8.1 第2课时 算术平方根（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦算术平方根的概念、性质及应用，通过美术作品比赛中正方形油画面积求边长的情境导入，联系上一课时平方根知识，以平方与开平方逆运算为支架，引导学生从实际问题抽象出核心概念。 其亮点在于以情境问题驱动探究，通过表格分析、对比辨析（算术平方根与平方根）及“夹逼法”估算√2，培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理意识、运算能力）。例练结合与当堂反馈助学生巩固，教师可借助结构化资源提升教学效率。

8.1 平方根 第2课时 算术平方根 人教版 七年级(下) 1 1.了解算术平方根的概念和意义. 2. 会求一些非负数的算术平方根，能运用算术平方根进行计算求值，解决实际问题.(重、难点) 素养目标 结合第 1 课时的知识计算并思考下面的问题： 学校要举行美术作品比赛，小美画了一幅面积为25 dm² 的正方形油画，请问这幅正方形油画的边长是多少? 问题 1：这幅正方形油画的边长是多少? 由正方形的面积公式，通过平方和开平方互为逆运算推算， 且面积不能为负，所以得出这幅正方形油画的边长为 5 dm. 问题 2：你是怎么得出这个结果的呢? 5 dm 情境导入 计算下表中各正方形的边长： 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 正方形的边长/dm 1 3 4 6 问题 1：结合平方根的概念，回答各正方形的边长 与面积之间有什么关系? 问题 2：以上数据中，正方形的面积和边长的大小有什么关系? 正方形的边长是面积值的正平方根. 面积越大，边长越大. 探究点：算术平方根的概念和性质 新知探究 算术平方根的概念 概念 正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的算术平方根. a 的算术平方根用 来表示 . 规定：0 的算术平方根是 0. 0 的算数平方根也记为 探究点：算术平方根的概念和性质 新知探究 1. 一个正数的算术平方根有几个？ 0 的算术平方根有一个，是 0. 2. 0 的算术平方有几个？ 负数没有算术平方根. 3. -1 有算术平方根吗？负数有算术平方根? 一个正数的算术平方根有 1 个. 正数的平方不可能是负数. 探究点：算术平方根的概念和性质 新知探究 基本条件： 数的角度： 关系的角度： 形的角度： 怎么理解 (a≥0 ， ). 是一个非负数. 的平方是 a； 是 a 的算术平方根； 不计入 0， 是一个面积为正数 a 的正方形的边长. 探究点：算术平方根的概念和性质 新知探究 (x≥0，a≥0) (a≥0， ≥0) 咱俩都是非负数； 我是你的方，你是我的根； 根号我就是你； 我是完全平方数，你就是有理数， 否则，根号我就是你的样子 25是5的方，5是25的根 = 5 就是5 →5(有理数) 探究点：算术平方根的概念和性质 新知探究 例1 求下列各数的算术平方根： 被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 总结 从小到大 解：(1) 因为 102 = 100，所以100 的算术平方根是10， (2) 因为 = ，所以 的算术平方根是 ， (3)因为 0.012 = 0.000 1，所以 0.000 1 的算术平方根是 0.01， (2) ； (1) 100； (3) 0.000 1. 即 = . 即 = . 即 = . 探究点：算术平方根的概念和性质 新知探究 1. 求下列各数的算术平方根. (3) ； (1) 121； (4) 0.25. (2) 0； 解：(1) 11. (2) 0 . (3) . (4) 0.5. 2. 已知 3＋a 的算术平方根是 5，则 a 的值为 . 22 【练一练】 探究点：算术平方根的概念和性质 新知探究 算术平方根 平方根 区 别 定义 不同 正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的算术平方根. 一般地，如果一个数的x 平方等于 a，那么这个数x 叫作 a 的平方根 个数 不同 正数的算术平方根有_______个 正数的平方根有_______个 表示方法不同 正数 a 的算术平方根表示为_______ 正数 a 的平方根表示为_______ 结果 不同 正数的算术平方根一定是_______ 正数的平方根为________，二者互为________ 1 2 正数 一正一负 相反数 探究点：算术平方根的概念和性质 新知探究 算术平方根 平方根 联 系 具有包含关系 存在的条件相同 特殊值0 同一个正数的平方根包含算术平方根，算术平方根是这个正数正的平方根。 只有非负数才有平方根和算术平方根 0的平方根与算术平方根均为0 探究点：算术平方根的概念和性质 新知探究 3. 下列说法正确的是________. ① -3 是 9 的平方根； ② 25 的平方根是 5； ③ -36 的平方根是 -6； ④ 平方根等于 0 的数是 0； ⑤ 64 的算术平方根是 8. ①④⑤ 【练一练】 新知探究 剪一剪，拼一拼：能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形剪拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？ 探究点：算术平方根的概念和性质 新知探究 填空： 回忆三角形三边之间的关系， 究竟是一个怎么样的数？ 面积 dm2 边长 dm 1 2 1 探究点：算术平方根的概念和性质 新知探究 算一算：估算 的大小. (1) 比较 1，，2 之间的大小； 因为 1² = 1，()² =2，2² = 4. 所以1<<2. (2) 比较1.4，，1.5 之间的大小； 因为1.4² = 1.96，1.5² =2.25. 所以1.4<<1.5. (3) 比较 1.41，，1.42 之间的大小. 因为1.41²=1.988 1，1.42² =2.016 4. 所以1.41<<1.42. 如此反复可确定出 更精确的估计范围，此种方法叫作“夹逼法”. 事实上， =1.414 213 562 373…，它是一个无限不循环小数. 探究点：算术平方根的概念和性质 新知探究 思考：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 你以前见过这样的数吗? 实际上，很多正有理数的算术平方根 (例如等)都是无限不循环小数. 探究点：算术平方根的概念和性质 新知探究 用“夹逼法”求 近似值的步骤: (1)通过估算，确定 在哪两个连续整数之间； (2) 通过试算，确定 在哪两个连续的一位小数之间； (3)通过试算，确定 在哪两个连续的两位小数之间； ...... 如此反复，可求得 更精确的估计范围. 【归纳总结】 探究点：算术平方根的概念和性质 新知探究 算术平方根 定义 表示 特征 如果一个正数 x 的平方等于 a，即________那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. a 的算术平方根记为________. 非负数 a 的算术平方根记作“_______”.读作“_______”，其中 a 叫作___________. 正数 a 的算术平方根是_______；0 算术平方根是_______； 负数没有算术平方根. x2 = a 根号 a 被开方数 0 课堂小结 1.4的算术平方根是(　B　) A. ±2 B. 2 C. －2 D. 2. 化简 的结果为(　D　) A. ±5 B. 25 C. －5 D. 5 B D 当堂反馈 4. 计算：(1)－ ＝ ⁠； (2) ＋ ＝ ⁠. 5. (1)若 ＋｜n｜＝0，则m＝ ，n＝ ⁠； (2)已知 ＋ ＝0，则(a－b)2026的值为 ⁠. －0.1　 9.2　 0　 0　 0　 3. 下列说法正确的是(　A　) A. 0的算术平方根是0 B. 9是3的算术平方根 C. ±3是9的算术平方根 D. －3是9的算术平方根 A 当堂反馈 6. 教材P42例3变式求下列各数(式）的算术平方根： (1)121；(2)2 ；　 (3) .∴121的算术平方根是11. 解：(1)因为112＝121， 所以121的算术平方根是11. (2)因为( )2＝ ＝2 ， 所以2 的算术平方根是 . (3) ＝ ， 又因为92＝81， ＝9.而32＝9， 的算术平方根是3. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $