8.3 简单几何体的表面积与体积（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件系统涵盖柱体、锥体、台体、球的表面积与体积公式及关系，通过知识辨析建立前后联系，以“一语破的”总结关键，构建从公式到应用的学习支架。 其亮点在于通过问题辨析培养数学眼光，典例采用分割补体法发展数学思维，公式推导与球问题体现数学语言表达。如正四棱锥侧面积计算、圆柱圆锥表面积比分析，助学生提升空间观念，为教师提供系统教学案例与方法指导。

　柱体、锥体、台体的表面积 必备知识 清单破 知识点 1 8.3　简单几何体的表面积与体积 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 　　棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.侧面积是指侧面的面 积.一般地,表面积=侧面积+底面积. 第八章　立体几何初步 高中同步 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积 　　圆柱: S侧=2πrl,S表=2πr(r+l)(r是底面半径,l是母线长). 　　圆锥:S侧=πrl,S表=πr(r+l)(r是底面半径,l是母线长). 　　圆台:S侧=π(r'+r)l,S表=π(r'2+r2+r'l+rl)(r',r分别是上、下底面半径,l是母线长). 　　圆柱、圆锥与圆台的侧面积公式之间的关系:   第八章　立体几何初步 高中同步 　柱体、锥体、台体的体积 知识点 2 1.柱体、锥体、台体的体积公式 　    V柱体=Sh(S为底面积,h为柱体高); 　    V锥体= Sh(S为底面积,h为锥体高); 　    V台体= h(S'+ +S)(S',S分别为上、下底面面积,h为台体高). 第八章　立体几何初步 高中同步 2.柱体、锥体与台体的体积公式之间的关系   第八章　立体几何初步 高中同步 　球的表面积和体积 　　设球的半径为R,则它的表面积S=4πR2,体积V= πR3. 知识点 3 第八章　立体几何初步 高中同步 知识辨析 1.棱台的侧面展开图是由什么图形组成的? 2.圆锥、圆台的侧面展开图中的弧长与相应底面圆的周长有什么样的关系? 3.棱柱的体积可以用底面积与侧棱长的乘积表示吗? 4.台体的体积除了用台体体积公式计算,还可以怎么计算? 第八章　立体几何初步 高中同步 一语破的 1.梯形. 2.对应相等. 3.当棱柱是直棱柱时可以,当棱柱是斜棱柱时,可以用垂直于侧棱的截面面积乘侧棱长来求 解. 4.还可以利用两个锥体的体积之差计算. 第八章　立体几何初步 高中同步 计算空间几何体的表面积  关键能力 定点破 定点 1 1.求柱体、锥体、台体的表面积,先计算侧面积与底面积,再求和即可.求球的表面积,只需根 据题意找到半径,代入公式即可. 　　对于棱台和棱锥,计算侧面积时,要注意利用底面内的线段、高、斜高、侧棱构造直角 三角形、直角梯形.对于圆柱、圆锥、圆台,求表面积时要熟悉其几何特征及侧面展开图的 特征. 2.求组合体的表面积时,首先应弄清它的组合方式,其表面由哪些面构成,再根据公式求出各 面的面积,最后相加或相减求解.涉及与旋转体有关的组合体的表面积,一般考虑利用轴截面 求解. 第八章　立体几何初步 高中同步 典例1　已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面 积和表面积. 解析    如图,在正四棱锥P-ABCD中,易知高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE. 由已知得OE=2 cm,∠OPE=30°, ∴PE= =4 cm. 因此S侧=4× ×BC×PE =4× ×4×4=32(cm2), S底=4×4=16(cm2), ∴S表=S侧+S底=32+16=48(cm2). 第八章　立体几何初步 高中同步 典例2　如图,圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等,求圆 柱的表面积和圆锥的表面积之比.   第八章　立体几何初步 高中同步 解析    画出轴截面,如图,设圆柱、圆锥的底面半径分别是r,R,圆锥的母线长为l, 则l= R, = ,∴R=2r. 设圆柱和圆锥的表面积分别为S1和S2, 则 = =  = = = -1.   第八章　立体几何初步 高中同步 　计算空间几何体的体积  求几何体体积的常用方法 (1)公式法:直接代入公式求解. (2)等体积法:例如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式 即可. (3)补体法:将几何体补成易求解体积的几何体,再利用两几何体之间的体积关系求解. 　　常见的补体有:①可将正四面体补为正方体,如图所示. 定点 2 第八章　立体几何初步 高中同步 ②可将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体,如图所示(PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥ PC). ③可将三棱柱补成平行六面体,如图所示. 第八章　立体几何初步 高中同步 ④可将台体补成锥体,如图所示.   (4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积,再相加. 第八章　立体几何初步 高中同步 典例　如图,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任 意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.   第八章　立体几何初步 高中同步 解析    连接EB,EC,则该多面体由四棱锥E-ABCD和三棱锥F-EBC组成(分割法). 易得 = ×42×3=16. ∵AB=2EF,EF∥AB, ∴S△ABE=2S△BEF, ∴V三棱锥F-EBC=V三棱锥C-BEF(等体积法) =  =  (等体积法) = × V四棱锥E-ABCD=4. ∴多面体ABCDEF的体积为V四棱锥E-ABCD+V三棱锥F-EBC=16+4=20. 第八章　立体几何初步 高中同步 一题多解 　　由V斜三棱柱=S直截面×侧棱长,可知本题还可求解如下: ①(分割法)设AB,CD的中点分别为M,N,连接MN,EM,EN,则V多面体ABCDEF=V四棱锥E-AMND+V三棱柱EMN-FBC=  ×8×3+ ×4×3×2=20. ②(补体法)延长EF到G,使EG=AB,连接BG,CG,则V三棱柱BCG-ADE= ×4×3×4=24,设多面体ABCDEF 的体积为V,则V=24-V三棱锥F-BCG=24-V三棱锥E-ADF=24-(V-V四棱锥F-ABCD)=24-V+16,故V=20. 第八章　立体几何初步 高中同步 空间几何体的外接球和内切球 　　处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一 般情况下,由于球的对称性,球心总在几何体的特殊位置,比如中心、对角线的中点等.解决此 类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”或“接 点”作出轴截面,把空间问题转化为平面问题来解决. 一、正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球(正方体的棱长为a) 专题疑难 突破 1.外接球:球心是正方体的中心;直径是正方体的体对角线长,半径R= a. 第八章　立体几何初步 高中同步 2.内切球:球心是正方体的中心;直径是正方体的棱长a,半径R= . 3.与各条棱都相切的球:球心是正方体的中心;直径是正方体的面对角线长,半径R= a. 二、长方体的外接球(长方体的长、宽、高分别为a,b,c) 　　长方体外接球的球心是体对角线的中点;直径是长方体的体对角线长,半径R=  . 第八章　立体几何初步 高中同步 三、棱锥的外接球、内切球 1.可补形成长方体的三棱锥的外接球 (1)一条侧棱为高且底面是直角三角形的三棱锥:设三棱锥的高为c,底面相互垂直的两条棱的 长分别为a和b,将三棱锥补成长方体,如图①②③所示,三棱锥的外接球的直径为长方体的体 对角线长,半径R= .       第八章　立体几何初步 高中同步 典例1　在三棱锥A-BCD中,已知AB,AC,AD两两垂直,且△BCD是边长为2的正三角形,求该三 棱锥的外接球的体积. 第八章　立体几何初步 高中同步 解析    由题意可得,三棱锥A-BCD为正三棱锥,且可以补成正方体,两者的外接球是同一个,正 方体的体对角线长就是外接球的直径.设AB=x,则AC=AD=x,因为AB⊥AC,所以BC= x,即  x=2,所以x= . 设三棱锥A-BCD的外接球的半径为R, 则2R= = = , 所以R= ,所以三棱锥A-BCD的外接球的体积为 πR3= π. (2)对棱相等的三棱锥:三棱锥中三组对棱分别相等.在三棱锥A-BCD中,AD=BC=x,AB=CD=y, AC=BD=z,将三棱锥补成长方体AMDN-QBPC,如图所示. 设BP=a,CP=b,DP=c,则  故a2+b2+c2= , 第八章　立体几何初步 高中同步 因为长方体的体对角线长为三棱锥的外接球的直径,所以外接球的半径为 =  .   第八章　立体几何初步 高中同步 典例2　在四面体A-BCD中,AB=CD= ,AD=BC= ,AC=BD=2 ,求四面体A-BCD外接球 的表面积. 第八章　立体几何初步 高中同步 解析    由题意可知,四面体A-BCD可补形成长方体BMDN-FCEA,如图所示,   则四面体A-BCD的外接球的直径为长方体的体对角线长,设AE=a,AF=b,AN=c, 则 故a2+b2+c2=32, 设四面体A-BCD的外接球的半径为R, 则(2R)2=32,解得R2=8,所以四面体A-BCD外接球的表面积为4πR2=4×π×8=32π. 第八章　立体几何初步 高中同步 2.正四面体的外接球 　　方法1:设正四面体P-ABC的棱长为a,则底面正三角形的外接圆半径r= a,正四面体的 高h= a.设外接球的半径为R,易知外接球的球心O在高PO1上,如图①所示.在Rt△OAO1中, 利用勾股定理可得R2=(h-R)2+r2,即R2= + ,解得R= a.        　　 第八章　立体几何初步 高中同步 方法2:将正四面体P-ABC补形为正方体,如图②所示,则外接球的直径为正方体的体对角 线长.设正四面体P-ABC的棱长为a,外接球的半径为R,则正方体的棱长x= a,故R= x= a. 第八章　立体几何初步 高中同步 3.正四面体的内切球 　　如图所示,设正四面体P-ABC的棱长为a,则高PH= a,斜高PD= a,DH= a.设内切球 的半径为R,E为斜高PD与球的切点. 易知△POE∽△PDH,故 = ,即 = ,解得R= a.   第八章　立体几何初步 高中同步 4.正四棱锥的外接球 　　在正四棱锥P-ABCD中,O1是正方形ABCD的中心,O是四棱锥P-ABCD外接球的球心,设正 四棱锥的高为h,底面正方形的外接圆的半径为r,外接球的半径为R,易得r=BO1.当h>r时,外接 球的球心O在四棱锥内部(如图①),在Rt△OBO1中,根据勾股定理可得R2=(h-R)2+r2;当h=r时,外 接球的球心O与O1重合;当h<r时,外接球的球心O在四棱锥外部(如图②),在Rt△OBO1中,根据 勾股定理可得R2=(R-h)2+r2.不难发现,R2=(h-R)2+r2和R2=(R-h)2+r2实际上是一样的,所以不需要 提前判断外接球的球心是否在棱锥内部.        第八章　立体几何初步 高中同步 典例3　已知正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该正四棱锥的高为4,底面边长为2,求该球的 表面积. 第八章　立体几何初步 高中同步 解析    如图,   设底面正方形ABCD的中心为O1,正四棱锥P-ABCD的外接球的球心为O, 则PO1为正四棱锥的高,O在直线PO1上. 设球O的半径为R,则R=AO=PO, 在Rt△AOO1中,AO2=A +O , 即R2=( )2+(4-R)2,解得R= . 所以该球的表面积为4πR2= π. 第八章　立体几何初步 高中同步 5.棱锥的内切球 　　一般利用等体积法求棱锥内切球的半径.先将原棱锥分割成几个以它的内切球球心为顶 点,所有面为底面的新棱锥(各新棱锥的高即为内切球的半径),所有新棱锥的体积之和等于原 棱锥的体积,设内切球的半径为R,则V棱锥= S表面积R,即R= . 　　注意:正四面体也可以利用这种方法求内切球的半径. 第八章　立体几何初步 高中同步 典例4　已知正三棱锥P-ABC的底面边长为6,内切球的半径为1,求此三棱锥的高. 第八章　立体几何初步 高中同步 解析    如图,设正三棱锥P-ABC的内切球的球心为O,PH为正三棱锥P-ABC的高,PD为△PAB 中AB边上的高,则O在PH上,   易得DH= ×6sin 60°= , 设PH=h,则PD= , 所以S△PAB= ×6× =3 , 由VP-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC,得 h× ×62×sin 60°= ×1× 9 + ×62×sin 60° , 即 (h-1)= ,解得h=3或h=0(舍去).故此三棱锥的高为3. 第八章　立体几何初步 高中同步 四、直棱柱的外接球 　　以底面为直角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1为例: 　　方法1:补形成长方体,三棱柱的各个顶点为长方体的顶点,则其外接球与长方体的外接球 相同. 　　方法2:如图,H为底面Rt△ABC的斜边AC的中点,即Rt△ABC的外接圆的圆心,过H作OH ∥AA1,且OH= AA1,O在矩形AA1C1C内,则O为外接球的球心.在Rt△OHA中,OH2+AH2=OA2,若 h为直棱柱的高,r为Rt△ABC外接圆的半径, 则外接球的半径R= . 　　注意:如果直三棱柱的底面不是直角三角形,可利用正弦定理求其外接圆的半径. 第八章　立体几何初步 高中同步 1.圆柱的外接球 　　设圆柱的高为h,底面圆的半径为r,外接球的半径为R,如图所示.在直角三角形中,利用勾 股定理可得R2=r2+ ,解得R= .   五、圆柱的外接球和内切球 2.圆柱的内切球 　　内切球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱的底面直径, 即当圆柱的底面直径等于高时,圆柱才有内切球. 第八章　立体几何初步 高中同步 典例　若一个圆柱的表面积为S1,内切球的表面积为S2,外接球的表面积为S3,则S1∶S2∶S3=  (　    ) A.1∶2∶2　    B.1∶1∶1 C.3∶2∶4　    D.2∶3∶3 C 第八章　立体几何初步 高中同步 解析    设圆柱的母线长为l,内切球的半径为r,外接球的半径为R,画出轴截面如图所示,   则l=2r,R= r, 所以S1=2πrl+2πr2=6πr2,S2=4πr2,S3=4πR2=8πr2, 所以S1∶S2∶S3=6πr2∶4πr2∶8πr2=3∶2∶4. 第八章　立体几何初步 高中同步 六、圆锥的外接球和内切球 1.圆锥的外接球 　　设圆锥的底面半径、高分别为r,h,外接球的半径为R,如图所示,在直角三角形中,利用勾 股定理可得R2=r2+(h-R)2,解得R= .   　　注意:同前面讲过的正四棱锥一样,圆锥外接球的球心也分在圆锥内部和在圆锥外部. 　　当h>r时,外接球球心O在圆锥内部,画出轴截面如图①,在Rt△OBC中,根据勾股定理可得 R2=(h-R)2+r2;当h=r时,外接球球心O与底面圆心重合;当h<r时,外接球球心O在圆锥外部,画出 轴截面如图②,在Rt△OBC中,根据勾股定理可得R2=(R-h)2+r2.不难发现,R2=(h-R)2+r2和R2=(R 第八章　立体几何初步 高中同步 -h)2+r2实际上是一样的,所以也不需要提前判断外接球球心是否在圆锥内部.        第八章　立体几何初步 高中同步 典例　已知圆锥的底面半径为2 ,侧面积为8 π,求该圆锥的外接球的表面积. 解析    设圆锥的母线长为a, 则圆锥的侧面积为2 π×a=8 π, 解得a=2 , 故圆锥的高为 =4, 设该圆锥的外接球的半径为R, 则R2=(2 )2+(4-R)2, 解得R=3, 故该圆锥的外接球的表面积为4πR2=36π. 第八章　立体几何初步 高中同步 2.圆锥的内切球 　　设圆锥的底面半径、高和母线长分别为r,h,l,内切球的半径为R,轴截面如图所示,D为母 线PB与球的切点.   　　方法1:易知 = ,即 = ,解得R= . 　　方法2:连接OA,OB,利用等面积法,可得S△PAB=S△POA+S△POB+S△AOB,即 ×2r×h= ×(2r+2l)×R, 解得R= . 第八章　立体几何初步 高中同步 $