精品解析：安徽合肥市肥西宏图中学2025-2026学年高二下学期第一次段考数学试卷

2025－2026学年度（下）高二年级数学第一次段考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知等差数列中， ，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以，即，解得. 所以， 故选：A. 2. 2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑法求解即可. 【详解】把2个男生看作一个整体，内部有种排列方式 将这个男生整体和2个女生一起排列，相当于3个元素，有种排列方式, 所以，根据乘法原理，总的排法有：种不同排法. 故选：A 3. 设公比为的等比数列的前项和为，若，则=（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的定义求解即可. 【详解】因为，所以. 4. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 5. 下列求导运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 6. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的四则运算即可求解. 【详解】由， 求导可得：， 令，可得：， 故选：B 7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 8. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意，三人的选择组合共有种， 其中看同一部电影的情况有种， 所以三人看同一部电影的概率为． 二、多选题（每题6分，共18分，错选或多选不给分，少选给部分分） 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断. 【详解】依题，，解得故A错误，B正确； 则，，故C错误，D正确. 故选：BD. 10. 如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是减函数 C. 在时取得极大值 D. 当时取得极小值 【答案】AC 【解析】 【分析】由的图象，可得函数的单调性，从而即可求解. 【详解】解：对A，由的图象，可知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误； 对B，由的图象，可知时，，所以在上单调递减，故选项B正确； 对C，由的图象，可知时，， 所以在上单调递增，因为左右两边的单调性相同，所以取不到极大值，故选项C错误； 对D，由的图象，可知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时取得极小值，故选项D正确. 故选：AC. 11. 文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，则（ ） A. 如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为 B. 如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为 C. 如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为 D. 如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先把学生的节目选1个放在最后，剩余的10个节目进行全排列，A正确；B选项，先从学生的节目选2个放在两端，剩余的9个节目进行全排列，B错误；C选项，将2个教师的节目进行捆绑，再和9个学生的节目进行全排列，C正确；D选项，先安排9个学生的节目，再将2个教师的节目插空，D正确. 【详解】A选项，如果教师的节目不排在最后，从学生的节目选1个放在最后， 剩余的10个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，A正确； B选项，如果教师的节目不排在两端，从学生的节目选2个放在两端， 剩余的9个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，B错误； C选项，如果教师的节目必须相邻，将2个教师的节目进行捆绑，2个教师节目可以进行全排列， 再和9个学生的节目一共10个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，C正确； D选项，如果教师的节目不能相邻，先安排9个学生的节目， 再将2个教师的节目插空，那么不同排法的种数为，D正确. 故选：ACD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知等差数列的前项和为，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】借助等差数列求和公式与等差中项的性质计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 13. 设为正整数，若，则_____． 【答案】或 【解析】 【详解】因为，则或， 解得或，又，得到，经检验，或均合题意， 所以或. 14. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据两直线垂直的判断方法列方程求解即得. 【详解】由求导得，则， 依题意，，解得. 故答案为：1. 四、解答题（第15题13分，第16，17题各15分，第18，19题各17分） 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义由前项和公式计算可得； （2）易知是公比为4的等比数列，代入等比数列前项和公式可得结果. 【小问1详解】 设的公差为， 由可得， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 易知是公比为4的等比数列， 所以可得. 16. 已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，其前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质列方程求解; （2）由,进行裂项相消求和得证. 【小问1详解】 由题意得 解得 所以. 【小问2详解】 由， 所以 . 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）试判断函数的单调性并写出单调区间； 【答案】（1） （2）单调增区间是，单调减区间是． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出； （2）根据导函数值的正负即可判断其单调性及单调区间. 【小问1详解】 由函数，所以函数的定义域为， ， 所以，，∴曲线在点处的切线方程为：，即． 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为函数的定义域为，且， 令，得；令，得， 因此函数的单调增区间是，单调减区间是． 18. 已知，在处的切线与垂直， （1）求实数a的值； （2）求在区间上的值域． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据两直线垂直的性质即可求得a的值； （2）利用求导，判断函数的单调性，结合给定区间即可求得函数的值域. 【小问1详解】 由求导得， 则在处的切线的斜率为，因切线与垂直， 故，解得. 【小问2详解】 由（1）可得 ， 因，则当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 因,即, 故在区间上的值域为. 19. 4名男生和3名女生共7人排成一排.（下列问题的结果全部用数字表示） （1）如果男生甲不站在队伍的两头，有多少种不同的排法； （2）如果全部男生相邻，有多少种不同的排法； （3）如果女生不能相邻，有多少种不同的排法； （4）如果队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有多少种不同的排法. 【答案】（1）3600 （2）576 （3）1440 （4）576 【解析】 【分析】（1）应用特殊元素优先处理结合排列数及组合数运算求解； （2）应用捆绑法结合排列数及组合数运算求解； （3）应用插空法结合排列数及组合数运算求解； （4）应用特殊元素优先处理结合排列数及组合数运算求解. 【小问1详解】 男生甲不站在队伍的两头，有种排法； 【小问2详解】 全部男生相邻，有种排法； 【小问3详解】 女生不能相邻，有种排法； 【小问4详解】 队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有种排法； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度（下）高二年级数学第一次段考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知等差数列中， ，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 15 2. 2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 72 3. 设公比为的等比数列的前项和为，若，则=（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 4. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. C. 10 D. 12 5. 下列求导运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，错选或多选不给分，少选给部分分） 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是减函数 C. 在时取得极大值 D. 当时取得极小值 11. 文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，则（ ） A. 如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为 B. 如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为 C. 如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为 D. 如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知等差数列的前项和为，，则_____. 13. 设为正整数，若，则_____． 14. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 四、解答题（第15题13分，第16，17题各15分，第18，19题各17分） 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和. 16. 已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，其前项和为，证明：. 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）试判断函数的单调性并写出单调区间； 18. 已知，在处的切线与垂直， （1）求实数a的值； （2）求在区间上的值域． 19. 4名男生和3名女生共7人排成一排.（下列问题的结果全部用数字表示） （1）如果男生甲不站在队伍的两头，有多少种不同的排法； （2）如果全部男生相邻，有多少种不同的排法； （3）如果女生不能相邻，有多少种不同的排法； （4）如果队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有多少种不同的排法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $