0.0001的平方根是±0.01. (3)因为(±2)2＝4＝(－2)2，所以(－2)2的平方根是±2. 4.(1)解：整理81x2－49＝0，得x2＝49/81 ，开平方得x＝±＝±7/9 . (2)解：整理49(x2＋1)＝50，得x2＝1/49 ，开平方得x＝± ＝±1/7 . 5.解：由于这个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0， 即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 学科网（北京）股份有限公司 $