8.3 简单几何体的表面积与体积 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3简单几何体的表面积与体积 01 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学习目标 1、通过研究棱柱、棱锥、棱台的结构特征，掌握棱柱、 棱锥、棱台的表面积和体积的求法. 2、能运用棱柱、棱锥、棱台有关组合体的表面积与体积 公式解决有关实际问题. ①矩形面积公式： ②三角形面积公式： ③梯形面积公式： ④长方体体积： ⑤正方体体积： 复习回顾 1.常见的面积公式 正方体 长方体 展开图 棱长 a 三条棱长分别为a、b、c 表面积 几何体表面积 展开图中各个平面图形的面积之和 正方体和长方体的展开图与其表面积有什么关系？ 探究新知1:棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积？ 1、棱柱的展开图是什么？如何计算它的表面积？ 2、棱锥的展开图是什么？如何计算它的表面积？ 3、棱台的展开图是什么？如何计算它的表面积？ 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和． 例1 如图所示，四面体P-ABC的各棱长为2，求它的表面积. 分析：因为四面体P-ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍。 几何体表面积的解题口诀 一化：化几何体为展开图，即化立体图为平面图; 二求：求展开图各个平面图形的面积; 三和：平面图形的面积之和即为所求几何体表面积. 几何体表面积=展开图各个平面图形面积之和 变式训练一 如图所示，已知正六棱柱的高为5，底面边长为4，求它的侧面积和表面积. 对比正方体、长方体的体积公式,探究棱柱、棱锥、棱台的体积公式 正方体 长方体 棱长为a 长宽高为a、b、c 探究新知2:棱柱、棱锥、棱台的体积 1、棱 柱 的 体 积 一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积为 棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面做垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。 2、棱 锥 的 体 积 如图，三棱柱ABC-A'B'C'的底面积为S，高为h，从A'点出发棱柱能分割出几个三棱锥？分割出的棱锥体积是多少？ 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么棱柱的体积是棱锥体积的3倍.因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么该棱锥的体积为 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与底面(垂线与底面的交点)之间的距离． 3、棱 台 的 体 积 其中S'，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高. 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。 思考 观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式,它们之间有什么关系?你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗? 上底扩大 上底缩小 S'=S S'=0 例2 如图所示，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m,公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？（计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度） 分析：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和. 一化：化组合体为多个几何体； 二求：求各个几何体的体积； 三和/减：各个几何体的体积之和（或差） 即为该组合体的体积. 组合体体积解题口诀 变式训练二 如图所示，从边长为4的正方体ABCD-A'B'C'D’中截取一个几何体，其中E,F,G,H分别是边上的中点，点P为正方形ABCD的中点，求剩下几何体的体积. 课堂小结 1、棱柱、棱锥、棱台的表面积 2、棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体表面积=展开图各个平面图形面积之和 课后练习 1、如图所示，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？ 2、如图所示，正方体的8个顶点中，有4个为正四面体（各个棱长相等）的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比是多少？ 3、某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？ 02 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 与多面体一样,圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它们的各个面的面积和.不同之处在于,围成圆柱、圆锥、圆台的面中有曲面,利用的展开图,可以得到它们的表面积公式． （1）圆柱的表面积 O′ O r ( r是底面半径，l是母线长 ) 探究新知1:圆柱、圆锥、圆台的表面积 （2）圆锥的表面积 r O S (r是底面半径，l是母线长) (r是扇形所在圆半径，l是弧长) O′ O (r′、r分别是上、下底面半径，l是母线长) （3）圆台的表面积 【思考】 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？ 你用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 我们以前已经学习过了圆柱、圆锥的体积公式： (r是底面半径，h是高) (r是底面半径，h是高) 由于圆台是由圆锥截成的,因此可以利用圆锥的体积公式推导出 圆台的体积公式： (r′、r分别是上、下底面半径，h是高) 探究新知2:圆柱、圆锥、圆台的体积 【思考】 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？ 你用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 【思考】 结合棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式，你将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？ (S为底面积，h为柱体高) (S为底面积，h为锥体高) (S′、S分别为上、下底面面积，h为台体高) 03 球体的表面积和体积 O 探究新知1:球体的表面积 例3： 如图8.3-4,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成,半球的直径是0.3m,圆柱高0.6m．如果在浮标表面涂一层防水漆,每平方米需要0.5kg涂料,那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14） 【思考】 小学,我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗? 类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式? 第一步：分割． 如图所示将球O的表面分成n个小网格,连接球心O和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成n个“小锥体”． 探究新知2:球体的体积 第二步：近似替代． 当n越大时,每个小网格就越小,每个“小锥体”的底面就越平,“小锥体”就越近似于棱锥,棱锥的高近似于球半径R． 设O-ABCD是其中一个“小锥体”，则它的体积是 O 第三步：由近似和求得球体积． 由于球的体积是这n个“小锥体”的体积之和, 而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积． 因此球的体积： 例2. 如图,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,求球与圆柱的体积之比. 圆柱的体积： 圆锥的体积： 棱柱的体积: 棱锥的体积： 棱台的体积: 圆台的体积: 球 $