精品解析：山东省菏泽市第一中学2025-2026学年高二下学期4月教学诊断检测数学试题

高二下学期4月份教学诊断检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数有极值，则c的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得，则，由此可求答案． 【详解】解：由题意得， 若函数有极值，则， 解得， 故选：A． 2. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种 【答案】B 【解析】 【分析】 区域与其他区域都相邻，从开始分步进行其它区域填涂可解 【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析： ①，对于 区域，有4种涂法， ②，对于区域，与 相邻，有3种涂法， ③，对于区域，与 相邻，有2种涂法， ④，对于区域，若其与 区域同色，则 有2种涂法， 若 区域与 区域不同色，则 有1种涂法，则 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B． 【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题 使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数． 3. 若函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对求导并将问题转化为函数在(0,1)上存在变号零点，再应用导数研究的单调性，结合零点存在性定理列不等式求参数范围. 【详解】由题设，，又在上不单调， 所以函数在上存在变号零点， 设，， 则，则在上单调递增， 所以，即，解得， 则的取值范围是 故选：B. 4. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先根据导数判断函数的单调性，然后利用函数单调性对已知不等式变形，再通过构造新函数进行求解即可. 【详解】由题可知，， 由于，故在上恒成立， 故在上单调递增， 因为， 所以，即恒成立， 令，， 则， 由可得，，由可得，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 即， 故 ，解得 故实数的最小值为. 故选：B 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为， 当时，，此时函数的图象在轴上方，排除C； 由，得，因此函数只有1个零点，其图象与轴只有1个交点，排除B； 又，当时，，因此，排除A，D符合题意.. 6. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 7. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可． 【详解】函数，求导得：，令为在上的“拉格朗日中值点”， 则有，即， 整理得，解得， 所以函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为2. 故选：B. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解得即可. 【详解】令，则， 当时，，所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以，所以是偶函数，在单调递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数运算法则及求导公式，逐项计算即得. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值； B. 有两个不同的零点； C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，对函数求导，可以判断出单调区间，即可求得极值； B选项，令函数，求得零点；C选项，根据A选项得到的单调性来比较大小即可；D选项，根据单调性可知，代入即可比较大小. 【详解】的定义域为，且.令，得在上单调递增，在上单调递减，因此在处取得极大值正确. 令，解得，故函数有且仅有一个零点，错误. 由在上单调递减，得，则正确. 因为，即，所以，则错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则t的最大值为2 D. 当时，方程有且只有两个实根 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得，得到函数的单调性和极值，以及时，，当时，，作出函数的图象，如图所示，结合图象，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 当，函数取得极小值； 当，函数取得极大值， 当时，，当时，， 作出函数的图象，如图所示，结合图象得： 对于A中，函数存在两个不同的零点，所以A不正确； 对于B中，函数既存在极大值又存在极小值，所以B正确； 对于C中，当时，，可得，所以t的最大值为，所以C正确； 对于D中，若方程有且只有两个实根， 即与的图象有两个不同的交点，可得，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. A、B、C、D共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A和B去询问成绩，回答者对A说：“很遗憾，你和B都没有得到冠军.”对B说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】依题意、不在第一名且不在第四名，分在第四名与不在第四名两种情况讨论. 【详解】依题意、不在第一名且不在第四名， 若在第四名，先排到第二、三名中的一个位置，另外两个人全排列， 所以有种排列； 若不在第四名，则先排、到第二、三名两个位置，另外两个人全排列， 所以有种排列； 综上可得这4人的名次排列有种. 故答案为： 13. 若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解. 【详解】，由题意在上有解， 即在上有解， 根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值， 故，故实数的取值范围是. 故答案为： 14. 对于函数，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助导数研究单调性，并求出函数在给定区间上的值域，再结合集合包含关系，列出不等式解题即可. 【详解】函数，求导， 令，求导， 函数在上单调递增，当时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，因此函数在上单调递增， 当时，，即， 函数，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，此时，即； 在上单调递增，此时，即， 由对任意的，存在唯一的使得， 得是的子集， 即，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题关键是将题目转化为值域之间的包含关系，再借助导数研究单调性，得到值域. 四、解答题：本题共5小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若函数无零点，用第（1）问结论求的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得的极值. （2）根据的极小值列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意得：定义域为，； 令，解得：， 则当时，；当时，； ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由（1）知：的极小值即为的最小值，即； 若无零点，则，即，∴，解得：， 则的取值范围为. 16. 已知函数，，若的图象在点处的切线方程为， （1）求函数的解析式； （2）若在区间上是减函数，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解. （2）将问题转化为对恒成立求解即可． 【小问1详解】 函数的图象在点处的切线方程为， 又，则，即， 又，即切点为，于是，解得， 所以函数的解析式为． 【小问2详解】 由（1）知，在上是减函数， 则对恒成立，即对恒成立， 又在上为减函数，则在上为减函数， 当时，取得最小值，因此，解得， 所以实数的取值范围是． 17. 用具体数字表示下列问题． （1）从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； （2）由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； （3）有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数． 【答案】（1）9900 （2）6 （3）120 【解析】 【分析】（1）由乘法原理可直接求解； （2）先确定个位数，再结合乘法原理即可； （3）由乘法原理可直接求解. 【小问1详解】 从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有（个）． 【小问2详解】 因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”， 故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有（个）． 【小问3详解】 可以理解为从5家单位中选出4家单位， 分别把4名大学生安排到4家单位，共有（个）分配方案． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的正负，判断导数的正负，即可求得答案； （2）由（1）可得函数的最小值，要证明，即证；方法一，构造函数，利用导数求其最小值，说明大于等于0即可；方法二，利用进行放缩，证明即可. 【小问1详解】 的定义域为，． 若，则，在上单调递减： 若，则由得，当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增； 故当时，在上单调递减： 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 方法1，当时，由（1）知，当时，取得最小值． 所以，从而． 设，则． 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 故当时，，即； 方法2：当时，由（1）知，当时，取得最小值， 所以， 从而， 令，， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，当等号成立； 所以，当时，， 即. 19. 设函数. （1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值； （2）讨论函数零点的个数； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）2；（2）当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点；（3）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）当m=e时，＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值；（2）由，得，令，x＞0，m∈R，则h（1）=， h′（x）=1-x2=（1+x）（1-x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）-零点的个数；（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围 试题解析：（1）由题设，当时， 易得函数的定义域为 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 当时，取得极小值 的极小值为2 （2）函数 令，得 设 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点， 的最大值为 又，结合y=的图像（如图），可知 ①当时，函数无零点； ②当时，函数有且仅有一个零点； ③当时，函数有两个零点； ④时，函数有且只有一个零点； 综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点. （3）对任意恒成立，等价于恒成立 设，在上单调递减 在恒成立 恒成立 （对，仅在时成立），的取值范围是 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期4月份教学诊断检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数有极值，则c的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种 3. 若函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值； B. 有两个不同的零点； C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则t的最大值为2 D. 当时，方程有且只有两个实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. A、B、C、D共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A和B去询问成绩，回答者对A说：“很遗憾，你和B都没有得到冠军.”对B说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）. 13. 若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是______． 14. 对于函数，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若函数无零点，用第（1）问结论求的取值范围. 16. 已知函数，，若的图象在点处的切线方程为， （1）求函数的解析式； （2）若在区间上是减函数，求实数a的取值范围. 17. 用具体数字表示下列问题． （1）从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； （2）由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； （3）有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 19. 设函数. （1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值； （2）讨论函数零点的个数； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $