8.1 第1课时 平方根（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“平方根”概念、性质及表示方法，以土家族“西兰卡普”正方形面积问题导入，通过问题链引导学生从已知面积求边长的实际情境，过渡到平方与开平方的互逆关系探究，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合传统文化激发学习兴趣，培养数学眼光，通过表格对比、合作探究等方式引导学生理解平方根性质，发展推理意识与运算能力。例题与变式练习层次分明，强化符号意识，助力学生掌握概念本质，也为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

第八章 实数 8.1 平方根 第1课时 平方根 人教版 七年级(下) 1 1. 了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根. (重点) 2. 体会平方运算到求平方根的演变过程，理解二者的互逆关系，培养勤思考、勤动笔的习惯. 3. 会利用平方和开平方的互逆关系求某些非负数的平方根，对一些特殊的数及其平方根形成记忆.(难点) 素养目标 “西兰卡普”是一种土家族织锦的叫法，是土家族浓郁的民族特色和传统文化的代表，亦是国家级非物质文化遗产.如图，这张正方形的“西兰卡普”面积为 4 m²，请问它的边长是多少? 问题 1：你算出的边长是多少? 问题 2：你是怎样算出这个边长的? 面积＝边长×边长 边长为 2 m 通过正方形的面积公式反推出来 情境导入 问题 3：因为正方形边长的平方等于这个正方形的面积，所以我们很容易就能得到此处的边长为 2 m，那么如果已知一个数的平方，应该怎么求这个数呢? 这个数是唯一的吗? 请大家带着问题进行探究. 情境导入 问题1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少? 问题 2：填写下表： x2 1 16 0.36 49 x ±1 ±4 ±0.6 ±7 ± 3或－3 探究点1：平方根的概念 新知探究 思考 2：求一个数与自身相乘积的运算叫作平方，那么知道一个数的平方，求这个数的运算叫什么? 思考1：上述表格得到的 x 值有什么特点? 都有两个值，且这两个值互为相反数 x2 1 16 0.36 49 x ±1 ±4 ±0.6 ±7 ± 探究点1：平方根的概念 新知探究 求一个数的平方根的运算，叫作开平方. 例如：(±3)2 = 9， 3 和 -3 是 9 的平方根，简记为±3 是 9 的平方根.　 根据所学内容回答“导入新课”问题3. 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根. (根据开平方求这个数，这个数并不唯一) 【知识要点】 探究点1：平方根的概念 新知探究 – 1 + 1 + 2 – 2 + 3 – 3 1 4 9 – 1 + 1 + 2 – 2 + 3 – 3 1 4 9 平方 开平方 比较两图中的两种运算的特点，你能发现什么？ 互为逆运算 【合作探究】 探究点1：平方根的概念 新知探究 平方与开平方互为逆运算. 根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根 总结 互为逆运算 平方运算 开平方运算 探究点1：平方根的概念 新知探究 例1 分别求下列各数的平方根： 解：(1) 因为 ( ±8 )2 = 64， 所以 64 的平方根是 ±8； (1) 64； (2) 因为 = ， (2) (3) 0.01. 所以 的平方根是 (3) 因为 ( ±0.1)2 = 0.01，所以 0.01 的平方根是0.1. 探究点1：平方根的概念 新知探究 1. 分别求下列各数的平方根： (1) (2) 1.44 (3) 121 【练一练】 (2) 因为 ( ±1.2 )2 = 1.44， 所以 1.44 的平方根是 ±1.2. 解：(1) 因为 = ， 所以 的平方根是 . (3) 因为 ( ±11)2 = 121，所以 121 的平方根是11. 探究点1：平方根的概念 新知探究 2. 判断对错: (1) 8 是 64 的平方根； ( ) (2) －8 是 64 的平方根； ( ) (3) ±8 是 64 的平方根； ( ) (4) 一个数的平方等于81，则这个数是 9. ( ) √ √ √ × 探究点1：平方根的概念 新知探究 – 1 +1 +2 –2 +3 –3 1 4 9 平方 –1 + 1 +2 –2 +3 –3 1 4 9 开平方 32 = 9 (-3)2 = 9 02 = 0 (±3)2 = 9 02 = 0 思考1：观察以上内容你有什么发现? 探究点2：平方根的性质 新知探究 思考3：0 的平方根是多少? 思考2：1，4，9， 的平方根是多少?它们有什么特点？ 思考4：－1，－4，－9，－ 的平方根是多少? 没有平方根 0 ±1，±2，±3，± 有两个平方根，且互为相反数 【想一想】 探究点2：平方根的性质 新知探究 性质1：正数有两个平方根，它们互为相反数； 性质2：0 的平方根是 0； 性质3：负数没有平方根. 概念 追问：前面我们学了一个数的平方的书写方式，那一个数的平方根又该如何表示呢? 探究点2：平方根的性质 新知探究 正数 a 的正的平方根记为“ ”， 读作“根号 a ”， a 叫作被开方数； 正数 a 的负的平方根记为“－ ”， 读作“负根号 a ” a 的平方根可记为 0 的平方根记为 只有当 a ≥ 0 时 才有意义. 而当a ＜ 0 时 无意义. 探究点2：平方根的性质 新知探究 x2 = a 平方根号 被开方数 读作：正、负根号 a (a≥0) (a≥0) x 是非负数 a 的平方根 根指数为 2，省略不写 2 x = x2 = a 探究点2：平方根的性质 新知探究 例2 下列各数有平方根吗? 如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由. (1) 0.36； (2) －5； (3) (－4)2. 解：(1) 因为 0.36 是正数，所以 0.36 有两个平方根， ± = ±0.6； (2) 因为 －5 是负数，所以 －5 没有平方根； (3) 因为 (－4)2 = 16 是正数，所以 (－4)2 有两个平方根， ± = ± = ±4. 探究点2：平方根的性质 新知探究 3. m－1 与 3－2m 是某正数的两个不同的平方根，则 m 的值是( ) A. 4 B. 2 C. －2 D. － B 分析： 因为 m－1 和 3－2m是某正数的两个不同的平方根， 则有 m－1＋3－2m＝0，即 －m＋2＝0， 解得 m＝2. 方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 【练一练】 探究点2：平方根的性质 新知探究 4. 求下列式子中 x 的值. (1) x2 = 49 (2) 4x² = 9 解：(1) x = ± ±7 . (2) x² = ， x = ± = ±. 探究点2：平方根的性质 新知探究 平方根 平方根的概念(根据互逆关系求平方根) 平方根的性质 平方根的表示方法 课堂小结 1.16的平方根是(　C　) A. 4 B. －4 C. ±4 D. ±8 C 2. 下列说法正确的是(　D　) A. 任何非负数都有两个平方根 B. 一个正数的平方根仍然是正数 C. 只有正数才有平方根 D. 负数没有平方根 D 当堂反馈 3. 教材P41例2变式求下列各数（式）的平方根： (1)1 ；(2)0.0001；(3)(－2)2.　 解：(1)∵1 ＝ ，(± )2＝ ， ∴1 的平方根为± . 解：(1)因为1 ＝ ，(± )2＝ ， 所以1 的平方根为± . (2)因为(±0.01)2＝0.0001， 所以0.0001的平方根是±0.01. (3)因为(±2)2＝4＝(－2)2， 所以(－2)2的平方根是±2. 当堂反馈 4. 求下列各式中x的值：± ＝± . 解：整理81x2－49＝0，得x2＝ ， 开平方得x＝± ＝± . (2)49(x2＋1)＝50. 解：(2)整理49(x2＋1)＝50，得x2＝ ， ∴开平方得x＝± ＝± . 解：整理49(x2＋1)＝50，得x2＝ ， 开平方得x＝± ＝± . (1)81x2－49＝0； 当堂反馈 5. 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求 这个数. 解：由于一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a －4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a ＝1. 所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 解：由于这个正数的两个平方根分别是2a＋1和 a－4，则有2a＋1＋a－4＝0， 即3a－3＝0，解得a＝1. 所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $