精品解析：江西南昌市南昌县莲塘第三中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试题

南昌县莲塘第三中学2025－2026第一学期期末考试 高二数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是是正确的． 1. 若直线平行于直线，且垂直于直线：，则（ ） A. B. C. 6 D. 2. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上一点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 设集合 ，且，则（ ） A. 1 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.2 4. 已知变量，的一组统计数据如下表所示.计算得两个变量线性相关，且关于的线性回归方程为则实数的值为（ ） 1 2 3 4 0 4 7 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若平面过点且该平面的一个法向量为 ，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 某测试由8道四选一的单选题组成，学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会，若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的有（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 B. 若 是随机变量，则. C. 已知随机变量，若，则 D. 设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机试验中发生的次数，则 8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 若直线的斜率为2，则 D. 11. 某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A. 若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B. 若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C. 若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D. 若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有138种不同的方案． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 展开式中的系数为___________． 13. 已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 14. 某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜色后放回，摇匀后进行下一次抽取，每名顾客一共有4次抽奖机会，若前3次都抽到红球，则不需要抽第4次，根据抽出的红球数计算奖次．记 为抽到红球的次数，则___________． 四、解答题：本大题共5小题，每小题5分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程． 15. 已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求以线段为直径的圆的方程． 16. 随着科技的发展，AI技术已经深度介入普通人的生活，正在改变着人们的生活和工作．为了调查AI技术在普通人中的使用情况，一调查机构对此进行了调查，并从参与调查的市民中分别抽取男，女各100人进行统计分析，整理得到如下列联表： 性别 经常借助AI技术 不经常借助AI技术 合计 男 女 50 合计 120 （1）完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析是否经常借助AI技术与性别有关联； （2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从表中不经常借助AI技术的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记3人中男性人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望． 参考公式：，． 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 17. 已知，且． （1）求展开式的所有二项式系数之和； （2）求的值； （3）判断的展开式中第几项系数的绝对值最大． 18. 如图1，在中， 两点分别为（靠近）､（靠近）的三等分点， .现将沿折起得到四棱锥 ，在图2中. （1）求证：平面 ； （2）线段上是否存在一点，使得平面 与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆：过点，短轴长为，，分别为椭圆的左、右顶点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，直线的斜率与直线 的斜率的比值是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌县莲塘第三中学2025－2026第一学期期末考试 高二数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是是正确的． 1. 若直线平行于直线，且垂直于直线：，则（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的性质，结合两条互相垂直直线斜率之间的关系进行求解即可. 【详解】因为直线平行于直线，且垂直于直线：， 所以直线垂直于直线： 因此有. 故选：C 2. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上一点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆定义进行求解. 【详解】显然，，由椭圆定义可得 故选：B 3. 设集合 ，且，则（ ） A. 1 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.2 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】因为 ，，所以， 所以， 故选：A. 4. 已知变量，的一组统计数据如下表所示.计算得两个变量线性相关，且关于的线性回归方程为则实数的值为（ ） 1 2 3 4 0 4 7 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】计算出，，可知线性回归直线一定过，从而求出. 【详解】由题可知，， 则； 又在线性回归直线上，则， 所以，故 . 故选：A. 5. 若平面过点且该平面的一个法向量为 ，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间中点到平面距离公式求解. 【详解】， 点到平面的距离， 故选：A. 6. 某测试由8道四选一的单选题组成，学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会，若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用古典概型、条件概率公式、全概率公式计算即可. 【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件， “选到有思路的2道题”为事件，“选到完全没有思路的题”为事件， 则，，，， ，， 由全概率公式可得 ． 故选：A． 7. 下列说法正确的有（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 B. 若 是随机变量，则. C. 已知随机变量，若，则 D. 设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机试验中发生的次数，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性相关系数的定义，期望方差的公式以及正态分布进项逐项分析即可得答案. 【详解】解： 对于选项A：根据相关系数的定义可知A错误； 对于选项B：若 是随机变量，则，故B错误； 对于选项C：因为随机变量服从正态分布，故， 则，故C错误； 对于选项D：随机变量的可能取值为、，故， ，当且仅当取等号，故D正确； 故选：D 8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，直线 过与交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据已知及双曲线的定义得到，进而得到，应用勾股定理得到双曲线参数的齐次方程，进而求离心率. 【详解】设，则， 所以，则， 由，则，故， 综上，， 所以，则， 所以，则，可得， 所以. 故选：A 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算可求即可判断A，再判断，的位置关系即可判断B，根据线性运算得到，再由垂直的坐标表示判断C；由夹角公式即可判断D． 【详解】由，，得，A正确； 假设，则，显然 无解，所以与不平行，B错误； 因为，所以，则，C正确； 因为，所以，D正确． 故选：ACD． 10. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线 与交，两点，则（ ） A. B. 若，则直线 的斜率为 C. 若直线 的斜率为2，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由焦点坐标求，判断A，设直线 的方程，运用韦达定理和抛物线定义求斜率，判断B，写出直线 的方程，运用韦达定理和抛物线的焦点弦弦长公式，计算可判断C，设直线 的方程 ，由向量数量积的坐标公式和韦达定理，计算可判断D. 【详解】对于选项A，由抛物线的焦点为，可得，即 ，从而抛物线，故选项A正确； 对于选项B，设直线 的方程，不等于0，代入，得， 所以， ， 由抛物线定义可知，， 由，可得， 即，代入 ，可得， 由，可知，所以，从而 ， 把 ，代入，可得，故选项B错误； 对选项C，直线 的斜率为2，所以直线 方程：，即 ， 代入，可得，所以 ， 由抛物线定义可知，所以，故选项C错误； 对选项D，设直线 的方程 ，代入，得 ， 所以， ， 由， 即， 把， ，代入， 可得，故选项D正确. 故选：AD. 11. 某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A. 若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B. 若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C. 若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D. 若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有138种不同的方案． 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用计数原理，结合分组思想，排列组合思想即可逐项求解． 【详解】A：这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种，故A错误； B：根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人， 我们把这五人分成四组共有种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工作共有 种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故B正确； C：若数学学科必须安排两人，则有种方法，其余学科各安排一人共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故C正确； D：“每人安排一门学科，每门学科至少一人”的总方案数为240（同选项B），需排除“A负责语文”或“B负责数学”的情况，用容斥原理计算： 情况1：A负责语文 固定在语文，剩余4人分配到4科（每科至少1人），分2种子情况： ①语文为“2人组”（人）：选1人加入语文（），剩余3人分配到其他3科（），方案数： ②语文为“1人组”（仅A）：先B、C、D、E分为三组（2，1，1），有种方法，再将三组分到数学、英语、物理，有种方法，故总的方法数为：； 情况1总方案数：． 情况2：B负责数学 与“情况1”对称，总方案数同样为60． 情况3：A负责语文且B负责数学（重复减去的部分） 在语文、B在数学，剩余3人分配到4科（每科至少1人），分2种子情况： ①语文或数学为“2人组”：剩余3人选2人分配到英语和物理（），最后1人去语文或数学（），方案数：； ②英语或物理为“2人组”：3人分成两组（2，1），有种分法，两组分配到英语和物理，有种分法，故方案数为； 故情况3总方案数：． 根据容斥原理，不符合条件的方案数为：， 因此，符合条件的方案数为：，故D正确. 故选：BCD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 展开式中的系数为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由已知，展开式中的通项为， 令，得 ，所以的系数为. 13. 已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据投影向量公式求解. 【详解】根据投影向量的公式，在方向上的投影向量为. 故答案为： 14. 某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜色后放回，摇匀后进行下一次抽取，每名顾客一共有4次抽奖机会，若前3次都抽到红球，则不需要抽第4次，根据抽出的红球数计算奖次．记 为抽到红球的次数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据独立重复事件的概率计算求解. 【详解】 包含两类：前3次都取到红球，或前3次取到2个红球和1个白球且第4次取到红球， 其概率为． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，每小题5分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程． 15. 已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求以线段为直径的圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直可得直线斜率，再利用点斜式可得直线方程； （2）联立直线可得点，进而确定中点以及，即可得圆心与半径，进而可圆的方程. 【小问1详解】 易知的斜率为，故所求直线斜率是 ， 所求直线过点， 所求直线方程为， 即； 【小问2详解】 联立方程组，解得， 故，又， 由中点坐标公式得线段的中点坐标为， 由两点间距离公式得， 即圆心为，半径， 故所求圆的方程为． 16. 随着科技的发展，AI技术已经深度介入普通人的生活，正在改变着人们的生活和工作．为了调查AI技术在普通人中的使用情况，一调查机构对此进行了调查，并从参与调查的市民中分别抽取男，女各100人进行统计分析，整理得到如下列联表： 性别 经常借助AI技术 不经常借助AI技术 合计 男 女 50 合计 120 （1）完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析是否经常借助AI技术与性别有关联； （2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从表中不经常借助AI技术的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记3人中男性人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望． 参考公式：，． 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表为： 性别 经常借助AI技术 不经常借助AI技术 合计 男 70 30 100 女 50 50 100 合计 120 80 200 有关联 （2） 的分布列为： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意完成表格，然后利用公式计算的值进行分析即可； （2）根据题意先利用分层抽样的方法抽取男、女生人数，找出随机变量 的值，计算出各值对应的概率，计算出数学期望值即可. 【小问1详解】 列联表为： 性别 经常借助AI技术 不经常借助AI技术 合计 男 70 30 100 女 50 50 100 合计 120 80 200 零假设为：是否经常借助AI技术与性别无关联． 根据表中数据，得: ， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即是否经常借助AI技术与性别有关联，这种推断犯错误的概率不超过0.005． 【小问2详解】 采用按比例分配的分层随机抽样， 男性抽取人数为，女性抽取人数为， 所以随机变量 的可能取值为 ， ， ， ， ， 所以 的分布列为： 0 1 2 3 所以. 17. 已知，且． （1）求展开式的所有二项式系数之和； （2）求的值； （3）判断的展开式中第几项系数的绝对值最大． 【答案】（1）1024 （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数之和公式求解． （2）通过赋值得，赋值代入展开式，变形后求得目标式子的值． （3）写出展开式通项，建立不等式组求解系数绝对值最大的项对应的值，确定项数． 【小问1详解】 展开式的所有二项式系数之和为. 【小问2详解】 令，得； 令​，， 因此. 【小问3详解】 展开式的通项. 由，即，解得. 因为为整数，所以，所以的展开式中第5项系数的绝对值最大． 18. 如图1，在中， 两点分别为（靠近）､（靠近）的三等分点， .现将沿折起得到四棱锥 ，在图2中. （1）求证： 平面 ； （2）线段上是否存在一点，使得平面 与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在图1的 中， ， 所以 ，且， ， 因为，所以，，则 ， ， 在 中，， ， ，则， 在图2的 中，，，， 满足，所以 ， 因为 ， ， ，、 平面 ， 所以 平面 . （2）存在， 【解析】 【分析】（1）证明出 ， ，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为原点，、、的方向分别为 、、 轴建立空间直角坐标系，设 ，求得 ，根据面面角的向量求法建立等式计算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得 平面 ， ， 以点为原点，、、的方向分别为 、、 轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则 、 、 ， ， ， 设线段 上存在一点， ， ， 则 ，，即 ， 解得 ，故 ， 设平面 的一个法向量 ， 则，取 ，则， 所以平面 的一个法向量为 ， 取平面的一个法向量为 ， 由题意可得， 令 ，则，解得 ， 当 时，得，当，此时无解， 所以线段 上存在一点，且. 19. 已知椭圆：过点，短轴长为，，分别为椭圆的左、右顶点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点且不与轴垂直的直线 与椭圆交于两点，直线 的斜率与直线 的斜率的比值是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由． 【答案】（1） ， （2）直线 的斜率与直线 的斜率的比值为定值，定值为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过定点及短轴长列方程组求出，值，即可得到椭圆方程，进而求出离心率. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，代入的代数式中化简即可. 【小问1详解】 由短轴长为可得，. 由椭圆过点可得，，解得，所以 . 所以椭圆的方程为 . 离心率为. 【小问2详解】 设直线 的方程为，设，. 因为，分别为椭圆的左、右顶点，所以，. 联立，整理得， ， 所以，. ，， 所以 . 当直线 斜率不存在时，方程为，代入椭圆方程解得. 不妨设，，则. 综上，直线 的斜率与直线 的斜率的比值为定值，定值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $