精品解析：江西吉安市五所县二中2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷

吉安市五所县二中2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共计40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 4 D. 8 5. 已知空间四边形，其对角线为，，，分别是，的中点，点在线段上，且，现用基底表示向量，有，则，，的值分别为 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ） A. 1 B. －1 C. D. 7. 直线过交抛物线于，抛物线焦点为，，则中点到抛物线准线的距离为 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知双曲线（，）左、右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共计18分） 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为 C. △的周长为30 D. 点在椭圆上 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 向量，，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线 11. 过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ） A. 周长的最小值为18 B. 四边形可能为矩形 C. 若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是 D. 的最小值为-1 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 已知椭圆的弦AB的中点为M，O为坐标原点，则直线AB的斜率与直线OM的斜率之积等于_________． 13. 如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质．若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例压缩后可近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为______． 14. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共计77分） 15. 已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上. （1）求圆C的方程； （2）动直线l：过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度. 16. （1）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程. （2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为，求双曲线的方程． 17. 在平行六面体中，，，，，，N为CD的中点. （1）求AM的长； （2）求的余弦值. 18. 在平面直角坐标系xOy中，设双曲线C1以椭圆C2：1长轴的两个端点为焦点，以C2的焦点为顶点． （1）求C1的标准方程； （2）过（0，1）的直线l与C1的右支相切，且与C2交于点M，N，求 OMN的面积． 19. 已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市五所县二中2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共计40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率，再由求解倾斜角. 【详解】直线的斜率 ， ∴. 故选：C 【点睛】本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题. 2. 已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的中点的坐标，再求出关于平面对称的点的坐标即可. 【详解】因为点， 所以的中点， 所以关于平面对称的点的坐标为， 故选：A. 3. 将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系，根据向量的夹角的余弦值来确定异面直线的夹角. 【详解】取中点为，连接，所以， 又面面且交线为，面， 所以面，面，则. 设正方形的对角线长度为2， 如图所示，建立空间直角坐标系，， 所以，. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选:A 4. 已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为9. 故选：B. 5. 已知空间四边形，其对角线为，，，分别是，的中点，点在线段上，且，现用基底表示向量，有，则，，的值分别为 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】由向量运算的三角形法则和向量共线定理、平行四边形法则可得，从而可得结果. 【详解】 如图所示， 因为，分别是，的中点，点在线段上，且， ， ， ， 又有， ，故选A. 【点睛】本题考查了向量的三角形法则和向量共线定理、平行四边形法则，属于基础题. 向量的运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）. 6. 已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ） A. 1 B. －1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点为，得到，得出，结合图象，得到当且仅当，，三点共线时，取得最小值，即可求解. 【详解】设椭圆的左焦点为，则，可得， 所以， 如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时， 此时取得最小值， 又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1． 故选：A． 7. 直线过交抛物线于，抛物线焦点为，，则中点到抛物线准线的距离为 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】过作准线的垂线，由，则，直线的斜率为，从而得到直线方程，直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得中点的横坐标，进而可得结果. 【详解】 如图， 由抛物线,得焦点,准线方程为， 过作准线的垂线， ， 则，直线的斜率为， 可得直线的方程为， 联立 ，可得， 设， 则,可得中点横坐标为5 ， 中点到抛物线准线的距离为，故选D . 【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，直线的倾斜角、斜率以及抛物线定义的应用，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决. 8. 已知双曲线（，）左、右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得，，可得在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，根据在双曲线右支上，得关于的不等式，从而求出的范围 【详解】解：由题意，点不是双曲线的顶点，否则无意义， 在中，由正弦定理得， 又， ∴，即， ∵在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得， ∴，即， 由双曲线的几何性质，知，∴，即， ∴，解得，又，双曲线离心率的范围是． 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共计18分） 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为 C. △的周长为30 D. 点在椭圆上 【答案】BCD 【解析】 【分析】由双曲线方程直接求离心率、并写出渐近线方程，即可判断A、B正误；利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可知C的正误；利用椭圆的定义判断是否在椭圆上，判断D的正误. 【详解】双曲线化为标准形式为，则，， ，故离心率，即A错误； 双曲线的渐近线方程为，即，即B正确； 由双曲线的定义知，， ，则， △的周长为，即C正确； 对于椭圆，有，，， ， 由椭圆的定义知，点在椭圆上，即D正确， 故选：BCD. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 向量，，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理及基底的基本概念，判断每个选项即可. 【详解】解：对于选项A，由，也可能是或，故错误； 对于选项B，因为对空间中任意一点，， 则， 整理得. 由空间向量基本定理可知点，，，四点共面，故正确； 对于选项C，由是空间中的一组基底，则，向量，，不共面， 可得向量，，也不共面，所以也是空间的一组基底，故正确； 对于选项D，若空间四个点，，，，， 可得，即，则，，三点共线，故正确. 故选：BCD. 11. 过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ） A. 周长的最小值为18 B. 四边形可能为矩形 C. 若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是 D. 的最小值为-1 【答案】AC 【解析】 【分析】A由椭圆对称性及定义有周长为，根据椭圆性质即可判断；B根据圆的性质，结合椭圆方程与已知判断正误；C、D设，利用斜率两点式可得，进而判断C正误，应用向量数量积的坐标表示列关于的表达式，结合椭圆有界性求最值. 【详解】A：根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值8，所以周长的最小值为18，正确； B：若四边形为矩形，则点P，Q必在以为直径的圆上，但此圆与椭圆无交点，错误； C：设，则，因为直线PA斜率的范围是，所以直线PB斜率的范围是，正确； D：设，则．因为，所以当时，最小值为，错误. 故选：AC． 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 已知椭圆的弦AB的中点为M，O为坐标原点，则直线AB的斜率与直线OM的斜率之积等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点是弦的中点，为坐标原点，利用点差法求解. 【详解】设，且， 则，（1），（2） 得：， ， . 又， ， . 故答案为： 13. 如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质．若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例压缩后可近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由上焦点到渐近线的距离利用点到直线的距离公式可得，再由离心率为2，可求出，从而可求出，进而可求得双曲线方程. 【详解】因为， 所以下焦点的坐标为，渐近线方程为，即， 则下焦点到的距离为． ，解得，则， 所以该双曲线的方程为． 故答案为： 14. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______． 【答案】##-0.125 【解析】 【分析】根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答. 【详解】连接，如图， 因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB， 则平面PAB，又平面PAB，即有， 因M是AC的中点，则，又， ，当且仅当取“=”， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共计77分） 15. 已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上. （1）求圆C的方程； （2）动直线l：过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，利用待定系数法能求出圆的方程； （2）动直线的方程为，列出方程组求出动直线过定点，从而求出直线：，由此能求出圆心到的距离，然后可求出答案. 【小问1详解】 设圆的方程为， 则， 解得，，， ∴圆的方程：； 【小问2详解】 动直线的方程为. 则得，∴动直线过定点， ∴直线：， ∴圆心到m的距离为， ∴PQ的长为. 16. （1）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程. （2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为，求双曲线的方程． 【答案】【小问1】 【小问2】 【解析】 【分析】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为，点代入求得的值即可得出答案.（2）设双曲线的标准方程为，利用焦距和渐近线方程列方程组即可求解. 【详解】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为. 又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得， 解得λ=11或(舍去). 故所求椭圆的标准方程为. （2）由题意，设双曲线的标准方程为，设焦距为2c， ∴，解得， ∴该双曲线的方程为． 17. 在平行六面体中，，，，，，N为CD的中点. （1）求AM的长； （2）求的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据几何体，应用空间向量加减、数乘的几何意义可得，进而对两边平方，由空间向量数量积的运算律及已知条件，求模长即可； （2）根据空间向量加减、数乘的几何意义可得，结合已知求数量积，由（1）及求的余弦值. 【详解】（1）， ∴， ∴. （2），， ， . 18. 在平面直角坐标系xOy中，设双曲线C1以椭圆C2：1长轴的两个端点为焦点，以C2的焦点为顶点． （1）求C1的标准方程； （2）过（0，1）的直线l与C1的右支相切，且与C2交于点M，N，求 OMN的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到双曲线a＝1，c＝2求解； （2）设过（0，1）的直线l的方程为y＝kx+1，联立，根据直线与双曲线相切求得直线方程，联立，求得弦长|MN|和原点O到直线l的距离d，由Sd•|MN|求解. 【小问1详解】 解：由题意得双曲线a＝1，c＝2， 则b²＝c²﹣a²＝3， 所以C1的标准方程为：； 【小问2详解】 设过（0，1）的直线l的方程为y＝kx+1， 联立，可得（3﹣k²）x²﹣2kx﹣4＝0， 因为直线与双曲线相切， 所以Δ＝4k²+16（3﹣k²）＝0， 解得k＝±2， 因为直线l与双曲线右支相切， 所以l方程为：y＝﹣2x+1， 联立，可得19x²﹣16x﹣8＝0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，x1x2， 则|MN||x1﹣x2|•， 又原点O到直线l的距离d， 所以 OMN的面积Sd•|MN|． 19. 已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程. （2）设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求. 【详解】（1）因为椭圆过，故， 因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即， 故椭圆的标准方程为：. （2） 设， 因为直线的斜率存在，故， 故直线，令，则，同理. 直线，由可得， 故，解得或. 又，故，所以 又 故即， 综上，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $