精品解析：河北唐山市第二中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

2023-2024-唐山第二中学高一下学期数学4月月考 一、单选题 1. 已知，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】由题意得， 因为， 所以⇒ 故. 故选：A. 2. 设复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的共轭复数得答案． 【详解】∵， ∴， ∴的虚部为． 故选：D． 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的虚部，属于简单题目. 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，即可求出，再由余弦定理计算可得； 【详解】解：因为，由正弦定理可得，又，所以，， 因为 所以，即，解得， 故选：B 4. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ） A. B. 10 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求得复数，然后利用复数的乘法运算即可. 【详解】所对应的点关于虚轴对称，, , 故选：A. 【点睛】本题考查复数的几何意义和复数的乘法运算，属基础题.关于虚轴对称的两点对应的复数虚部相同，实部互为相反数. 5. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理结合已知条件可得出，再利用余弦定理求得的值，结合角的取值范围可求得角的值. 【详解】因为，由正弦定理可得， ，所以，， 由余弦定理可得， ，因此，. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 6. 如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，可得三个内角的大小，再求出，利用正弦定理解，可求. 【详解】从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，， 气球的高度是，所以，，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以． 故选：C 7. 在中，，，点满足，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】把用表示后，利用模的平方转化为数量积计算可求得，然后再由余弦定理得． 【详解】因为， 所以， 设，则得， 即，因为，故解得，即， 所以． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查向量在几何中的应用，解题关键是利用向量的线性运算表示出向量，然后平方抒发向量的模转化为数量积的运算，即利用数量积求线段长． 8. 如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 二、多选题 9. （多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A. A，B，C，D四点共线 B. C，B，D三点共线 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由可得，从而可对ABD进行判断，再对变形化简可对C进行判断 【详解】因为，所以， 所以， 因为有公共端点，所以C，B，D三点共线，且，所以BD正确，A错误， 由，得，所以，所以C错误， 故选：BD 10. 在中，角，，的对边分别为，，，，，，为中点，为上的点，且为的平分线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，结合角平分线的性质逐一判断即可. 【详解】解析：由正弦定理可知： 又， ，， 在中，得． A．； B．； C．由角平分线性质可知： ． ． D．在中， ． 故选：AD 11. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 复数对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数 C. 复数的模长等于 D. 的共轭复数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用欧拉公式把选项A，B，D化成复数的代数形式即可计算判断；利用欧拉公式把选项C的分子化成复数的代数形式，再进行除法运算判断即得. 【详解】对于A，，因，即，复数对应的点位于第二象限，A正确； 对于B，，为纯虚数，B正确； 对于C，， 于是得，C正确； 对于D，，其共轭复数为，D不正确. 故选：ABC 三、填空题 12. 复数的实部与虚部之和为______ 【答案】 【解析】 【详解】 设， . 13. 平面四边形中，，，，，若，则___________. 【答案】1或5 【解析】 【分析】 根据题中条件，先由正弦定理，求出，得到，再由余弦定理，即可得出结果. 【详解】因为在中，，，， 由正弦定理可得：，所以， 又，所以与互余，因此， 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以，解得或. 故答案为：1或5. 14. 在平面四边形中，已知，为上一点，，，，与的夹角为，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得结果. 【详解】因为，所以，四边形为平行四边形， ，，， 又，，，则， . 故答案为：． 四、解答题 15. 已知复数z满足：z2＝3+4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限. （1）求复数z； （2）设a∈R，且，求实数a的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设z＝c+di（c，d∈R），再由z2＝3+4i求解； （2）根据﹣2+i，求得，由求解. 【详解】（1）设z＝c+di（c，d∈R）， 则z2＝（c+di）2＝c2﹣d2+2cdi＝3+4i， ∴， 解得或（舍去）， ∴z＝﹣2﹣i； （2）∵﹣2+i ∴， ， ∴， 解得 16. 已知，，且与夹角为，求： （1）； （2）与的夹角的余弦值； （3）若向量与垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）求出的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得与的夹角的余弦值； （3）分析可知，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可. 【小问1详解】 解：因为，，且与夹角为，所以，， 所以，. 【小问2详解】 解：因为， 所以，. 【小问3详解】 解：因为向量与垂直， 则， 整理可得，解得或. 17. 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，.在AB边上取点E，使得，连接EC，ED.若，. （1）求的值； （2）求CD的长. 【答案】（1）；（2）7. 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理可得，代入已知条件即可求解； （2）由同角三角函数关系求出，进而求出，由余弦定理得，计算可得CD. 【详解】（1）在中，由正弦定理，知， 因为，，， 所以； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以为直角三角形，又， 所以， 在中，， 所以. 【点睛】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 18. 已知，，．设，且. （1）求； （2）求满足的实数，； （3）求，的坐标及向量的坐标． 【答案】（1） （2）， （3），，． 【解析】 【分析】（1）分别求出向量、、，即可求出； （2）根据题意建立关于，的方程组，即可解出，； （3）根据平面向量减法法则求出，，即可求出，的坐标，从而求出向量的坐标. 【小问1详解】 由题意得， ，， 所以； 【小问2详解】 解法一：因为，所以，解得； 解法二：∵，所以，又且与不共线， 所以； 【小问3详解】 设为坐标原点，∵＝－， ∴，∴． 又，∴， ∴．∴． 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的值； （2）若的面积，且，求； （3）若，求三角形周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理即可求解； （3）利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，再由三角形三边关系即可求解. 【小问1详解】 由，结合正弦定理得， ，化简整理得， ，，得，故. 【小问2详解】 由，得，解得， 由余弦定理，， 解得. 【小问3详解】 由余弦定理，可得， ，， ，当且仅当取等号， 又有， 所以周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024-唐山第二中学高一下学期数学4月月考 一、单选题 1. 已知，若，则等于（　　） A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 6 D. 5 4. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ） A. B. 10 C. D. 8 5. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，则角（ ） A. B. C. D. 6. 如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，点满足，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 8. 如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题 9. （多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A. A，B，C，D四点共线 B. C，B，D三点共线 C. D. 10. 在中，角，，的对边分别为，，，，，，为中点，为上的点，且为的平分线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 复数对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数 C. 复数的模长等于 D. 的共轭复数为 三、填空题 12. 复数的实部与虚部之和为______ 13. 平面四边形中，，，，，若，则___________. 14. 在平面四边形中，已知，为上一点，，，，与的夹角为，且，则______． 四、解答题 15. 已知复数z满足：z2＝3+4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限. （1）求复数z； （2）设a∈R，且，求实数a的值. 16. 已知，，且与夹角为，求： （1）； （2）与的夹角的余弦值； （3）若向量与垂直，求实数的值. 17. 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，.在AB边上取点E，使得，连接EC，ED.若，. （1）求的值； （2）求CD的长. 18. 已知，，．设，且. （1）求； （2）求满足的实数，； （3）求，的坐标及向量的坐标． 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的值； （2）若的面积，且，求； （3）若，求三角形周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $