2026年中考数学二次函数专题：交点问题

2026年中考数学二次函数专题：5、交点问题 一、解答题 1．已知抛物线． (1)若该抛物线与x轴有交点，求实数m的取值范围； (2)当时，若该抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧）． ①求A，B两点的坐标； ②若该抛物线的顶点为D，且与y轴的交点为C，试判断是否是直角三角形，并说明理由． 2．已知抛物线L：，直线将抛物线L分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线的对称图形，得到的整个图形称为抛物线L关于直线的“L双抛图形”． （1）如图所示，当时，抛物线L：上的点A，B，C，D，E分别关于直线对称的点为，，，，，如表： … … ①补全表格； ②在图中描出表中各对称点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为； ③若双抛图形与直线恰好有三个交点，则t的值为______； ④若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为______． 【探究问题】 （2）①若双抛图形与直线恰好有三个交点，则t的值为______（用含m的式子表达）； ②若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，求出x的取值范围（用含m的式子表达）． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若该抛物线经过点，求该抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，，抛物线与线段有两个交点，求b的取值范围； (3)在（1）的条件下，，是抛物线上两点，若，直接写出m的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线，直线与轴、轴分别相交于、两点． (1)如图1，若抛物线经过点． ①求抛物线的解析式； ②在直线的下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标与面积最大值；若不存在，请说明理由； (2)如图2，将直线向下平移个单位得到直线，点与点是直线上两点．若抛物线与线段有两个交点，请写出的取值范围． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点． (1)若其中一个交点为． ①求a的值； ②求抛物线与x轴的交点坐标； (2)若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围． 6．如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 7．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B． (1)求点A的坐标． (2)当时． ①求抛物线C的解析式； ②连接，M是抛物线C在第一象限部分上的动点，过点M作于点N．当的长度最大时，求点M横坐标的值． (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中有一条长度为2的线段，且轴，点Q在点的右侧．若线段沿着x轴方向向右平移，并设平移距离为． ①若抛物线C与线段有公共点，求d的取值范围； ②若抛物线C与线段没有公共点，直接写出d的取值范围． 9．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P为抛物线上任意一点．连接，设点为线段的中点，通过求出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，可以得到一条新的抛物线记为． (1)求抛物线与x轴的交点坐标． (2)求抛物线的解析式． (3)过点P作线段轴，点P在点Q的右侧，，设点P的横坐标为m． ①当线段与抛物线没有公共点时，直接写出m的取值范围． ②当线段与抛物线和一共有3个公共点时，直接写出m的取值范围． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，交于，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形． ①用含的式子表示点的坐标； ②当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出的值或取值范围． 11．已知：如图，点，，线段与轴平行，且，点在点的右侧，抛物线：． （1）当时，求该抛物线与轴的交点坐标______； （2）当时，求的最大值．（用含的代数式表示）： （3）当抛物线经过点时，的解析式为______，顶点坐标为______，点______（填“是”或“不”）在上： 若线段以每秒2个单位长的速度向下平移，设平移的时间为（秒） ①若与线段总有公共点，求的取值范围； ②若同时以每秒3个单位长的速度向下平移，在轴及其右侧的图象与直线总有两个公共点，直接写出的取值范围． 12．如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，拋物线经过点，，且与轴交于另一点．      (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)求抛物线的解析式； (3)在直线下方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值，并写出点的坐标； (4)在轴上有一个动点，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，当线段与抛物线只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 13．如图，点A在直线上，其横坐标为5，抛物线经过原点O和点A，点B是线段上一动点，点C在点B正上方，，射线交抛物线于点D，设点B的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的长； (3)若线段与抛物线没有公共点，直接写出m的取值范围． 14．如图，抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点 (1)求的长度； (2)将直线向下平移m个单位长度得到直线，当m取什么值时，直线与抛物线有唯一的公共点？ (3)定点D在射线上，动点E在线段上，若的最小值为，求点D的坐标． 15．已知抛物线． (1)若此抛物线与直线只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点． ①求此抛物线的解析式； ②以点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，若这两条抛物线有公共点，求的取值范围。 (2)若，将此抛物线向上平移个单位，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由． 16．如图，抛物线与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将L沿直线向上平移，平移后的抛物线记作，其顶点M的横坐标为t（且），设直线与抛物线分别交于点P，Q（点P在点Q的左侧）． (1)求L的顶点坐标及A，B两点之间的距离； (2)当点P在y轴上时，求的函数表达式及线段的长； (3)若经过点A且与直线l平行的直线与线段有公共点，直接写出t的最大值． 17．在平面直角坐标系中，点，，直线经过点． (1)求直线的解析式； (2)若抛物线经过，两点，求抛物线的解析式； (3)若抛物线的顶点在直线上移动，当抛物线与线段有个公共点时，直接写出的取值范围． 18．如图1，已知抛物线经过点，，三点．    (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为，直线与轴交于点，与直线交于点．现将抛物线平移，保持顶点在直线上．若平移的抛物线与射线（含端点）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围； (3)如图，若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学二次函数专题：5、交点问题》参考答案 1．(1) (2)①点A的坐标为，点B的坐标为；②不是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）先得到关于x的一元二次方程有实数根，得到，求解即可． （2）当时，， ①令，得，求出，，即可解答； ②先求出点C的坐标为，抛物线的顶点D的坐标为，再分别求出，，，根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：∵该抛物线与x轴有交点， ∴有实数根， ∴， 解得． （2）解：当时，， ①令，得， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴点B的坐标为，点A的坐标为； ②不是直角三角形．理由如下： 当时，， ∴点C的坐标为， 又， ∴点D的坐标为． ∵，， ， ∴， ∴不是直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，一元二次方程，勾股定理的逆定理，直角三角形的判定，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 2．（1）①；②见解析；③；④或；（2）①；②当时， x的取值范围为：或，当m＜0时，x的取值范围为：或 【分析】（1）①由题意得：B，C，D和，，关于直线对称，即可求解； ②根据函数的对称性即可画图； ③通过图可知，当时，和L′有3个交点，即可求解； ④观察函数图象即可求解； （2）①由（1）知，与L关于直线对称，即可求解； ②分两种情况讨论：当时，当时，若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，求得x的取值范围． 【详解】解：（1）①∵点A，B，C，D，E分别关于直线对称的点为，，，，，， ∴关于直线对称， 表格如下： … … 故答案为：； ②在坐标系内描出各点，用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为如图： ③通过图可知，当时，和有3个交点， 当时，， 即：， 故答案为：； ④从图象看，双抛图形的函数值随着x的增大而增大，此时x的取值范围为：或， 故答案为：或； （2）①由（1）知，与L关于直线对称，且当时，， ∴时与直线恰好有3个交点， 故答案为：； ②设抛物线L的顶点为点B，点B关于直线的对称点为， ∵抛物线L：， ∴顶点B的横坐标为，对称点的横坐标为m， ∴当时，若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为：或， 当时，若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为：或 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，配方法求抛物线的顶点坐标，关于中心对称的点的特征，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． 3．(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)且 (3) 【分析】（1）根据题意将点代入抛物线解析式即可求得b的值，从而得到抛物线的解析式，利用抛物线对称轴公式和顶点坐标公式即可得出； （2）令，即，解得，，又抛物线与线段有两个交点，从而可得一元一次不等式组，通过计算可以得解； （3）根据（1）先得出抛物线的解析式，再分别将点M，N代入得到，关于m的表达式，由得出关于m的不等式，通过计算可以得解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：令，则， 解得，， ∵，，抛物线与线段有两个交点， ∴， 解得且． （3）解：由（1）可知，， ∴抛物线的解析式为， ∵，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 解得． 4．(1)①；②存在，，最大值为 (2)或 【分析】（1）①根据直线解析式先求出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线中即可求解；②设，过点作轴的垂线交直线于点，然后表示出点的坐标，进而得到的长，然后根据三角形面积公式表示出，并化为顶点式，根据二次函数图象与性质求解最值即可； （2）根据平移的特征表示出直线的解析式，进而得到点，的坐标，然后分当时和当时，两种情况讨论，根据交点情况列式计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， ， 将代入得， ，解得， ； ②设， 过点作轴的垂线交直线于点， ， ， ． ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为，此时，即； （2）解：由题意可得直线为， 点与点是直线上两点， ，， ，， 抛物线与线段有两个交点， 当时，． ； 当时，， ， ， ， ； 综上所述：或． 5．(1)①；②抛物线与轴的交点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键． （1）①运用待定系数法求解即可； ②由①得，令，即，解方程即可； （2）根据正方形的性质求出点A的坐标为，再把和代入，求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：①把点代入 中， 得 解得 ②由题意得抛物线的表达式为． 令，即， 解得，． 抛物线与轴的交点坐标为 （2）解：点， ， 点的坐标为， 拋物线开口向下， 将点代入得 ，解得． 将点代入得 ，解得． 抛物线的图象与正方形的边有两个交点，的取值范围是 6．（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或． 【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值； （2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解； （3）画出图形，利用数形结合思想求解即可． 【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上， ∴，， 解得：，； （2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为， 解方程，得：． ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为(-1，3)， 观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方， ∴不等式>的解集为或； （3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1， ∵点A(2，0)，点B(-1，3)， ∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)， ∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段， 对于抛物线， ∴顶点为(1，-1)， 如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， 此时， 当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点， 此时点M1的纵坐标为-1，则，解得， 综上，点M的横坐标的取值范围是：或． ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键． 7．(1)， (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解； （3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，，代入 ， 得，解得， 故抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 故点的坐标为． （2）解：假设平移后的函数表达式为， 假设直线所在的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线所在的函数表达式为， 由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点， 即方程仅有一个实数解， 整理得， 故， 解得． （3）解：假设点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 故点的坐标为或． 8．(1)点的坐标为 (2)①；②点横坐标的值为 (3)①的取值范围是或；②的取值范围是或或 【分析】（1）对，令，得或3，故点A的坐标为； （2）①对，令，得，，由，，得，得，即得；②过点M作轴于点E，交于点D，求出，得，求出解析式为，设，则，∴，得，得时，有最大值，即得点M横坐标的值为； （3）①根据点，得，中，当时，得或，根据抛物线与线段有公共点，得线段沿着x轴方向向右平移距离的取值范围为或；②根据抛物线与线段没有公共点，得或或． 【详解】（1）解：对于， 令，则或3， 故点A的坐标分别为； （2）解：①对于， 令， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点M作轴于点E，交于点D， 则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设解析式为， 代入， 得， 解得， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴当时， 有最大值， 故点M横坐标的值为； （3）解：①∵长度为2的线段轴，点Q在点的右侧． ∴， 对， 当时，， 解得或， ∴线段沿着x轴方向向右平移时，过抛物线于点与， ∵平移距离为，抛物线与线段有公共点， ∴， 即， 或， 即； 综上，或； ②∵抛物线与线段没有公共点， ∴， 即； 或， 即； 或， 即． 综上或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形判定和性质，线段长和二次函数综合，求二次函数最值，平移等知识点． 9．(1)， (2) (3)①或；②或 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式，以及二次函数与线段综合问题，解题的关键是数形结合． （1）把代入即可求解； （2）得出均为点的坐标，用待定系数法即可求解； （3）①分别画图求出临界点，求解即可； ②分别画图求出临界点，求解即可； 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为． （2）把代入，得． ∴抛物线与y轴的交点坐标为， ∴均为点的坐标， ∴均为点的坐标， 设抛物线的解析式为， 把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． （3）设， ∵轴，点P在点Q的右侧，， ∴， ①当线段与抛物线没有公共点时， 如图：当点P横坐标小于时，线段与抛物线没有公共点， 根据抛物线解析式可得顶点， 当点在线段上，故，解得：或（舍）； ∴； 如图：当点P横坐标大于时，线段与抛物线没有公共点， 将代入抛物线的解析式中得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上，m的取值范围为或； ②当线段与抛物线和一共有3个公共点时， 当点P在之间时，线段与抛物线和一共有3个公共点， 如图：当点P在时： 将代入抛物线的解析式中得：， 解得：（舍去）或； 如图：当点P在时： 将代入抛物线的解析式中得：， 解得：； 故； 如图：当点P在时，线段与抛物线和一共有3个公共点， 根据抛物线解析式可得顶点， 点在线段上，故，解得：或（舍）； ∴， 综上，m的取值范围为或． 10．(1) (2)存在；最大值为；此时 (3)①；②或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，得出，求出直线的解析式为，过点作轴，交于点．设，则，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出最大值即可； （3）①分两种情况：当时，点在点上方，当时，点在点下方，分别画出图形，求出结果即可； ②根据正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，得出边与抛物线相交或顶点在抛物线上，得出边在点右侧，与抛物线相交，，再根据点在抛物线上，求出n的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：线段存在最大值；理由如下： ∵抛物线与轴交于点， 当时，得， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图1，过点作轴，交于点． 设，则， ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，有最大值，此时； （3）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴点D、E在抛物线的对称轴上； ①当时，点在点上方，如图3，图4， ， 由旋转得：， ，； 当时，点在点下方，如图5． 同理可得：， ， ∴不论为何值，点坐标为． ②∵正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴边与抛物线相交或顶点在抛物线上， 如图3，边在点右侧，与抛物线相交，，解得：； 如图4，点在抛物线上，∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， 解得：（正值舍去）； 如图5，当时，点在抛物线上． ， 解得：（负值舍去）； 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 11．（1），；（2）；（3）， ，不；①；②． 【分析】（1）把k=1代入抛物线解析式得y=x2-2x-3，令y=0时，得x2-2x-3=0，求解即可； （2）求出抛物线的对称轴直线x=1，根据抛物线的增减性质进行求解即可； （3）①分别得出当抛物线l经过点B时，当抛物线l经过点A时，求出y的值，进而得出t的取值范围；②根据题意得出关于t的不等式进而组成方程组求出答案．． 【详解】解：（1）当k=1时，该抛物线解析式y=x2-2x-3， y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3， ∴该抛物线与x轴的交点坐标（-1，0），（3，0）， 故答案为：（-1，0），（3，0）； （2）抛物线y=kx2-2kx-3k的对称轴直线， ∵k＜0， ∴x=1时，y有最大值，y最大值=k-2k-3k=-4k； （3）当抛物线经过点C（0，3）时，-3k=3，k=-1， ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，顶点坐标（1，4）， ∵A（-4，-1），线段AB与x轴平行，且AB=2， ∴B（-2，-1）， 将x=-2代入y=-x2+2x+3，y=-5≠-1， ∴点B不在l上， 故答案为y=-x2+2x+3，（1，4），否； ①设平移后B（-2，-1-2t），A（-4，-1-2t）， 当抛物线经过点B时，有y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5， 当抛物线经过点A时，有y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21， ∵l与线段AB总有公共点， ∴-21≤-1-2t≤-5， 解得2≤t≤10； ②平移过程中，设C（0，3-3t），则抛物线的顶点（1，4-3t）， ∵抛物线在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点， ， 解得4≤t＜5． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t的不等式是解题关键． 12．(1)；； (2)； (3)最大值为8，此时点的坐标为； (4)或． 【分析】（1）根据坐标轴上的点的坐标特点，用代入法求点的坐标． （2）用待定系数法，列方程组，求抛物线的解析式． （3）把不规则四边形切割成几个三角形，利用三角形面积之和，求四边形面积． （4）根据旋转的特点，找出旋转前后点的坐标，得到点M，N恰好在抛物线上时m的值，从而得到m的取值范围． 【详解】（1）解：直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， 当时，． 当时，， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是． 故答案为：，． （2）把点，点分别代入解析式， 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （3）作轴于点E，交直线于点F，    设，则， 则， ∴ ， 令得，， 解得， 故点， ∴， 由点， ∴， ∴， ∴， ， ∴当时，四边形面积最大，最大值为8．此时， 故四边形面积最大值为8，此时点D的坐标为． （4）如下图：    ∵点，线段绕点P逆时针旋转得到线段． ，， 当点在抛物线上时，， 解得． 当点在抛物线上时，， 解得或． ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 【点睛】本题是二次函数和一次函数的综合题，主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、面积问题，二次函数的图象与性质等知识，具有较强的综合性，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 13．(1) (2)1 (3) 【分析】此题考查了二次函数与一次函数综合题，数形结合是解题的关键． （1）求出点A的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）依次求出、、，即可得到答案； （3）依次求出、．当点C在抛物线上时，．求出．即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，，即． 由抛物线经过点O，A，得 解得 ∴抛物线的解析式为：． （2）当时，将代入直线解析式，，即． ∴． 将代入抛物线解析式，． ∴． ∴． （3）将代入直线解析式，，即． ∴． 当点C在抛物线上时，． 解得． ∴当时，线段与抛物线没有公共点． 14．(1) (2)当时，直线与抛物线有唯一的公共点 (3)或 【分析】分别令，求出B，C的坐标，进而得出结论； 先求出直线的解析式，由此可得出平移后直线的解析式，联立，根据题意，使得，由此可得出m的值； 作点O关于直线的对称点G，过点G作轴于点M，设点D的坐标为，根据两点间距离公式及勾股定理可列出方程，求出t的值即可． 本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法，二次函数与一次函数的交点问题，轴对称最值问题等相关知识，根据题意画出图形，列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，则， 令，则或， ，，， 即， ； （2）解：设直线的解析式为：， ， 解得， 直线的解析式为：； 直线：， 令， 整理得，， 由题意可知，， 解得； 当时，直线l与抛物线有唯一的公共点； （3）解：如图，作点O关于直线的对称点G，连接交于点N， ， 由上可知，， ， 为等腰直角三角形， 点N是的中点， ， ， 过点G作轴于点M， ，即点M与点B重合， ， 设点D的坐标为，连接，交于点E，此时点E满足使的值最小； ， 则在中，， ， 解得或， 或 15．(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】（1）①联立抛物线与直线的解析式，结合两者只有一个公共点的条件，利用一元二次方程有两个相等实根的判别式求出的值，再根据二次函数向右平移1个单位的平移规律写出平移后的解析式，代入已知点求出的值，进而确定原抛物线的解析式； ②先将原抛物线配方为顶点式，再利用中点坐标公式求出原抛物线上任一点关于点的对称点坐标，代入原解析式推导出对称抛物线的解析式，联立两条抛物线解析式得到一元二次方程，结合有公共点的条件，利用一元二次方程有实数根的判别式求出的取值范围； （2）先根据二次函数向上平移个单位的平移规律写出平移后的解析式，代入、的条件求出关于、的表达式，结合确定抛物线开口向上，再根据时且时的条件得出该区间内函数单调递减，进而得到对称轴满足的不等关系，将的表达式代入后化简推导，结合的条件比较出与1的大小． 【详解】（1）①解：联立抛物线与直线， 得：，整理为． ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴该一元二次方程有两个相等的实根， 判别式，解得， 解析式为：， 抛物线向右平移1个单位，平移后的解析式为：． ∵平移后的抛物线过点， ∴，即，解得． ∴原抛物线的解析式为． ②解：， ∴原抛物线的顶点为，开口向下． 设原抛物线上任意一点关于点的对称点为， 根据中点坐标公式，得，，解得，． 将，代入原抛物线解析式， 得，整理得， 即对称后的抛物线解析式为． 联立，得， 整理得． ∵该一元二次方程有实数根， ∴判别式，解得； （2）解：，理由如下： 将抛物线向上平移个单位长度，得到的解析式为． ∵当时，， ∴将，代入得，整理得． ∵， ∴是开口向上的二次函数． ∵当时，；当时，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴，即， ∴，整理得． ∵， ∴． 16．(1)抛物线L的顶点坐标是，两点之间的距离是8 (2)，或， (3)12 【分析】本题主要考查二次函数的性质、平移的性质和直线与二次函数的交点问题， （1）令，则，即可求出顶点坐标．令求得，即可求出A，B两点之间的距离． （2）由平移的性质可得出M的坐标是，设抛物线表达式为，当点P在y轴上时，其坐标为，有，解得，即可求出抛物线表达式以及线段的长． （3）根据题意求得直线l表达式为，且求直线l与线段有公共点时t的最大值，只需研究即可，此时点Q，可列出，解得即可． 【详解】（1）解：当时，， 所以抛物线L的顶点坐标是； 令，解得； 两点坐标分别是和， 两点之间的距离是8． （2）∵平移前顶点在直线l上， ∴平移后抛物线的顶点M在直线l上， ∴顶点M的坐标是； 设抛物线表达式为， ∵点P，Q纵坐标均为， ∴当点P在y轴上时，其坐标为， ∴有，解得； ①当时，抛物线的函数表达式是， 点P坐标为，点Q坐标为， 此时，； ②当时，抛物线的函数表达式是， 点P坐标为，点Q坐标为， 此时，． （3）由题意可知，与直线l平行的直线， ∵直线l点A， ∴，解得， 则直线l表达式为． 由直线与线段有公共点时t的最大值，只需研究， 此时点Q坐标为， 当直线经过点Q时t最大， 此时，有，解得（舍），； 若时，直线与线段不再有公共点， ∴直线与线段有交点时，t的最大值是12． 17．(1)直线解析式为 (2)抛物线的解析式为 (3)或 【分析】（1）将代入即可求解． （2）抛物线经过，，得出抛物线对称轴为直线，即，将代入，即可求解． （3）抛物线的顶点坐标为，且点在直线上，则，当抛物线顶点与点重合时符合题意，时，抛物线沿着直线向右移动，得出时，抛物线再次经过点，则时符合题意，当抛物线经过点时，，得出符合题意． 【详解】（1）解：∵直线经过点 ∴将代入 得， 解得， 直线解析式为． （2）解：抛物线经过，， 抛物线对称轴为直线，即， 将代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （3）解：抛物线的顶点坐标为，且点在直线上， ， ， 抛物线顶点在直线上，点在直线上， 抛物线顶点与点重合时符合题意， ， 时，抛物线沿着直线向右移动， 将代入得， 解得舍或， 即时，抛物线再次经过点， 时符合题意． 当抛物线经过点时，， 解得或， 符合题意． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 18．(1) (2)或． (3)，，， 【分析】（1）把点，，代入，即可； （2）由（1）得，抛物线的解析式为：，求出顶点坐标，求出直线的解析式，设平移后的顶点坐标为：，根据函数平移的规律，得平移后的抛物线解析式为：；分类讨论：当抛物线经过点时，列出方程，求出符合条件的；当抛物线与直线只有一个公共点时，列出方程组，求出符合条件的，即可； （3）根据平行四边形的性质，分类讨论：当是平行四边形的边时；当是平行四边形的对角线时，即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点，，三点 ∴， 解得： ∴抛物线的解析式为：． （2）由（1）得，抛物线的解析式为：， ∴， ∴抛物线的顶点为， ∴直线的解析式为， 设平移后的顶点为， ∴抛物线的解析式为， 当抛物线经过点时， ∵直线与轴交于点， ∴点， ∴， 解得：， ∴； 当抛物线与直线只有一个公共点时， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 此时抛物线与射线唯一的公共点是，符合题意； ∴平移的抛物线与射线（含端点）只有一个公共点时，顶点的横坐标的值或取值范围是或． （3）由（1）得，抛物线的解析式为：， ∵点是抛物线上的动点， ∴设， 当是平行四边形的边时， ∴，， ∵点是直线上的动点， ∴点， ∴， ∴， 解得：，，（舍）， ∴，，； 当是平行四边形的对角线时， ∴点和点关于中心对称， ∴点， ∵点是直线上的动点， ∴， ∴，（舍）， ∴； 综上所述，满足题意的点的坐标为：，，，． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $