精品解析：江西科技学院附属中学2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题

江科附中2025~2026学年第一学期高二年级期末考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 2. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ） A. 9或1 B. 1 C. 9 D. 9或2 4. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（ ） A. 32 B. 64 C. D. 5. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ）（残差=观察值－估计值） A. 2 B. C. D. 6. 如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 7. 在单项选择题中，每道题有ABCD四个选项，其中仅有一个选项正确．学生小张与小李两人对同一题在选项ABCD中随机选择一项．事件：两人选择都正确；事件：两人选择都错误；事件：至少有一人选择正确，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. D. 8. 已知椭圆左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关数列的说法正确的是（   ） A. 已知数列为等差数列，若，则1013 B. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C. 在数列1，，，2，，....，第8个数是 D. 数列的前项和为，已知，是递增数列 10. 已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知包括小明与小刚在内共名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这名同学排队依次提交研学论文，则（ ） A. 若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为 B. 若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格概率为 C. 若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有种提交顺序 D. 若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有种提交顺序 11. 过点的直线与抛物线交于两点，过点分别作抛物线的切线，两切线交于点为坐标原点，直线交直线于点，则下列选项正确的是（ ） A. 点的横坐标为定值 B. 可能是直角 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式共有9项，则该展开式中含的项的系数为___________________. 13. 设数列的前项和为，则 _____. 14. 现有10个外表相同的袋子，里面均装有10个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回），则第三次取出白球的概率为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 我国探月工程亦称“嫦娥工程”，年月日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），学校随机抽取男生和女生各名进行调查，数据表明：男生中有的同学“十分关注”，女生中有的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”. （1）根据条件，列出列联表，并判断是否有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关； （2）学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取8人进行科普类培训，再从这8人中随机抽取人进行重点培训，求这人中至少有1名男生的概率. 附：，其中. 16. 已知各项递增的等比数列，等差数列其前n项和分别为，，满足，，. （1）求，的通项公式； （2）将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． （1）求线段的长； （2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知双曲线虚轴长为2，其中一条渐近线方程为.且，分别是双曲线的左、右顶点. （1）求双曲线的方程； （2）设过点动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，. ①试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； ②设，，，若，（），求的面积. 19. 若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量，将取值为的概率记作，其中. 甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得1分，不进球得分；未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y. （1）求，； （2）求； （3）已知随机事件发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江科附中2025~2026学年第一学期高二年级期末考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的规律写通项公式. 【详解】已知数列可化为：， 根据数列的规律，可知该数列的通项公式可以为. 故选：B. 2. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行的充要条件及平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】因为直线与平行， 所以有，所以有， 又因为这两条平行线间距离为， 所以有，或舍去， 所以. 故选：D. 3. 是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ） A. 9或1 B. 1 C. 9 D. 9或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】是双曲线上一点，所以，所以， 由双曲线定义可知， 所以或者，又，所以， 故选：C 4. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（ ） A. 32 B. 64 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件结合正态分布的性质求出，再利用赋值法求出系数和. 【详解】因为，所以，解得， 设， 则当时，， 故选：A. 5. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ）（残差=观察值－估计值） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】∵， ∴增加两个样本点后的平均数为； ∵，∴， ∴增加两个样本点后y的平均数为， ∴，解得， ∴新的经验回归方程为，则当时，， ∴样本点的残差为 故选：B. 6. 如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】过点向线段的延长线作垂线，垂足为，因为， 所以，所以，因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与所成角为，则， 所以，， 故选：B. 7. 在单项选择题中，每道题有ABCD四个选项，其中仅有一个选项正确．学生小张与小李两人对同一题在选项ABCD中随机选择一项．事件：两人选择都正确；事件：两人选择都错误；事件：至少有一人选择正确，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出事件的概率，即可判断选项C；根据对立事件及互斥事件的定义即可判断选项A，B；根据条件概率的定义即可判断选项D. 【详解】由条件得两人作答总共有种等可能的选法，设正确选项为A. 则事件：两人都选对（即都选A）共有 1 种选法，故 事件：两人都选错（即都从B、C、D中选）共有种选法，故 事件：至少一人选对等价于总的方法数减去两人都选错的方法数，即共有种选法，故. 对于A：因“至少一人对、一人错”的情况既不在也不在中，即，故与互为对立事件不成立，故A错误； 对于B：由条件得是的子集，即，即与不互斥，故B错误；  对于C：，即成立，故C正确；  对于D：由条件概率公式得：，故D错误. 故答案为：C. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作，结合条件可得，结合椭圆定义求出，在，中，分别由勾股定理建立等式得到的方程，求得答案. 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ， ，整理得， 所以，即， ， ， 在中，，在中，， ， 化简整理得， ，解得或，又，. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关数列的说法正确的是（   ） A. 已知数列为等差数列，若，则1013 B. 数列通项公式为，则110是该数列的第11项 C. 在数列1，，，2，，....，第8个数是 D. 数列的前项和为，已知，是递增数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质判断A，由通项公式判断B，根据规律判断C，求出可判断D. 【详解】数列为等差数列，则，所以1013，故A正确； 令，解得（舍去），即，故B正确； 因为数列1，，，2，，....，所以第8个数是，故C正确； 因为，所以，故， 所以不是递增数列，故D错误. 故选：ABC 10. 已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知包括小明与小刚在内共名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这名同学排队依次提交研学论文，则（ ） A. 若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为 B. 若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为 C. 若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有种提交顺序 D. 若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有种提交顺序 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式计算判断A，应用全概率公式结合对立事件概率计算判断B，应用乘法原理结合组合公式计算判断C，先求所有排序情况减去小明和小刚相邻时的排法判断D. 【详解】对于A，若小明第一次评定为不合格，则小明获得0.4学分的概率为，故A正确； 对于B，设事件“第i次评定为合格”， 由全概率公式可得小刚第三次合格的概率为，故B正确； 对于C，先排小明，有种方式，再排小刚，有种方式，最后排其余所有人，有种方式， 则一共有种方式，故C错误； 对于D，无限制时，排序方式有种方式， 小明和小刚相邻时，将小明和小刚视为一组，有2种方式，与其余人排序，有种方式， 所以一共有种方式，故D正确． 故选：ABD． 11. 过点的直线与抛物线交于两点，过点分别作抛物线的切线，两切线交于点为坐标原点，直线交直线于点，则下列选项正确的是（ ） A. 点的横坐标为定值 B. 可能是直角 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线方程，联立抛物线方程，求出交点坐标，进而得到切线交点M的坐标，再分析各选项的正确性. 【详解】A选项： 设过点的直线方程为，代入抛物线得， 设，则， 抛物线在点的切线方程为，即； 同理，在点的切线方程为， 联立两切线方程，解得交点横坐标为，为定值，故A选项正确； B选项：计算：， 代入，得： 故不可能是直角，B选项错误； C选项：直线的斜率为，由得，直线的斜率为，两者斜率之积为，故，C选项正确； D选项：直线的方程为，直线的方程为，联立得交点的坐标为， 通过坐标计算可得，则，当时，，即，故D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式共有9项，则该展开式中含的项的系数为___________________. 【答案】252 【解析】 【分析】根据的展开式共有9项，得到，再利用展开式的通项公式求解. 【详解】因为的展开式共有9项， 所以，则展开式的通项公式为， 令，得， 所以该展开式中含的项的系数为252， 故答案为：252 13. 设数列的前项和为，则 _____. 【答案】2760 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分组求和法，结合等差数列前项和求解. 【详解】数列中，， 当为奇数时，，数列是首项，公差为2的等差数列， 当为偶数时，，数列是首项，公差为4的等差数列， 所以 . 故答案为：2760 14. 现有10个外表相同的袋子，里面均装有10个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回），则第三次取出白球的概率为_____________. 【答案】##0.45 【解析】 【分析】设第三次取出白球为事件，选中第个袋子为事件，分别求出和，再根据全概率公式计算即可得解. 【详解】设第三次取出白球为事件，选中第个袋子为事件. 因为10个袋子外表相同，从中任选一个袋子， 每个袋子被选中的概率均为，所以. 因为第个袋中有10个球，其中个红球，个白球， 所以在第个袋子中，任意一次取到白球的概率均为， 则在第个袋子中，第三次取到白球的概率. 所以由全概率公式可知，第三次取出白球的概率 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 我国探月工程亦称“嫦娥工程”，年月日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），学校随机抽取男生和女生各名进行调查，数据表明：男生中有的同学“十分关注”，女生中有的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”. （1）根据条件，列出列联表，并判断是否有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关； （2）学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取8人进行科普类培训，再从这8人中随机抽取人进行重点培训，求这人中至少有1名男生的概率. 附：，其中. 【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出列联表，并根据卡方公式计算卡方，由独立性检验的基本思想判定即可； （2）先利用分层抽样原理计算抽取男女生人数，再利用古典概型计算概率即可. 【小问1详解】 由题意可得列联表： 男 女 合计 十分关注 比较关注 合计 ， 没有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关. 【小问2详解】 由题意知，8人中男生人，女生人. 记“人中至少有1名男生”为事件， 则 16. 已知各项递增的等比数列，等差数列其前n项和分别为，，满足，，. （1）求，的通项公式； （2）将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列求和公式得到方程组，解得、即可求出的通项公式，利用基本量法列出方程组可求的通项公式； （2）依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项，再利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为， 显然且. 由已知得，两式相除可得（负值舍去），所以， 所以； ， ∴，，所以. 【小问2详解】 数列中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…， 依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项， 所以 . 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． （1）求线段的长； （2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可构造方程求得结果； （2）根据面面角的向量求法可构造方程求得长，进而得到结果. 【小问1详解】 以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， ，即. 【小问2详解】 设，则，， 设平面的法向量， ，令，则，，； 轴平面，平面的一个法向量， ，即， 解得：或（舍），即， 当时，平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线虚轴长为2，其中一条渐近线方程为.且，分别是双曲线的左、右顶点. （1）求双曲线的方程； （2）设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，. ①试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； ②设，，，若，（），求的面积. 【答案】（1） （2）①定值，② 【解析】 【分析】（1）设出双曲线方程，结合渐近线方程及虚轴长求解即可. （2）①设直线的方程，联立其与双曲线方程，结合韦达定理可得，代入中计算即可；②设直线的斜率为可得，结合可得，进而可得，再结合可得，从而求得直线的方程，联立直线的方程与双曲线方程可求得点的纵坐标，进而可求得的面积. 【小问1详解】 由题意可设双曲线：（，）， 则解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 如图所示， ①为定值.理由如下： 由题意知，， ， 设，，直线的方程为， 由消元得， 则，，且， 所以， 所以， 故为定值. ②由①知，，设直线的斜率为，则， 又，所以， 所以. 又，，所以， 由可得，即， 又，所以（舍），. 所以直线的方程为. 由可得：，即点的纵坐标为， 所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题的方法： （1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． （2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． （3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 19. 若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量，将取值为的概率记作，其中. 甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得1分，不进球得分；未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y. （1）求，； （2）求； （3）已知随机事件发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析；数学期望为 【解析】 【分析】（1）由题意有的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，即可计算，由是不能事件，即得； （2）先计算，根据条件概率公式即可计算； （3）利用条件概率分别计算，，，即可得的分布列，最后根据数学期望的公式计算即可. 【小问1详解】 由题意有的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球， 所以， 因为是不可能事件， 所以； 【小问2详解】 表示：甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签， 所以， 所以； 【小问3详解】 表示：甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽到签， 所以， 又的可能取值为， 所以， ， ， 所以， ， ， 所以的分布列为 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $