精品解析：四川省乐山市市中区2021-2022学年九年级上学期数学期末试题

四川省乐山市市中区2021-2022学年九年级上学期 数学期末试题 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．共 6 页，考生作答时．须将答案答在答题卡上，在本试题卷，草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟，考试结来后，将本试题卷和答题卡一并交回，考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第一部分 选择题（共30分） 注意事项∶ 1． 选择题必须使用 2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题∶本大题共10 题，每题3分，共30分． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是，那么乐山到峨眉的实际距离是（ ） A. 3800米 B. 38000米 C. 380000米 D. 3800000米 4. 现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程中，无实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端处观察井水水岸处，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么的长为（ ） A. 2米 B. 3米 C. 米 D. 米 7. 若实数a、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 若实数x满足，则代数式的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 以上都不正确 9. 如图，在中，，，，过点作，垂足为点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点D、E分别在上，，交于点F，则面积的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题∶本大题共6个题，每题3分，共18分． 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是_______ 12. 若实数x、y满足，且，则代数式_______ 13. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简：______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为，且与x轴正半轴的夹角为α．若，则_________． 15. 如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________． 16. 如图，在四边形中，，，平分，E为边的中点，连接交于F．若，则线段_____ 三、（本大题共3题． 每题9分，共27分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点坐标分别为 （1）在网格中画出关于y轴对称的； （2）在网格中以点O为位似中心，将作位似变换得到，使得，画出位似变换后的，并写出的坐标； （3）在（1）和（2）条件下，点和点之间的距离为_______ 四、（本大题共3题．每题10分，共30分） 20. 如图，在和中，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 22. 为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我区开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，诵读活动，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图（如图所示）． （1）这次抽样调查的总人数为 　 　； （2）若该校有1200名学生，估计选择参加书法的有 　 　人； （3）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，“诵读”的学生人数所在扇形的圆心角的度数； （4）学校准备从推荐的5位同学（两男三女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率． 五、（本大题共2题．每题10分，共20分） 23. 我国航天事业捷报频传，天舟二号于年月日成功发射，震撼人心．如图，当天舟二号从地面到达点处时，在处测得点的仰角，且与两点的距离为千米，它沿铅垂线上升秒后到达处，此时在处测得点的仰角，求天舟二号从处到处的平均速度．（结果保留根号） 24. 已知关于的一元二次方程有，两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求及的值； （3）是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值？若不存在，请说明理由． 六、（本大题共2题．25题12分，26题13分，共25分） 25. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 26. 如图，在四边形中，，，，O是对角线的中点，连接并延长交边或边于点E． （1）当点E在上， ①求证：； ②若，求：的值； （2）若、的长恰好是方程的两根，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省乐山市市中区2021-2022学年九年级上学期 数学期末试题 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．共 6 页，考生作答时．须将答案答在答题卡上，在本试题卷，草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟，考试结来后，将本试题卷和答题卡一并交回，考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第一部分 选择题（共30分） 注意事项∶ 1． 选择题必须使用 2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题∶本大题共10 题，每题3分，共30分． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方的数大于等于0列式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数是非负数是解题的关键． 2. 若锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角度的锐角三角函数值即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握各个特殊角度的正切值． 3. 地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是，那么乐山到峨眉的实际距离是（ ） A. 3800米 B. 38000米 C. 380000米 D. 3800000米 【答案】B 【解析】 【详解】解：设乐山到峨眉的实际距离为厘米，根据比例尺的定义可得： ， 解得， 即实际距离为3800000厘米，即38000米． 4. 现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，所抽中的恰好是B和D的结果有2种， ∴所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的概率为． 故选：A． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 5. 下列一元二次方程中，无实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，对于一元二次方程，当时，方程无实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A、方程中， ． 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、方程中， ． 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、方程中， ． 该方程有两个相等的实数根，不符合题意； D、方程中， ． 该方程无实数根，符合题意． 6. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端处观察井水水岸处，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么的长为（ ） A. 2米 B. 3米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决． 【详解】解：（米）， ∴AB∥DC． （米）． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键． 7. 若实数a、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解法，求出，，再根据一次函数的图象性质，判断出经过的象限，即可求解． 【详解】解：，解得，， 实数a、b是一元二次方程的两个根，且， ，， 一次函数为， 的图象经过第一、二、四象限， 不经过第三象限． 8. 若实数x满足，则代数式的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 以上都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】根据，将等式两边同时除以，易得，再两边同时平方，整理即可求解． 【详解】解：， 当时，等式不成立，即， 将等式两边同时除以，得，即， 将等式两边同时平方，得， ， ． 9. 如图，在中，，，，过点作，垂足为点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 过点B作于点F，由平行四边形的性质得到，，解直角三角形得到，然后利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用正弦值的概念求解即可． 【详解】过点B作于点F． ∵在平行四边形中，， ∴，， ∴，即 ∴ ∴， ， ． ， ， ． 故选：C． 10. 如图，在中，，点D、E分别在上，，交于点F，则面积的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明，得到，再根据三角形面积的性质，得到，过点A作于点G，得到，根据取得最大值时，面积的最大，且的最大值为1，求解即可． 【详解】解：，， ，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 过点A作于点G， ∴． ， ∴， ∴取得最大值时，面积最大， 而的最大值为1， ∴面积的最大值是． 二、填空题∶本大题共6个题，每题3分，共18分． 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得； 解得． 12. 若实数x、y满足，且，则代数式_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用比例的性质和分式的化简进行解答即可． 【详解】解：设，其中，则 ∴ 13. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】1 【解析】 【分析】由数轴上a的位置确定a的取值范围，再进一步求出和的取值范围，然后化简求值． 【详解】解：由图象可得， ∴，， ∴ ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查数轴与二次根式及绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值与二次根式的化简方法． 14. 如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为，且与x轴正半轴的夹角为α．若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的特征，解直角三角形，勾股定理等知识，过点P作轴，垂足为M，由点的坐标得到，根据，求得，根据勾股定理求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点P作轴，垂足为M， 如图： ∵P的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长． 【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC, ∴AC∥MN∥DB， ∴， ∴ 即, 又∵， ∴， 解得, 故填：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系． 16. 如图，在四边形中，，，平分，E为边的中点，连接交于F．若，则线段_____ 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点G，证明等边三角形，，利用特殊角的三角函数求解即可． 【详解】解：延长交于点G， ，平分，， ， ∴， ， ∴等边三角形， ，， ∴， ，， ， ， ，， 连接， E为边的中点， ， ，， ∴， ∴， ∴， 解得． 三、（本大题共3题． 每题9分，共27分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】变形后利用因式分解法解方程． 【详解】解： 即， ∴或， 解得 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点坐标分别为 （1）在网格中画出关于y轴对称的； （2）在网格中以点O为位似中心，将作位似变换得到，使得，画出位似变换后的，并写出的坐标； （3）在（1）和（2）条件下，点和点之间的距离为_______ 【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，当与在原点同侧时，，当与在原点异侧时， （3） 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，描出点，再首尾顺次连接，即得； （2）当与在原点同侧时，当与在原点异侧时，分为两种情况，根据中心对称的性质画图，写点的坐标即可； （3）利用位似图形的性质得出对应点位置进而用勾股定理计算即得出答案． 【小问1详解】 解：描出关于y轴对称的点，首尾顺次连接，即得； 【小问2详解】 解：当与在原点同侧时，，首尾顺次连接，即得；如左图； 当与在原点异侧时，，首尾顺次连接，即得；如右图； 当与在原点同侧时，， 当与在原点异侧时，； 【小问3详解】 解：当与在原点同侧时，， ∴， 当与在原点异侧时；， ∴， 综上，．故点和点之间的距离为． 四、（本大题共3题．每题10分，共30分） 20. 如图，在和中，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见详解； （2）6 【解析】 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【小问1详解】 证明：， ，即， 又， ； 【小问2详解】 解：由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为6． 21. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】（1）20%；（2）能 【解析】 【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可． 【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：亩产量的平均增长率为20%． （2）第四阶段的亩产量为（公斤）， ∵， ∴他们的目标可以实现． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键． 22. 为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我区开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，诵读活动，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图（如图所示）． （1）这次抽样调查的总人数为 　 　； （2）若该校有1200名学生，估计选择参加书法的有 　 　人； （3）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，“诵读”的学生人数所在扇形的圆心角的度数； （4）学校准备从推荐的5位同学（两男三女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率． 【答案】（1）200 （2）240 （3）图见解析，36° （4） 【解析】 【小问1详解】 这次抽样调查的总人数为：80÷40%＝200（人）， 故答案为：200； 【小问2详解】 估计选择参加书法的有：1200×＝240（人）， 故答案为：240； 【小问3详解】 参加舞蹈”的学生人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）， 则，“诵读”的学生人数所在扇形的圆心角的度数：360°×＝36°， 补全统计图如下： 【小问4详解】 画树状图如图： 共有20种等可能的结果，恰为一男一女的结果有12种， ∴恰为一男一女的概率为＝． 【点睛】本题考查了样本容量计算，扇形圆心角的计算，完善条形图，画树状图计算概率，熟练掌握统计图的计算，灵活选用画树状图法计算概率是解题的关键． 五、（本大题共2题．每题10分，共20分） 23. 我国航天事业捷报频传，天舟二号于年月日成功发射，震撼人心．如图，当天舟二号从地面到达点处时，在处测得点的仰角，且与两点的距离为千米，它沿铅垂线上升秒后到达处，此时在处测得点的仰角，求天舟二号从处到处的平均速度．（结果保留根号） 【答案】天舟二号从处到处的平均速度为千米/秒 【解析】 【分析】根据在处测得点的仰角，且与两点的距离为千米，可以求出、的长，再根据此时在处测得点的仰角，为等腰直角三角形，可以间接求出的长，再利用平均速度的计算公式即可求解． 【详解】解：，，， 千米，千米， ，， 千米， 千米， 天舟二号从处到处的平均速度为千米/秒． 24. 已知关于的一元二次方程有，两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求及的值； （3）是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值？若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）存在；或 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可； （2）利用根与系数的关系求出两根之和，把x1的值代入计算求出x2，进而求出m的值即可； （3）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式计算，判断即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有，两个实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：存在，理由如下：∵，，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， 解得，． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式意义是解本题的关键． 六、（本大题共2题．25题12分，26题13分，共25分） 25. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 【答案】（1）见解析；（2）AD＝；（3）5﹣2 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论； （2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案． 【详解】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC＝＝=， ∴AD＝； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE＝EF， 又∵， ∴DG＝DF=5， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键． 26. 如图，在四边形中，，，，O是对角线的中点，连接并延长交边或边于点E． （1）当点E在上， ①求证：； ②若，求：的值； （2）若、的长恰好是方程的两根，求的长． 【答案】（1）①见解析；② （2）或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）①由等边对等角可得，由平行线的性质可得，由直角三角形的性质可得，从而得出，即可得证；②先求出，过点作于点，则四边形为矩形，结合矩形的性质可得，设，则，，求出，即可得出结果； （2）分两种情况：当点在上时；当点在上时，分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵O是对角线的中点，， ∴， ∴， ∴； ②由①可得：， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴， 设，则，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，当点在上时， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 设， 解方程可得，， ∵、的长恰好是方程的两根， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理可得：，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 如图，当点在上时，设，则， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入， 整理可得：， 解得：或（舍去）， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $