7.1.2 两直线垂直（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“两条直线垂直”，核心知识点包括垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，垂线的性质及画法。通过旋转直线形成直角的自主学习问题引入，结合木条转动实验的合作探究，搭建从相交线到垂直特殊情况的学习支架。 资料特色在于以动手操作与问题驱动融合，如木条转动实验培养几何直观（数学眼光），符号语言表述判定与性质训练推理意识（数学思维），灌溉渠道最短问题体现垂线段最短的实际应用（模型意识）。习题分层设计，典型例题与课堂检测结合，助力学生巩固知识，发展应用能力。

第七章 相交线与平行线 7.1.2 两条直线垂直 【学习目标】 1. 掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，掌握垂线的性质，会过一点画一条直线的垂线. 2. 通过探索垂线的性质，能解决相关的垂线问题，并能够进行简单的说理. 3. 体会垂线在实际问题中的应用，感受数学与生活的密切联系. 【学习重点】垂线的概念、画法和垂线的两个性质. 【学习难点】垂线的画法，理解点到直线的距离. 【自主学习】 如图 ①，当直线 AB 绕点 O 逆时针旋转∠AOC = 90° 时(如图②)，你能求出其他角的度数吗? 此图形有什么特点? 此时两直线的位置有什么关系？ 【合作探究】 探究点一 垂直、垂线、垂足的概念 1.取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 α . 问题1：在木条 b 的转动过程中，什么量也随之发生改变? 问题 2：木条 b 与 a 成 90° 的位置有几个?此时，木条 b 与 a 所在的直线有什么位置关系? 2.知识要点： ①.两条直线 a，b 相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫作这两条直线______________，记作__________ . ②.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的_________，它们的交点叫做___________. 3.垂直的判定与性质 ①判定：如图，若直线 AB 与 CD 相交于点 O， ∠AOD = 90°，则 AB⊥CD，垂足为 O. 符号语言：因为∠AOD = 90°（已知）， 所以 AB⊥CD（垂直的定义）. ②性质：若直线 AB⊥CD ，垂足为 O，则∠AOD = 90°. 符号语言：因为 AB⊥CD（已知）， 所以∠AOD = 90°（垂直的定义）. (∠AOC = ∠BOC = ∠BOD = 90°) 4.思考与反思. ① 两条直线垂直和相交是什么关系? ② 能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有 3 种：相交、平行、垂直? ③ 如何判定两条射线垂直 ? 两条线段呢? 5.讨论：和同学讨论，试试举出生活中有关垂直的例子. 【典型例题】 例1 (1)如图1，直线 m、n 交于点 O，∠1= 90°，则 m______n； (2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD，则∠BOD =______°； (3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，那么∠COA＝_____°，∠BOC 的补角为_________ °. 【练一练】1.如图，直线 BC 与 MN 相交于点 O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠NOE＝20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数. 探究点二 垂线的画法及基本事实 画一画：用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线. (1) 经过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? (2) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 画图流程：1.放 2.靠 3.移 4.画 例2 过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线． 探究点三 垂线的性质及应用 在灌溉时，要把河中的水引到菜地 P 处，如何挖掘能使渠道最短？ 讨论：(1) 你能将这个实际问题转化成数学问题吗？ (2) 在直线上有无数个点，试着取几个点与点 P 相连，比较一下线段的长短．你有什么发现？ (3) 你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？ (4) 你能用一句话总结出观察得出的结论吗？ 垂线性质：____________________________________________; 简单说成：______________________． 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 线段 PO 的长度叫作点到直线的距离. (5) 如果图中的比例尺为 1:100 000，水渠大约要挖多长?(比例尺=图上距离÷实际距离) (6) 与你的同桌讨论，试着列举生活中类似的实例. 【练一练】 2. 如图所示，已知 A，B，C，D 是某公园内的四个凉亭，图中的连线是甬道，且∠D = 90°，∠BAC = 90°，若 AC = 100 m，则下列判断中不正确的是( ) A. 甬道 AD 可能为 100 m B. 甬道 CD 可能为 60 m C. 甬道 AD 可能为 80 m D. 甬道 BC 可能为 140 m 课堂检测 1. 在数学课上，同学们在练习过点 B 作线段 AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，其中正确的是( ) A B C D 2.如图，从位置 P 到直线公路 MN 共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路 MN 的小道是( ) A. PA B. PB C. PC D. PD 3. 如图，已知 AB 上 BC，垂足为 B，AB = 3，点 P 是射线 BC 上的动点，则线段 AP 的长不可能是( ) A. 2.5 B. 3 C.4 D. 5 4.【教材 P8 习题 T3 变式】如图，已知点 O 在直线AB 上，CO⊥DO 于点 O. 若∠1 = 150°，则∠3 的度数为( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 5. 如图，点 A 到 BC 的距离是线段 _________ 的长，BC的长是点______ 到直线 __________的距离. 第2题图 第3题图 第4题图 6. 如图，在某村村头 P 处有一条河流，为方便出行，村民想在两岸搭起一座简易木桥，则在 ______________ 处搭建最短. 第5题图 第6题图 7. 如图，O 是直线 AB 上的一点，OC⊥OD，垂足为 O . (1)若∠BOD = 32°，求∠AOC 的度数； (2)若∠AOC :∠BOD = 2 : 1，求∠BOD 的度数. 参考答案 【合作探究】 探究点一、垂直、垂线、垂足的概念 问题1 a 与 b 所成的角也随之发生改变. 问题 2 唯一一个，a 与 b 垂直. 知识要点 ① 互相垂直 a⊥b. ② 垂线 垂足. 思考与反思 ① 垂直属于相交的特殊情况. 所有垂直的两条直线一定相交，但相交的两条直线不一定垂直. ② 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行. ③ 如果两条射线所在的直线相交，并且所成的角为90°，那么这两条射线垂直.将线段延长，使其成为直线，如果这两条直线相交且所成的角为90°，那么这两条线段垂直. 【典型例题】 例1 （1）⊥ (2) 90 (3) 72 162 【练一练】1. 解：因为∠BOE＝∠NOE， 所以∠BON＝2∠NOE＝40°. 所以∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. 因为 AO⊥BC，所以∠AOC＝90°. 所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°. 所以∠AOM 和∠NOC 的度数分别为 50° 和 140°. 探究点二、垂线的画法及基本事实 画一画（1）1条 （2）一条 例2 探究点三、垂线的性质及应用 讨论 （1）在直线 l 上是否存在这样一点，它与点 P 的连线在所有连接直线 l 与点 P 的线段中长度最短？ （2）运用直尺测量发现，线段PO 的长度最短. （3）这样的线段 PO 只有一条. （4）垂线性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． （5）图中 4.7 cm，实际 4700 m. （6）合理即可 【练一练】1 A 课堂检测 1.A 2.B 3.A 4.D 5. AC B AC 6. B 7.解：(1) 因为 OC⊥OD，所以∠COD = 90°. 因为∠AOB 是平角，所以 ∠AOB = 180°. 因为∠BOD = 32°， 所以∠AOC = 180° - ∠BOD - ∠COD = 58°. (2)因为∠COD = 90°，∠AOB =180°， 所以∠AOC +∠BOD = 180° - ∠COD = 90°. 又因为∠AOC : ∠BOD = 2 : 1，则∠AOC = 2∠BOD. 所以3∠BOD = 90°. 所以∠BOD = 30°. 学科网（北京）股份有限公司 $