8.1 第3课时 算术平方根的估算及其大小比较（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦算术平方根的计算器应用、估算及大小比较，从“用什么工具计算√2”导入，通过计算器操作实例、“天问一号”速度计算等联系实际，再探究被开方数与算术平方根小数点移动规律，搭建从工具使用到规律发现再到实际应用的学习支架。 其亮点在于结合“天问一号”等现实情境培养应用意识（数学语言），通过小丽裁纸片等估算案例发展推理意识（数学思维），规律探究环节提升抽象能力（数学眼光）。采用实例教学和当堂反馈，学生能深化理解，教师可系统推进教学。

8.1 平方根 第3课时 算术平方根及其大小比较 第八章 实数 人教版 七年级(下) 1 1. 会用计算器和估算的方法求一个非负数的算术平方根，并借此过程感受无限不循环的概念. (重、难点) 2.能用估算的方法确定无理数的大致范围，通过估算的训练感受其在实际生活中的意义. 素养目标 可以借用什么工具计算 的大小呢？ 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 情境导入 思考： 用计算器怎样进行开平方运算 开平方运算要用到的键是________ 开平方运算的按键顺序为: __________________________ 被开平方数 = 注意：不同品牌的计算器，按键顺序有所不同. 探究点1：用计算器求一个数的算术平方根 新知探究 探索：用计算器求下列各式的值： (1) ；(2) = (精确到0.001) . 1.414 56 显示：56. 所以：56. 解：(1) 依次按键 1 3 3 6 = 显示：1.414213562. 所以：1.414. (2) 依次按键 2 = 探究点1：用计算器求一个数的算术平方根 新知探究 【合作探究】 当 “天问一号” 火星探测器的速度大于第二宇宙速度 v (单位：m/s) 时，它就会克服地球引 力，永远离开地球，飞向火星. v 的大小满足 v² = 2gR，其中 g 是地球表面的重力加速度，g ≈ 9.8 (单位：m/s2)，R 是地球半径， R ≈ 6.4×106 (单位：m). 怎样求 v 呢? 由 v² = 2gR 及 v 的实际意义，得 v = ， 其中 g ≈ 9.8 (单位：m/s2 )，R ≈ 6.4×106 (单位：m). 用计算器求得 v ≈ = 1.12×104. 因此，第二宇宙速度 v 约为 1.12×104 m/s，即 11.2 km/s. 探究点1：用计算器求一个数的算术平方根 新知探究 … … … … 规律：被开方数的小数点每向右移动 位，它的算术平方根的小数点就向右移动 位；被开方数的小数点每向左移动 位，它的算术平方根的小数点就向左移动 位. (1) 利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗? 算术平方根的规律 2 2 1 1 探究点1：用计算器求一个数的算术平方根 新知探究 (2)用计算器计算 (精确到 0.001)，并利用你在 (1) 中发现的规律说出 的近似值. 你能根据 的近似值直接得到 的近似值是多少吗? 小数点只移动了一位，不符合规律...不能直接得到值. 探究点1：用计算器求一个数的算术平方根 新知探究 【练一练】 1. 利用计算器，得 ≈0.2236， ≈0.7071， ≈2.236， ≈7.071，按此规律，可得 的值约为 . 22.36 新知探究 例1 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长与宽的比为 3∶2. 但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!”你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗? 一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片. 他说得对吗？ 分析：可根据长宽之比为 3:2 和边长与面积的关系设方程，得到长方形的长和宽，再与正方形的边长作比较.估计边长的大小可用前面学习的方法. 探究点2：算术平方根的估算及大小比较 新知探究 解：设长方形的长为 3x cm，则宽为 2x cm. 根据边长与面积的关系，得 3x·2x = 300， 6x2 = 300， x2 = 50. 由边长的实际意义，得 x = . 因此长方形纸片的长为 cm. 因为 50 > 49，所以 > 7. 由上可知 3 > 21，即长方形纸片的长应该大于 21 cm. 因为 = 20，所以正方形纸片的边长只有 20 cm. 这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长. 答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片. 探究点2：算术平方根的估算及大小比较 新知探究 估算 (a＞0)： 根据算术平方根的定义，有 m²＜a＜n²，其中 m，n 是连续非负整数， 则 m＜＜n， 则 的整数部分为 m，小数部分为－m. 【归纳总结】 新知探究 2. (1) 估计与 最接近的两个整数是多少？ 解：因为 32 = 9，42 = 16， 所以 3 < < 4． 所以与 最接近的两个整数是 3 和 4. 探究点2：算术平方根的估算及大小比较 【练一练】 新知探究 (2) 估计与 最接近的一个整数是多少？ 解：因为 3 < < 4， 而 3.52 = 12.25， 所以 < 3.5 . 所以最接近 的整数是 3 . 太小 太大 探究点2：算术平方根的估算及大小比较 新知探究 【练一练】3. 比较下列各组数的大小. (1) 与 2.24； (2) 与 0.5； (3) 与 1. 解：(1) 因为 ()2 = 5，2.242 = 5.0176， 所以 < 2.24． (2) 因为()2 = 5，22 = 4，所以 ＞2. 所以1＞1. 所以 ＞ ，即 ＞0.5. (3) 因为()2 = 5，32 = 9，所以 ＜3. 所以1＜2. 所以 ，即 ＜1. 探究点2：算术平方根的估算及大小比较 新知探究 探究算术平方根、被开方数的小数点移动规律 利用估算比较大小(平方法) 被开方数越大，对应的算数平方根就越大 依 据 课堂小结 1. 依次按键 ，显示结果是(　A　) A. 15 B. ±15 C. －15 D. 25 A 当堂反馈 2. 估计 的值在(　A　) A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 A 3. 下列整数中，与 最接近的是(　B　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 B 4. 利用计算器计算：2(－1)＋3≈ (精确 到0.01). 4.46　 当堂反馈 5. 通过估算比较下列各组数的大小： (1) 与1.9； 解：(1)∵5＞4， ∴ ＞ ，即 ＞2.∴ ＞1.9. 解：(1)∵5＞4， ∴ ＞ ，即 ＞2.∴ ＞1.9. (2) 与1.5. ＞1.5. 解：(2)∵6＞4， ∴ ＞ ，即 ＞2， ∴ ＞ ，即 ＞1.5. 当堂反馈 6. 有一个长方形的花坛，长是宽的4倍，其面积为 25m2，求该长方形花坛的长和宽各是多少. 解：设该长方形花坛的宽为xm，则长为 4x m. 由题意得 4x·x＝25，即x2＝ ， 解得x＝2.5(负值已舍去)，则4x＝10. 故该长方形花坛的宽为 2.5 m，长为 10 m. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $