精品解析：安徽滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

定远育才学校2025-2026学年高二（下）阶段检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且在定义域内处处可导，若为的导函数，则“在处取极值”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 不充分不必要条件 2. 若数列满足，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 美加墨足球世界杯将于2026年6月至7月在美国、加拿大、墨西哥的16座城市举行，将是首次有48支球队参赛的世界杯.现在要从A，B，C，D，E五名志愿者中选派四人分别从事宣传、后勤、礼仪、服务四项不同工作，若A，B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 60种 D. 120种 4. 已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为 A. B. C. D. 5. 在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果. 某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点，在直线l上，是边长为1的等边三角形，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，，依次类推（其中点，，，，共线，点，，，，共线，点，，，，共线）. 由上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（ ） A. q＝1 B. 数列{Sn+2}是等比数列 C. S8＝510 D. 数列{lgan}是公差为2的等差数列 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 关于函数，，下列说法正确的是（ ） A. 对任意的， B. 对任意的， C. 函数的最小值为 D. 若存在使得不等式成立，则实数a的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为等比数列的前项和，，，则的值为______． 13. 的展开式中的常数项为_______． 14. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复.某班共有40名学生，其中22名女生和18名男生，现准备从中选择志愿者. （1）共有多少种选法?（可以不计算出具体的数字，列出式子即可） （2）如果下午组中有一名男生请假，需要从班上的非志愿者中选一名男生替代，那么至少有多少种选法? （3）如果三个组的志愿者都不能重复，且都要有男生和女生，那么共有多少种选法? 16. 设 （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 已知函数的一个极值点是. （1）求函数的极值； （2）求函数在区间上的最值. 18. 记数列的前项和为，已知，． （1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）求的最大值． 19. 已知函数 ，． （1）当时，求的极值； （2）设，证明：与的图象恰有一个公共点； （3）当时， ，求整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年高二（下）阶段检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且在定义域内处处可导，若为的导函数，则“在处取极值”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 不充分不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合可导函数极值的必要条件，分别验证两个条件的充分性和必要性是否成立即可. 【详解】充分性：已知函数在定义域内处处可导，若在处取极值，所以，故充分性成立. 必要性：若，无法推出在处取极值，例如：函数， 其导函数满足，但在上单调递增，处不存在极值，故必要性不成立. 因此“在处取极值”是“”的充分不必要条件. 2. 若数列满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，推得为递增数列，为递减数列，即可判断A，C两项；利用作差法得到，再根据数列单调性判断B项；根据累加与放缩法得到判断D项. 【详解】数列满足，，，则. 令，则，故可得，且， 故为递增数列，且，因，则数列为递减数列. 对于A，因为递减数列，故，故A错误； 对于B，因为，所以. 因为递增数列，当时，，故，即， 则，故，即B错误； 对于C，成立，故C正确； 对于D，由（仅取等号，均大于2）， 累加得， 当时，，即，故D错误. 3. 美加墨足球世界杯将于2026年6月至7月在美国、加拿大、墨西哥的16座城市举行，将是首次有48支球队参赛的世界杯.现在要从A，B，C，D，E五名志愿者中选派四人分别从事宣传、后勤、礼仪、服务四项不同工作，若A，B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 60种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】根据两人被选中的情况进行分类讨论，再结合排列组合的知识求解即可. 【详解】根据题意可分为两种情况：两人都被选中和两人中只有一人被选中. ①当两人都被选中时，不同的选派方案有种； ②当两人中只有一人被选中时，不同的选派方案有种. 所以不同的选派方案有种. 故选：. 4. 已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由1，得1，利用等差数列的通项公式可得：an＝（2n﹣5）（n﹣6），当且仅当3≤n≤5时，an＜0．即可得出结论． 【详解】由1，即1，5． ∴数列{}为等差数列，首项为﹣5，公差为1． ∴5+n﹣1，可得：an＝（2n﹣5）（n﹣6）， 当且仅当3≤n≤5时，an＜0． 已知n，m∈，n＞m， 则Sn﹣Sm的最小值为＝﹣3﹣6﹣5＝﹣14． 故选A． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5. 在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果. 某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点，在直线l上，是边长为1的等边三角形，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，，依次类推（其中点，，，，共线，点，，，，共线，点，，，，共线）. 由上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】第一次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点（不包括起点），圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，要使曲线H长度的最小，则刚好转四轮，据此计算即可求曲线H长度的最小值. 【详解】由题意可知，第个劣弧的半径为，圆心角为， 第一次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点（不包括起点）， 同理第二次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点， 以此类推，每一轮以次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点， 上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，要使曲线H长度的最小，则刚好转四轮， 所以曲线H长度的最小值为. 故选：C. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式求得，将代入导函数求值即可. 【详解】由题设，， ∴. 故选：C 7. 若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义结合条件可得点的横坐标，进而确定点的坐标. 【详解】已知直线整理为​，斜率为， 因此曲线在处切线斜率， 对求导，得， 设，则 ，得，即， 所以 ， 因此点坐标为. 8. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过求函数的零点以及分析函数在特定区间的正负性，逐项判断即可求解. 【详解】令 ，即 ， 因为 恒成立，所以  ，解得  或 ； 所以函数  的图象与  轴有两个交点，分别为  和  ， 观察选项：A选项图象与  轴只有一个交点，排除； C选项图象在  处与  轴有交点，排除； 对于D选项，当  时， ， ， 由指数函数与幂函数的增长速度可知，即图象在  轴负半轴应无限趋近于  轴， 而D选项图象在  时 ，排除D, 当  时， ，且 ，所以 ，图象在  轴上方，且在  轴负半轴应无限趋近于  轴； 当  时， ，所以 ，图象在  轴下方， 当  时， ，所以 ，图象在  轴上方； B选项符合上述所有特征. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（ ） A. q＝1 B. 数列{Sn+2}是等比数列 C. S8＝510 D. 数列{lgan}是公差为2的等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】 先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，可得到等比数列{an}的通项公式和前n项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项． 【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得 a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0， 故a2＞0，a3＞0． 根据根与系数的关系，可知 a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根． 解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4． 故必有公比q＞0， ∴a10． ∵等比数列{an}是递增数列，∴q＞1． ∴a2＝4，a3＝8满足题意． ∴q＝2，a12．故选项A不正确． an＝a1•qn﹣1＝2n． ∵Sn2n+1﹣2． ∴Sn+2＝2n+1＝4•2n﹣1． ∴数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确． S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C正确． ∵lgan＝lg2n＝n． ∴数列{lgan}是公差为1的等差数列．故选项D不正确． 故选：BC 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用赋值法判断A,C,D选项，根据二项式展开式判断B选项. 【详解】令,可得,A选项正确； 令,可得, 令,可得， 两式相加可得,C选项正确； 是的各项系数和，所以，D选项正确； 的展开式的系数是,B选项错误. 故选：ACD. 11. 关于函数，，下列说法正确的是（ ） A. 对任意的， B. 对任意的， C. 函数的最小值为 D. 若存在使得不等式成立，则实数a的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：构造函数，利用导数的性质进行判断即可； B：利用特殊值法，进行判断即可； C：利用导数的性质进行判断即可； D：利用转化法，根据特称命题与它的否命题的真假关系，结合构造函数法、导数进行判断即可. 【详解】A：设， ，当时，单调递增， 当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，即，所以有，即，所以本选项正确； B： ，，显然，所以本选项不正确； C：由， 设当时，，所以函数单调递增， 所以当时，， 因此当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数有最小值，最小值为，因此本选项正确； D：命题：存在使得不等式成立， 它的否命题为：，不等式恒成立， ， 构造函数，， 当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，函数有最小值， 最小值为：， ， 当时，而，所以， 当时，要想恒成立，只需恒成立 当，， 也成立， 即成立，也就是成立， 构造新函数， 当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，函数有最大值，即，要想不等式恒成立， 只需， 当时，，而的值域为全体实数集，显然不可能恒成立， 因此当时，对于，不等式恒成立， 因此当时，存在使得不等式成立，所以实数a的最大值为， 因此本选项结论正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：构造函数，利用导数的性质，结合存在性和任意性的定义是解题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为等比数列的前项和，，，则的值为______． 【答案】40 【解析】 【分析】可结合等比推论也成等比数列直接求解 【详解】因为数列为等比数列，所以也成等比数列， 即也成等比数列，解得，， 即 故答案为：40 13. 的展开式中的常数项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，将代入通项中即可得到常数项. 【详解】展开式通项为：； 令，解得：，展开式中的常数项为. 故答案为：. 14. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，构造函数，可知函数在上为增函数，可得出，利用导数求出函数在其定义域上的最大值，即可求得实数的取值范围． 【详解】由题意得，由，可得， 即， 设，则， 因为，所以是单调递增函数， 所以，整理得， 令，， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以在处取得最大值， 要使恒成立，只需要，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复.某班共有40名学生，其中22名女生和18名男生，现准备从中选择志愿者. （1）共有多少种选法?（可以不计算出具体的数字，列出式子即可） （2）如果下午组中有一名男生请假，需要从班上的非志愿者中选一名男生替代，那么至少有多少种选法? （3）如果三个组的志愿者都不能重复，且都要有男生和女生，那么共有多少种选法? 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复，利用组合求解； （2）由志愿者全部是男生，非志愿者中的男生人数最少求解； （3）根据三个组的志愿者都不能重复，得到总的选法，再减去不含男生和女生的选法求解. 【小问1详解】 解：因为要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复， 所以先从40名学生中选5名安排在下午，再从35名学生中选5名安排在上午， 因为下午和晚上可重复，则从35名学生中选5名安排在晚上， 所以共有种选法； 【小问2详解】 当志愿者全部是男生时，非志愿者中的男生人数最少，剩有3名， 则从班上的非志愿者中选一名男生替代，至少有种选法. 【小问3详解】 因为三个组的志愿者都不能重复， 所以共有种选法， 其中不含男生有种选法， 不含女生有种选法， 所以三个组的志愿者都不能重复，且都要有男生和女生， 共有种选法. 16. 设 （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过二项式展开式的通项公式求得项的系数，即； （2）利用赋值法，分别令，，两式相加，即可求得偶次项系数和； （3）对原式求导，再利用赋值法，令，即可求得的值． 【小问1详解】  二项式的展开式通项为， 令，可得， 所以 . 【小问2详解】 对， 令，得①； 令，得②； ①+②得，， 故. 【小问3详解】 由， 两边求导，得. 令，则. 所以的值为. 17. 已知函数的一个极值点是. （1）求函数的极值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）极小值为，极大值为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据有一个极值点求出，再利用导数确定单调区间，即可求出极值； （2）由（1）根据函数的单调性求出最值. 【小问1详解】 ， 有一个极值点是， 即又， 3 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 当时，有极小值，极小值为； 当时，有极大值，极大值为； 【小问2详解】 由（1）知，在上递减，上递增，上递减， 又， 在上的最大值为， 在上的最小值为. 18. 记数列的前项和为，已知，． （1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）求的最大值． 【答案】（1）当且时，由已知 ，得 . 两式相减得   ， 整理得 ， 因为时，两边同除以得 ， 又，故是首项为2、公差为2的等差数列；其通项公式为. （2） （3）最大值为 【解析】 【分析】(1)利用与的递推关系证明为等差数列并求通项； (2)再用裂项相消法求的前项和； (3)借助于基本不等式求目标分式的最大值. 【小问1详解】 证明略；因为是首项为2、公差为2的等差数列，则其通项公式为 ， 【小问2详解】 由（1）得 ， 其前项和为 ，其中 【小问3详解】 由等差数列的前项和公式得 ， 代入目标式，得  ，因为，分子分母同除以得， 由基本不等式， ，当且仅当即时取等号， 因此 ，故， 即的最大值为，时取得最大值. 19. 已知函数 ，． （1）当时，求的极值； （2）设，证明：与的图象恰有一个公共点； （3）当时， ，求整数的最大值． 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2）证明：当时，，定义域为. 要证与的图象恰有一个公共点，即方程有唯一解， 即 有唯一解. 设，， ， 令 ，，，所以， 令 ， ， 所以在上单调递增，， 因此在时恒成立，在单调递增． 又 ， ， 故存在唯一使得， 因此与的图象恰有一个公共点． （3）4 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用函数导数求函数极值即可； （2）由题意可转化为 有唯一解，设，，利用导数及零点存在性定理证明即可； （3）分离参数可得，构造函数，利用导数求出其取值范围，即可得解. 【小问1详解】 当时，，定义域为. ， 令，解得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此，在处取得极小值， 极小值为，无极大值. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时， 即 ， 整理得： ， 因，，故，设，， ， 设 ，，则 ， 故在单调递增. 又 ， ， 故存在唯一 使得 ，即 . 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以最小值为： ， 因 ，故 ，因此整数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $