11.2 第3课时 一元一次不等式的应用(2)（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦一元一次不等式的应用，以方案问题为核心，通过购买笔记本与证书的实际情境导入，复习不等式列法，借助“表示费用—比较大小”的问题链搭建学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于结合购物优惠、环保设备购买等真实情境，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过分类讨论不同方案（如证书数量与超市购物金额的比较）发展数学思维，以表格对比和步骤总结强化模型意识，助力学生提升实际问题解决能力，为教师提供结构化教学资源。

11.2 一元一次不等式 第3课时 一元一次不等式的应用(2) 第十一章 不等式与不等式组 人教版 七年级(下) 1. 会在实际问题中寻找数量关系，并列出相应的一元一次不等式，加强抽象能力. 养成用数学眼光观察的习惯，进一步渗透模型思想.(重点) 2.在利用一元一次不等式解决复杂的实际问题的过程中，体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，学会分类讨论，培养发散性思维.(难点) 素养目标 问题：某学校期末需要表彰优秀学生，计划购买一些笔记本和证书，笔记本的单价为 6 元，证书的单价为 0.4 元. 某文具用品商店给出两种优惠方案： 甲：买一个笔记本，赠送一张证书； 乙：一次购买证书 200 张以上，超过 200 张的证书按原价打八折，笔记本不打折. 学校准备购买 80 本笔记本，证书若干张(超过 200 张)， 请你判断哪种方案更合算，并说明理由. 复习导入 问题： 某学校期末需要表彰优秀学生，计划购买一些笔记本和证书，笔记本的单价为 6 元，证书的单价为 0.4 元. 某文具用品商店给出两种优惠方案： 甲：买一个笔记本，赠送一张证书； 乙：一次购买证书200 张以上，超过 200 张的证书按原价打八折，笔记本不打折. 学校准备购买 80 本笔记本，证书若干张(超过 200 张)， 请你判断哪种方案更合算，并说明理由. 问题1：题中有什么未知量? 怎么设未知数? 购买证书的数量，设购买证书 m (m＞200) 张. 探究点：方案问题 新知探究 选择方案甲所需费用 y甲为 80×6＋0.4×(m－80)＝(0.4m＋448) (元)； 问题 2：怎么用含未知数的代数式表示甲、乙两个方案的费用? 选择方案乙所需费用y乙为 80×6＋0.4×200＋0.4×0.8×(m－200) ＝(0.32m＋496) (元). 问题3：怎么比较两个方案费用的大小? ① 当 y甲＝y乙 时，即 0.4m＋448＝0.32m＋496. 解得m＝600. 探究点：方案问题 新知探究 ② 当 y甲＞y乙 时，0.4m＋448＞0.32m＋496. 解得 m＞600. ③当 y甲＜y乙 时，0.4m＋448＜0.32m＋496. 解得 m＜600. 综上，当购买证书 600 张时，甲、乙两种方案费用一样；当购买证书的数量大于 600 张时，方案乙更合算；当购买证书的数量大于 200 张且小于 600 张时，方案甲更合算. 探究点：方案问题 新知探究 例1 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？ 累计购物花费 在甲超市花费 在乙超市花费 0＜x≤50 50＜x≤100 x＞100 x x x 100+0.9(x-100) 50+0.95(x-50) 50+0.95(x-50) 分析： 探究点：方案问题 新知探究 (1) 当 0＜x≤50 时，在两家超市购物花费_____，因为__________________. (2) 当 50＜x≤100 时，在____超市购物花费少，因为__________________________. 一样 都不享受优惠 乙 乙超市有优惠，甲超市没有 解： 累计购物花费 在甲超市花费 在乙超市花费 0＜x≤50 50＜x≤100 x＞100 x x x 100＋0.9(x－100) 50＋0.95(x－50) 50＋0.95(x－50) 探究点：方案问题 新知探究 累计购物花费 在甲超市花费 在乙超市花费 0＜x≤50 50＜x≤100 x＞100 x x x 100＋0.9(x－100) 50＋0.95(x－50) 50＋0.95(x－50) （3）当累计购物超过100元，即 x＞100 时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠. ①若到甲超市购物花费较少， 则 ， 解得 ________. 即________时，到甲超市购物花费较少. 100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50) x＞150 x＞150 探究点：方案问题 新知探究 ③若到两超市购物花费相同， 则________________________________，解得 ________. 即________时，到甲、乙两超市购物花费相同. 累计购物花费 在甲超市花费 在乙超市花费 0＜x≤50 50＜x≤100 x＞100 x x x 100＋0.9(x－100) 50＋0.95(x－50) 50＋0.95(x－50) ②若到乙超市购物花费较少， 则_________________________________，解得 ________. 即______________时，到乙超市购物花费较少. 100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50) x＜150 100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50) x＝150 100＜x＜150 x＝150 探究点：方案问题 新知探究 答：综上所述，当累计购物花费不超过 50 元 或等于 150 元时，到两家超市购物花费相同；当累计购物超过 50 元而不到 150 元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少. 探究点：方案问题 新知探究 实际问题 数学模型 方程组 不等式 等量关系 不等关系 提取 【归纳总结】 探究点：方案问题 新知探究 【练一练】1. 为了保护环境，某企业决定购买 10 台污水处理设备，现有 A，B 两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表. 经预算，该企业购买设备的资金不高于 105 万元. (1) 该企业有多少种购买方案? A型 B型 价格(万元/台) 12 10 处理污水量(吨/月) 240 200 分析：本问题中涉及的数量关系是： 购买A型设备的资金+购买B型设备的资金≤105 探究点：方案问题 新知探究 解：设购买 A 型污水处理设备 x 台，则购买 B 型污水处理设备 (10－x) 台. 由题意，得 12x＋10(10－x)≤105， 解这个不等式，得 x≤2.5. 因为 x 为设备的台数，所以 x 为非负整数，即0≤x≤2.5 且 x 为整数，那么 x 的值可以为 0，1，2. 当x=0时，10-x=10-0=10，即购买A型 0 台，B型10 台. 当x=1时，10-x=10-1=9，即购买A型 1 台，B型 9 台. 当x=2时，10-x=10-2=8，即购买A型 2 台，B型 8 台. 所以该企业有 3 种购买方案. 探究点：方案问题 新知探究 (2) 若该企业每月产生的污水量为 2040 吨，为了节省资金，应该选择哪种购买方案? 解：由题意得 240x＋200(10－x)≥2040， 解得 x≥1. 结合(1) 中 x≤2.5且 x 为整数，可得 x 的值为 1 或 2. 分别计算两种情况下的购买资金： 当 x＝1 时，购买A 型 1 台，B 型 9 台， 购买资金为12×1＋10×9＝12＋90＝102 (万元). 当 x＝2 时，购买 A 型 2 台，B 型 8 台，购买资金为 12×2＋10×8＝24＋80＝104 (万元). 因为 102<104，所以为了节省资金，应该选择购买A型 1 台，B型 9 台的方案. 探究点：方案问题 新知探究 应用一元一次不等式解决实际问题的步骤： 实际问题 列不等式 找出不等关系 设未知数 解不等式 结合实际问题确定答案 课堂小结 1. 某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同 时使用.已知该汽车用油驱动方式行驶1千米的油费为0.9元，用电驱动方式行驶1千米的电费比油费少0.8元.该汽车从A地行驶100千米至B地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？设该汽车从A地行驶至B地用电行驶x千米，则x满足的不等关系为(　B　) B A. 0.9x＋(0.9－0.8)(100－x)≤40 B. (0.9－0.8)x＋0.9(100－x)≤40 C. (0.9＋0.8)x＋0.9(100－x)≤40 D. 0.9x＋(0.9＋0.8)(100－x)≤40 当堂反馈 2. 小林一家五口去餐馆用餐，平均每人消费60元， 爸爸去结账时，服务员告诉他有两种方式：方式一 是团购，有58元抵100的抵用券，每桌限用2张，其 余部分另外支付；方式二是享受八折优惠.哪种方式 支付更划算呢？(　A　) A. 方式一 B. 方式二 C. 两种方式花费相同 D. 无法确定 A 当堂反馈 3. [教材变式]某班为了奖励进步学生，班主任准备 购买笔记本和笔袋两种文具共10个，已知笔记本每 本12元，笔袋每个6元，若购买的总费用不超过100 元，则班主任最多能买 本笔记本. 6　 当堂反馈 4. 某农场实行机械化种植，为了更好更快地收割庄 稼，农场主小张决定购买8台收割机.现有甲、乙两 种品牌的收割机，其中甲收割机每天收割24亩，乙 收割机每天收割18亩.销售商又宣传说，购买一台甲 收割机比购买一台乙收割机多8万元，购买2台甲收 割机比购买3台乙收割机多4万元. (1)求两种收割机的价格； 当堂反馈 解：(1)设每台乙收割机的价格是x万元， 则每台甲收割机的价格是(x＋8)万元. 根据题意得2(x＋8)－3x＝4，解得x＝12. ∴x＋8＝20. 答：每台甲收割机的价格是20万元，每台乙收割机 的价格是12万元. 当堂反馈 4. 某农场实行机械化种植，为了更好更快地收割庄 稼，农场主小张决定购买8台收割机.现有甲、乙两 种品牌的收割机，其中甲收割机每天收割24亩，乙 收割机每天收割18亩.销售商又宣传说，购买一台甲 收割机比购买一台乙收割机多8万元，购买2台甲收 割机比购买3台乙收割机多4万元. (2)如果小张购买收割机的资金不超过125万元，那 么有哪几种购买方案？ 当堂反馈 (2)设购买m台甲收割机，则购买(8－m)台乙收割机. 根据题意得20m＋12(8－m)≤125，解得m≤ . 又∵m为非负整数， ∴m可以为0，1，2，3. ∴共有4种购买方案， 方案1：购买8台乙收割机； 方案2：购买1台甲收割机，7台乙收割机； 方案3：购买2台甲收割机，6台乙收割机； 方案4：购买3台甲收割机，5台乙收割机. 方案3：购买2台甲收割机，6台乙收割机； 方案4：购买3台甲收割机，5台乙收割机. 当堂反馈 5. 某单位准备购买某文化用品，现有甲、乙两家 超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均 为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的 不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超 市全部按标价的8折售卖. (1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超 市购买需支付 元，在乙超市购买需支付 元； 300　 240　 当堂反馈 (2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市 支付的费用较少？ 解：设购买x件这种文化用品.当0＜x≤40时， 在甲超市购买需支付10x元， 在乙超市购买需支付0.8×10x＝8x(元). ∵10x＞8x， 当堂反馈 ∴选择乙超市支付的费用较少.当x＞40时，在甲 超市购买需支付400＋0.6(10x－400)＝(6x＋160)(元)， 在乙超市购买需支付0.8×10x＝8x(元). 若6x＋160＞8x，则x＜80；若6x＋160＝8x， 则x＝80；若6x＋160＜8x，则x＞80. 综上，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的 费用较少；当购买数量为80件时，选择两家超市支付 的费用相同；当购买数量超过80件时，选择甲超 市支付的费用较少. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $