专题06 三角形章末60道压轴题型专训（10大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（沪教版2024）

专题06 三角形章末60道压轴题型专训（10大题型） 题型一 与三角形的高有关的计算问题 题型二 根据三角形中线求长度与面积 题型三 三角形内角和定理的应用 题型四 全等三角形的性质综合问题 题型五 三角形中旋转问题 题型六 三角形折叠问题 题型七 全等三角形的判定综合应用题 题型八 全等三角形动点问题 题型九 全等三角形辅助线问题 题型十 全等三角形综合问题 【经典例题一 与三角形的高有关的计算问题】 1．（24-25八年级上·湖北宜昌·月考）如图，与中，与相交于E，交于F． (1)的边上的高是 ；的边上的高是 ； (2)若，，，求的面积及的长． 【答案】(1)， (2)的面积为8， 【分析】此题考查了三角形高的意义和求三角形面积，解题的关键是掌握三角形高的意义和求三角形面积公式． （1）根据三角形某条边上高的定义可以得解； （2）根据三角形面积公式即可求出的面积；然后利用的面积还等于，然后代数求解即可． 【详解】（1）∵在中， ∴的边上的高是； ∵在中， ∴的边上的高是； （2）∵在中，，，， ∴的面积； ∵ ∴，即 ∴． 2．（24-25八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．    (1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______． (2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长． (3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质等知识点，正确理解“等面积法”并正确的识别图形是解题的关键． （1）直接运用三角形面积公式即可解答； （2）直接运用（1）的结论进行解答即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为． （2）解：由（1）可得：， 则，解得：． （3）解： ∵， ∴， ， ∴． 3．（2025·安徽铜陵·二模）、、、分别表示、、、的面积． （1）如图1，为四边形对角线上任一点，请写出、、、之间存在的一种等式，并根据此等式关系求出当，，时，的值． （2）如图2，为上任一点，、、、是否还存在（1）中的等式关系？如果存在，请给出证明如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），3；（2）存在，理由见解析 【分析】（1）过A作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N，根据三角形的面积公式即可得出结论，再把，，代入即可； （2）过A作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，根据三角形的面积公式即可得出结论， 【详解】解：过A作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N， ∴，，，， ∴， ∴； 当，，时， ∴ ∴ （2）存在，理由如下： 过A作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F， ∴，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握三角形的面积公式是解题的关键． 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则的面积是多少？ （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． 【详解】解：（1）如图，过点A作， 则， ∵， ∴．                （2）∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴．                   （3）∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·山东青岛·月考）有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积． 则， ， 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，，则______； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则______，______； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． （1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则， ∵，，， ∴； （2）解：∵和是等高三角形，， ∴， ∴； ∵和是等高三角形，， ∴， ∴； （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形，， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·山西晋城·期末）请阅读下列材料，完成相应的任务： 凸四边形的性质研究 如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质：任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等，例如，在图①中，凸四边形的对角线相交于点O，且，的面积分别为则有，证明过程如下： …任务： (1)请将材料中的证明过程补充完整； (2)如图②，任意凸四边形的对角线相交于点O，分别记的面积为，求证： (3)如图③，在四边形中，对角线相交于点O，，则四边形的面积为___________ ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)21 【分析】（1）根据三角形的高相同，面积比等于底的比求解即可； （2）分别过点作于点于点，再根据三角形的高相同，面积比等于底的比计算即可； （3）根据“任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等”求解即可． 【详解】（1）∵，， ； （2）如图，分别过点作于点于点． ， ， ， ； （3）∵，根据任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等， ∴， ∴四边形的面积=+++=． 故答案为：21 【点睛】本题考查了面积及等积变换，掌握三角形的高相同，面积比等于底的比、任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等是解题的关键． 【经典例题二 根据三角形中线求长度与面积】 7．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图． (1)甲折出的是的______． (2)乙折出的是的______． (3)丙折出的是的______． 【答案】(1)高 (2)角平分线 (3)中线 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形高线、角平分线、中线的定义． （1）根据三角形高的定义即可判定； （2）根据三角形角平分线的定义即可判定； （3）根据三角形中线的定义即可判定． 【详解】（1）解：图甲中，由折叠可知，， ， ， ， 故甲折出的是的边上的高； （2）图乙中，由折叠可知，， 故乙折出的是的角平分线； （3）图丙中，由折叠可知，， D点是边的中点， 故丙折出的是的边上的中线． 8．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒． (1)当________秒时，把的周长分成相等的两部分； (2)当为何值时，的面积恰好等于面积的一半？ 【答案】(1)6 (2)或2 【分析】本题考查三角形中的动点问题，三角形的中线，通过点P运动到不同位置所满足的条件，确定点P的位置，然后计算出运动的时间t，其中，分析周长平分以及的面积为具体的数值时点P所处的位置特点是解题的关键． （1）点P运动的路程是三角形的周长的一半，点P运动的路程速度时间，由此列出方程，求得t； （2）分点为边的中点和点为边的中点，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，，， ∴的周长， 当把的周长分成相等的两部分时， 点P运动的路程的周长， 即， 解得， ∴当秒时，把的周长分成相等的两部分； （2）∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当点为边的中点或点为边的中点时，的面积恰好等于面积的一半， 当点为边的中点时，即， 则， ∴点P的运动的路程， 即， 解得， 当点P是中点时，此时，； 综上所述，满足条件的t的值为或2． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，进而可得的周长； （2）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长为：， ， 的周长为：； （2）解：设点到边的距离为， 为的中线，为的中线， ，， ， ， ，即点到边的距离为． 10．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到______（填“”“”或“”）； (2)如图，三角形薄板的三条中线，，相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等，理由见解析 (3)，，，理由见解析 【分析】本题考查了三角形中线平分面积． （1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等． （2）利用（1）中结论可判断面积相等，面积相等，面积相等，再推导后即可证出六个小三角形面积均相等． （3）利用（2）中结论证明，可推导，用相同方法证明另外两个结论即可． 【详解】（1）解：和的底分别为，高为点到线段的距离，所以两个三角形等底同高，所以面积相等． 故答案为：． （2）解：三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等， 理由如下： 是的一条中线， 是的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， ． （3）解：，，， 理由如下： 由（2）可知，， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， 同理可得，，． 11．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查了三角形的重心的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，，再结合得出，结合得出，即可得证； （2）由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等，求出，得到，再结合重心的性质即可得出结果； （3）由重心的性质可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的重心， ∴； （3）解：∵为的重心， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践 【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点是边上的中点，连接，求证：． 证明：过点作于 点是边上的中点 【拓展】（1）如图2，在中，点是边上的中点，若_____________； （2）如图3，在中，点是边上的点且和存在怎样的数量关系？请模仿写出证明过程； 【问题解决】（3）现在有一块四边形土地（如图4），熊大和熊二都想问老熊要这块地，老熊让他们平分，可他们谁都没法平分，请你来帮帮忙．（要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行描述．可利用带刻度的直尺．） 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）见解析 【分析】本题考查根据三角形的中线求三角形面积． （1）根据题干结论求解即可； （2）如图，作高，两三角形同高，底共线，根据面积公式求证即可；   （3）如图，连接，取的中点E，连接，，则四边形就是四边形的一半． 【详解】解：（1）； 故答案为：4； （2）；理由如下：    过点A作于E ∵ ∴     ∴   （3）如图，连接，取的中点E，连接，，则四边形就是四边形的一半． ∵ ∴， ∴ 【经典例题三 三角形内角和定理的应用】 13．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数． (2)设度，度． ①请用含x的代数式表示y，则 ． ②当时，帽子比较美观，求此时y的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据长方形的性质，角的和差得到，根据折叠的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）①如图所示，设于交于点R，S，根据三角形内角和定理，对顶角相等的知识列式得到； ②根据题意得到，，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：在长方形中，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴在中，； （2）解：①如图所示，设于交于点R，S， 在长方形中，， ∵折叠， ∴， 在中，度， ∴， ∴， 在中，， ∵，即， ∴； ②， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得，， ∴． 14．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”．例如：在中，，，，则为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数； (2)如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】(1) (2)详情见解析 【分析】（1）由“准互余三角形”的定义得出运算求解即可； （2）由角平分线的定义得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵和是“准互余角”， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”． 15．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，点是延长线上一点，点是边上一点，连接交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）先求出，，再根据外角的性质解答即可； （2）求出，得，根据得，故可得结论． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 又, ∴， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 16．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【问题情境】数学课上老师带领同学们学习课本页探究与发现． 【实践探究】如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在边上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则有，请说明为什么？ 【类比探究】如图2，在中，如果，请仿照上面的方法或者用其它方法说明：； 【拓展应用】如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，为折痕，过点E作，交于点M，若，试求的度数． 【答案】[实践探究]见详解；[类比探究]见详解；[拓展应用] 【分析】[实践探究]由三角形外角的性质可得； [类比探究]证明，如图所示，折叠，使得，交于F，则，由三角形三边关系得到，据此可证明； [拓展应用]由折叠的性质可得，则，由三角形外角的性质推出；由平行线的性质和前面的结论证明，由三角形内角和定理得到，则，即可得到． 【详解】解：[实践探究]理由如下： ∵折叠， ∴， ∵， ∴； [类比探究]∵； 如图所示， 折叠，使得，交于F，则， 在中，， ∴，即； [拓展应用]由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26七年级下·上海闵行·单元测试）（1）如图，在长为、宽为的长方形土地上，有纵横交错的几条小路，宽均为，除小路以外的其他部分土地均种植花草．求种植花草部分土地的面积． （2）如图，在中，已知，将绕点逆时针旋转后得到．若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用平移思想，将纵横交错的小路平移到长方形边缘，使种植花草的部分拼成一个新的长方形，再计算新长方形的面积； （2）根据旋转的性质得到旋转角，结合求出；再由平行线的性质求出，最后根据旋转前后角相等得到． 【详解】解：（1）利用平移的知识，将除小路以外的其余部分土地通过平移组合成一个新的长方形，则新长方形的长为，宽为， ∴新长方形的面积为． 故种植花草部分土地的面积为． （2）∵将绕点逆时针旋转后得到， ． ， ． ， ， ， ∴根据旋转的性质，得． 【点睛】本题考查了平移的性质、旋转的性质及平行线的性质，掌握平移拼接求面积的技巧和旋转前后对应角相等、平行线同旁内角互补的性质是解题的关键． 18．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）综合与实践 某数学活动小组在研究角度变化时，利用一副三角板尝试完成探究 (1)将一副三角板按如图1的方式摆放，边与重合，，，，射线分别是，的角平分线，求的度数； (2)如图2，保持不动，将绕点A逆时针转动一定角度得到边在的内部，射线分别是，的角平分线． ①若，求的度数； ②在绕点A逆时针转动的过程中，的度数是否发生变化？若变化，求出的度数；若不变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②不变，理由见解析 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，理解图示，掌握角的和差计算是关键． （1）根据三角板的特点，三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）①根据题意得到，，由此即可求解； ②设，则，，，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； ②不变：理由如下： 设， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【经典例题四 全等三角形的性质综合问题】 19．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，已知，且B、D、E、C在同一条直线上． (1)若，，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． （1）根据全等三角形的性质，可得出，根据，，从而得出的长； （2）根据全等三角形的性质可得出，即可得出，计算即得出答案． 【详解】（1）解：， ，， ，， ； （2）解：∵，， ∴， ， ． 20．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，已知在中，，点D在上，且，点P 在边上，以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，点Q在边上，以每秒a 个单位长度的速度由点C向点A运动．是否存在某一时刻，使与全等，若存在，求出a的值和相应的时刻；若不存在，请说明理由． 【答案】，或， 【分析】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意求出，，分情况根据全等三角形的对应边相等列式计算即可； 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 设运动时间为t， 则， 当时，， ∴， ∴，． 当时，， ∴， ∴，． 综上，当，或，时，与全等． 21．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）如图，三点在同一条直线上，的周长为． (1)求的长． (2)求梯形的面积． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及梯形面积的计算，解题的关键是利用全等三角形的性质得出对应边相等，再结合勾股定理和梯形面积公式进行求解． （1）根据全等三角形的性质得到，因为的周长为30 ，进而得出的长； （2）先求出梯形的上底、下底和高，再利用梯形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：， ， 的周长为 ； （2）解：， ， ， 答：梯形的面积为． 22．（25-26八年级上·北京大兴·月考）如图，在中，，，，为的中点．点在线段上以2cm/s的速度由点向点运动，同时点在线段上以的速度由点向点运动．设运动的时间为． (1)填空（用含t，a的代数式表示）： ①_________；②_____． (2)当a，t为何值时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等？写出求解过程． 【答案】(1)； (2)的值为3、的值为2或的值为2、的值为1． 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用及动点运动问题． （1）根据速度与时间可得路程和的长； （2）根据，可知：分两种情况：①若，②若，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论． 【详解】（1）解：由题意得：∵，点P在线段上以的速度由B点向C点运动． ∴； ∵点Q在线段上由C点以的速度向A点运动 ∴， 故答案为：；； （2）解：，，，， ， 分两种情况： ①若， 则， ， ； ②若， 则， ， ． 综上所述，的值为3、的值为2或的值为2、的值为1． 23．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，，E在上，，B为垂足． (1)试问：和垂直吗？和相等吗？ (2)分别将图中的绕点E按顺时针方向旋转，分别画出满足下列条件的图形并说出此时与中相等的边和角． ①使与重合；②使与垂直；③使与在同一直线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，是基础题，熟记全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据垂直的定义判定； （2）根据要求分别作出图形，再根据全等三角形对应边相等解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示即为所求； 相等的边有， 相等的角有． 24．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知：在等腰中，，．把绕点逆时针旋转得到，其中点，分别是点，的对应点． (1)如图，若，平分，求的度数； (2)在旋转过程中，若直线，相交于点， 如图，当点，在直线右侧时，若，求的度数； 设，请直接用含的式子表示； (3)如图，当时，在线段上取一点，连接，使得，请求出的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰三角形的性质及应用，旋转变换，全等三角形的性质等知识， （1）由，，可得，由旋转的性质可得，由角平线的定义得，故； （2）设，有，从而，又，得，故，即得； 设，同的方法可得； （3）由全等三角形的性质得，，可得，设，即可得，由，，根据，，得，可得，故，解得． 【详解】（1）解：，， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， 平分， ， ， 的度数是； （2）解：设， ， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ； 设， ， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ； 即； （3）解：∵， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， ． 【经典例题五 三角形中旋转问题】 25．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线l重合，，，现将该三角板顺时针旋转得三角板，使点C的对应点落在直线l上． (1)指出旋转中心，并求出旋转角的度数； (2)将三角板绕点B怎样旋转，可以使与互相垂直？求出旋转角的度数，描述旋转过程． 【答案】(1)旋转中心为点，旋转角 (2)绕点逆时针旋转或或顺时针或后，与互相垂直 【分析】本题主要考查了图形的旋转相关知识，包括旋转中心、旋转角的确定，以及利用旋转的性质解决线段垂直问题．熟练掌握旋转的性质（旋转前后图形的对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，旋转角相等 ）和直角三角形的角度计算是解题的关键． （1）要确定旋转中心，需看旋转过程中位置不变的点，这里三角板绕点B旋转，所以旋转中心是B．求旋转角，可利用直角三角形的内角关系，先求出，再结合平角求出 ． （2）要使与互相垂直，需结合三角板的角度，分析旋转后角度的变化，通过角度计算得出旋转角，要考虑顺时针和逆时针不同旋转方向的情况． 【详解】（1）解：∵三角板旋转得到，点位置不变， ∴旋转中心是点． 在中，， 旋转角 （2）解：如图 ， ∴逆时针旋转： 若旋转，此时对应角度变化可使与垂直； 若旋转，也能满足垂直． 顺时针旋转： 旋转 ，可使与垂直； 旋转 ，同样满足垂直． 旋转角为或或或． 绕点逆时针旋转或或顺时针或后，与互相垂直 26．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，点在等边三角形的边上，将绕点旋转，使得旋转后点的对应点为点． (1)用尺规作图法在图中作出旋转后的图形； (2)若旋转后点的对应点为点，判断与的关系，并说明理由； (3)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)是等边三角形． 【分析】（1）利用圆的性质确定点旋转后得到的点，再连接、即可； （2）根据旋转性质得到，再根据全等三角形的性质、等边三角形的性质推得与互补即可得到； （3）根据全等三角形的性质得到、，结合等边三角形的性质即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：以为原点，为半径画圆弧交以点为圆心，为半径画的圆弧， 交点为，连接、，即为旋转后所得图形． （2）解：， 根据旋转性质可得， ， 等边中，， ， 即与互补， ． （3）证明：是等边三角形， ， ，， 又， 是等边三角形． 【点睛】本题考查的知识点是圆的性质、尺规作图、旋转的性质、全等三角形的性质、等边三角形的性质与判定、平行线的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 27．（24-25七年级下·江苏泰州·周测）一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转）    (1)当旋转时，求证：； (2)在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若中有两个内角相等，求旋转的度数； (3)当边与边、有交点时，如图3，连接，设，，，试求． 【答案】(1)见解析 (2)或或 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质得出，求出，根据平分，得出，则，即可求出，根据三角形的外角定理得出，即可求证； （2）根据题意，进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，即可求解； （3）根据三角形的外角定理得出，则，再根据三角形的内角和为，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图：， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴；    （2）解：①当时， 由（1）可得：， ∴， ∴旋转了；    ②当时， ∵， ∴， ∴旋转了；    ③当时， ∵， ∴， ∴旋转了．    综上：旋转的角度为或或； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 整理得：．    【点睛】本题主要考查了平行线的判定，旋转的性质，三角形的外角定理和三角形的内角和，解题的关键是掌握旋转前后对应边的夹角等于旋转角；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的内角和为． 28．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，．    (1)将图①中的三角板沿方向平移至图②的位置，与相交于点，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使，如图③，与相交于点，求的度数； (3)将图①中的三角尺绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，恰好与平行． 【答案】(1) (2) (3)第5或17秒时，恰好与平行 【分析】（1）根据三角形的内角和定理列式计算即可得解； （2）根据内错角相等，两直线平行判断出，再根据两直线平行，同旁内角互补解答； （3）作出图形，然后分两种情况求出旋转角，再根据时间旋转角速度计算即可得解． 【详解】（1）在中，； （2）， ， ； （3）如图1，在上方时，设与相交于， ， ， 在中， ， 旋转角为， （秒； 在的下方时，设直线与相交于， ， ， 在中， ， 旋转角为， （秒； 综上所述，第5或17秒时，边恰好与边平行    【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于（3）分情况讨论，作出图形更形象直观． 29．（24-25七年级下·河南周口·期中）阅读与理解： 图（1）是边长分别为a和的两个等边三角形纸片叠放在一起的图形（C和重合）． 操作与证明：（1）操作：固定，将绕点C按顺时针方向旋转，连接，，如图（2），线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论： （2）操作：若将图（1）中，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接，，如图（3），线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论． 猜想与发现： （3）若将图（1）中的，绕点按逆时针方向旋转，当等于多少时，的面积最大？请直接写出结果．    【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）或 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）先由等边三角形判断出，，再由旋转判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）同（1）的方法，即可得出结论； （3）先画出图形，过点作于点，再根据直角三角形的定义可得，然后根据三角形的面积公式和旋转角的定义即可得出答案． 【详解】解：（1）， 证明：点与重合，和， 和都是等边三角形， ，， 由旋转知，， 在和中， ， ， ， （2）， 证明：和都是等边三角形， ，， 由旋转知，， 在和中， ， ， ； （3）如图，过点作于点，   ，当且仅当，即点与点重合时，等号成立， ， 当时，的面积最大， 此时旋转角或． 30．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们可以用新的观点理解和探究旋转及其性质．如图1，平面内的每一个点都绕着这个平面上的某一个固定点旋转相同的角度，这种平面的运动叫平面的旋转，点叫旋转中心，角度叫旋转角．一个点与其运动后的点叫对应点；平面上两点所确定的直线与其对应点所确定的直线叫对应直线；两点所连线段与其对应点所连线段叫对应线段；以一点为端点经过另一点的射线与其对应点所确定的射线叫对应射线；两条射线所成的角与其对应射线所成的角叫对应角．平面旋转的对应点有如下性质：对应点到旋转中心的距离相等，如图1中． (1)如图2，已知平面上的线段，用圆规和没有刻度的直尺在图上作出线段关于平面旋转后的对应线段（保留作图痕迹，不要求写作法），并依据对应点的性质证明对应线段． (2)如图3，若关于平面旋转后的对应角为，依据对应点和对应线段的性质证明．． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，理解题意、熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）使用尺规作图，作，根据题意“对应点到旋转中心的距离相等”，得出，，推出，利用证明，得出即可； （2）连接、，由和是对应角，得出点和点，点和点，点和点，是三组对应点，由（1）得对应线段相等，则，，，利用证明，得出即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求， ∵点和点，点和点，是两组对应点， ∴，， ∵旋转角度相同， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接、， ∵和是对应角， ∴点和点，点和点，点和点，是三组对应点， ∵由（1）得对应线段相等， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴． 【经典例题六 三角形折叠问题】 31．（24-25八年级上·山西吕梁·月考）太原市实验中学计划为七年级的同学配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（金属材料的宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，O分别是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，折叠凳撑开后的最大宽度为，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】先证明，再由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】解： 理由：∵O是的中点 ∴． ∵， ∴． 在和中 ∴， ∴． 32．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点是边上的一点，，沿折叠得到，延长交于点． (1)求的度数； (2)连接，若，，请说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查折叠的性质，三角形的外角与三角形的内角和定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据折叠的性质得出，然后根据三角形的外角即可得出答案； （2）根据三角形的内角和，可知，进而得到，证明平分． 【详解】（1）解：∵沿折叠得到，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． （2）证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 33．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置，且与点C在直线的异侧，折痕为，已知，． (1)求的度数； (2)若保持的一边与平行，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于，平行线的性质，属于综合题，但难度不大．熟记性质准确识图是解题的关键． （1）先求出的度数，再根据四边形内角和求出的度数，由和的度数可求出答案． （2）分和两种情况讨论．当时，先求出，再根据折叠可得出；当时，根据平行线的性质求出，由（1）得出，再根据折叠可求出的度数． 【详解】（1）解：由折叠可知， 在中， 在中， 在四边形中， 因为 （2）①当时， 沿折叠 ②当时， 由（1）知，， ， 沿折叠 综上，的度数为：或． 34．（25-26八年级上·河北邢台·期中）现有一张三角形纸片，E，F分别是边上的点，沿直线折叠，点C的对应点为点 D． (1)如图1，点 D恰好在边上，则与之间的数量关系是 ； (2)如图2，点D 在的内部，且．若，求的度数； (3)如图3，点 D 在的内部．若恰好平分平分，求 的度数； (4)如图4，点 D在的外部，且在上方时，直接写出之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质（对应角相等、对应边相等）、平行线的性质（同旁内角互补）及角平分线的定义，解题的关键是利用折叠性质将点C与对应点D的角转化为相等关系，结合相关定理建立已知角与未知角的数量联系． （1）先由折叠得，推出等腰中；再根据三角形外角定理，是的外角，故，代入等角关系即可得结论．   （2）先在中用内角和求；由折叠得、结合可求．   （3）先由角平分线定义得、，在中求，进而得，再求；设、，由折叠和平角得、的表达式，结合内角和建立方程求解．   （4）设、，由折叠得；用表示、用表示，再在中得与的关系，代入的表达式推导数量关系． 【详解】（1）解：由折叠性质得，故为等腰三角形，．   是的外角，根据三角形外角定理：．   将代入，得．   故答案为：． （2）解：在中，，，由三角形内角和定理：   ．   由折叠性质得，．   ， ．   答：的度数为． （3）解：平分平分，   ，．   在中，，   ．   在中，．   由折叠性质得，，．   设，，则，（平角定义）． 在中，，   代入得，   化简：，解得，即．   答：的度数为． （4）解：由折叠性质得，，．   设，， 则，，即． 在中，． ， 35．（24-25七年级下·河北保定·期末）发现与探索综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 如图：操作一：若折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；操作二：若折叠三角形纸片，得到折痕，使点在一条直线上．完成以上操作后把纸片展平，判断是的______（从中线、角平分线、高线中选填），______． (2)深入探究 操作三：过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，如图，判断和是否相等？并说明理由． (3)结论应用 已知，则______． 【答案】(1)角平分线，； (2)相等，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据折叠的性质作答即可； （2）设与交于点G，由折叠的性质可知，即，得到，进而得到，即可证明； （3）由三角形内角和得到，再根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕， ∴，即是的角平分线； ∵折叠三角形纸片，得到折痕，使点在一条直线上， ∴， 故答案为：角平分线，； （2）相等，理由如下： 如图，设与交于点G， ∵过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴； （3）∵， ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 36．（24-25七年级下·广东深圳·期末）探究活动：折叠中的对称之美 【初步探究】 在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家：折叠中隐含着许多轴对称问题．为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片，其中，，．他在边上取一点，在边上取一点，并将纸片沿直线折叠，使得点落在新位置，如图，小明发现是等腰三角形； （1）请结合图1证明是一个等腰三角形（即） 【深入探究】 小明又沿着对称轴折叠，使得点与重合，展开后如图，与交于点，连接后，他想进行以下探究活动： 活动1（计算面积）： 若测量得，，求四边形的面积； 活动2（证明性质）： 小明发现四边形的四条边均相等，你能证明吗？ （2）请选择以上任意一个活动完成． 【答案】（1）见解析；（2）活动一：40；活动二：见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，等角对等边，以及全等三角形的性质与判定；掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠可得，根据平行线的性质可得，即可得出，根据等角对等边，即可得证； （2）活动一：根据折叠的性质可得，进而根据，即可求解． 活动二：根据折叠的性质，证明，进而得出，即可得证． 【详解】（1）第一次折叠， 又，， ， （2）活动一： 第二次折叠，对称轴是， 活动二：第二次折叠， ，，， 又， 在和中 ， 【经典例题七 全等三角形的判定综合应用题】 37．（2026·广东·一模）已知：如图，平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】证明，即可解答． 【详解】证明：∵平分， ， 在与中 ， ， ． 38．（2026·陕西·一模）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)①或③ (2)证明见解析 【分析】选①，由可得，进而满足边角边的全等判定；选②，根据边边角无法判定全等；选③，直接根据角角边可判定全等． 【详解】（1）解：选①或③； （2）解：选①， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 选③， 证明：在和中， ， ∴． 39．（25-26八年级上·广东中山·期中）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，可行的有______； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】(1)甲方案、乙方案 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定与性质可解答甲、乙； （2）甲方案利用“”，证明，测出的长即为，B的距离；乙方案利用“”，证明，测出的长即为，的距离． 【详解】（1）解：根据“”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“”证明，可得，所以方案乙可行， （2）解：甲方案：在和中， ， ： 乙方案：， ． 在和中， ， ． ． 40．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）问题：如图①，在直角三角形中，，于点，可知（不需要证明）； (1)探究：如图②，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； (2)证明：如图③，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)应用：如图④，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据同角的余角相等，得出相等的角，再利用证明三角形全等即可； （2）利用证明三角形全等即可； （3）利用（2）的结论得出全等三角形，然后利用三角形的面积与底边的关系求解． 【详解】（1）证明：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； （2）证明：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， 又∵， ∴； （3）解：同（2）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴与的面积之和为5． 41．（25-26八年级上·河北邢台·期末）[新考向] 为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目主题 依数学之托，解生活之谜 项目背景 测量分别位于河两岸的A，B两栋建筑物之间的距离 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施 1．先在点B所在的河岸上取一点C，连接，并延长到点D，使； 2．利用测角仪测得等于，并保证A，C，E三点在同一直线上； 3．用皮尺测出D，E两点的距离．    项目结论 ？ 项目推广 用项目方法解决生活中的其他问题 (1)项目结论：你得出的结论是______；并写出证明过程； (2)项目推广：如图①是一个青花瓷瓶，底部和瓶口皆为圆形，现在想知道它的底面圆内部的直径的长度，请你设计一个测量方法，在图②中画出示意图并完成下表． 任务 测量青花瓷瓶内部底面圆的直径 测量工具 实施步骤 简要步骤：    【答案】(1)；证明见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 对于（1），根据“角边角”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（2），可以结合边角边构造两个三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】（1）解：； 证明：由题意得，， ∵，． ∴， ∴； （2）解：测量工具：两根足够长的细木棍、皮尺． 简要步骤：将两根细木棍的端点分别抵在青花瓷瓶底部的M，N处，两根细木棍在瓶口处相交，交点记为点O，用手固定住点O，取出两根木棍，然后在射线、上截取、，使，，再将木棍放入瓶中，同前面一样使木棍端点分别抵在M，N处（注意交点O的位置不变），用皮尺测出C、D的距离即为青花瓷瓶内部底面圆的直径． 42．（25-26八年级上·广西贵港·期末）情境阅读： 在我国北宋时期，著名数学家贾宪在其所著的《黄帝九章算法细草》（九卷）中提出：勾（直角边）、弦（斜边）分别相等的两个直角三角形全等，即我们今天所说的“”定理．我们将斜边重合的两个直角三角形称为“共同体三角形”，用尺规按照下面的操作方法可以画出这种类型的全等直角三角形． 实践操作： 如图①，是的平分线，以所在直线为对称轴画一对全等的直角三角形，其步骤如下： 第一步：以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点B，交于点C； 第二步：分别过点B，C作的垂线与交于点A，则． 问题解决： （1）如图②，在中，，，分别是，的平分线；交于点F，则的度数等于________． （2）在（1）的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 探究发现： （3）如图③，在中，若不是直角，（1）中的其他条件不变，试问（2）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）成立，见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，三角形的外角定理，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）先由直角三角形的性质求出，再由外角以及角平分线的定义即可求解； （2）在上截取，连接，先证明，再证明，即可求证； （3）在上截取，连接，同（2）可证明，然后根据角平分线以及三角形内角和定理可求，再同（2）可证明，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵分别是，的平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图②，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：成立，理由如下： 如图③，在上截取，连接， 同（2）可证明， ∴，， ∵分别是，的平分线， ∴ ∴ ∴， 同（2）可证明， ∴， ∴． 【经典例题八 全等三角形动点问题】 43．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图1，等边中，是边上的动点，以为一边，向上作等边，连接．    (1)试判断与的位置关系，并证明你的判断； (2)如图2，将动点运动到边的延长线上，所作仍为等边三角形，请问（1）中的结论是否成立？并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析； (2)成立，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质证明，从而推出，即可证明结论； （2）仿照（1）证明，从而推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，证明如下： 等边和等边， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：成立，理由如下： 等边和等边， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 44．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图1，在等边中，点E、F分别为边上的动点，且，直线交于点O．    (1)如图1，当F是的中点时，______． (2)在E、F运动的过程中，的大小是否变化？请利用图2，证明你的结论． (3)若将题目中的条件：“点E、F分别在边上的动点”改为“点E、F分别在边的延长线上的动点”（如图3所示），其余条件不变，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)的大小不会变化，理由见解析 (3)（2）中的结论还成立，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． （1）通过证明得到，再利用三角形外角的性质即可求解； （2）同理（1）即可证明； （3）通过证明得到，再利用三角形外角的性质结合对顶角相等即可求解； 【详解】（1）解：在等边中，，， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的外角， ∴； （2）解：的大小不会变化，证明如下： 在等边中，，， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的外角， ∴； （3）解：（2）中的结论还成立，理由如下： 在等边中，，， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的外角，， ∴． 45．（24-25八年级上·浙江金华·期末）新定义∶对角互补的四边形称为对补四边形． (1)如图1，四边形为对补四边形，，求的度数． (2)在等边三角形上，，完成以下问题∶ ①如图2，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． ②如图3，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．连结，当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用同角的补角相等证明即可； （2）①设运动时间为根据，构建方程，可得结论； ②设运动时间为由全等三角形的性质证明，再由此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为对补四边形， ， ， ； （2）解：①如图中，设运动时间为 是等边三角形， ， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， 解得： ∴当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为； ②如图中，设运动时间为 是等边三角形， ，， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， )， ， ， 解得：， 当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了对补四边形的定义、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 46．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）综合与实践：初步探究： （1）如图1，直线同侧有两定点D，E，点A，B，C是直线上的三个动点．在运动过程中，当∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝60°时，求∠D和∠E的数量关系． 深入探究： （2）当点A，B，C三个动点运动到如图2所示的位置时，有∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝90°，求此时∠D和∠E的数量关系；若∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝时，∠D和∠E又有什么样的数量关系？（请直接写出这两个问题的答案） 拓展应用： （3）在图2中，如果∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝90°仍然存在，再添加条件BD＝EB，求证：AC＝AD＋CE． 【答案】（1）；（2），；（3）见解析 【分析】（1）根据平角和三角形内角和的性质可得，再根据三角形内角和的性质即可求解； （2）根据平角和三角形内角和的性质可得，再根据三角形内角和的性质即可求解； （3）通过证明，得到，，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）按照（1）中的方法，可得 ∵ ∴ 当时， ∴ 故答案为， （3）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】此题考查了三角形内角和的性质，以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 47．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的运动时间是1秒； (3)符合条件的t值为1s或s． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）只要证明即可解决问题； （2）证明，根据全等三角形的性质列式计算即可得结论； （3）分为点F在的延长线时，当时，，可求得结果；当点F在上，点Q在的延长线上时，当时，，即可求得另一个值． 【详解】（1）解：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：设点的运动时间为秒，由已知得，， ， ， 由（1）得， ，， 又， 在和中， ， ， ， ， 解得， 点的运动时间是1秒； （3）解：存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；理由如下： ①如图中，当时， ， ∵，， ∴． ∴， ∴， 解得； ②如图中，当时， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；符合条件的t值为1s或s． 48．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当时，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当在移动时，若始终保持，在的右侧作，交于．求证：； 【知识迁移】 （3）如图3，若，在运动时始终保持，在的右侧作，且，连接，试判断的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，正确判断三角形全等是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再根据三角形内角和定理可求出的度数； （2）由等边三角形的性质得，，得到，根据三角形外角的性质得出，根据证明，可得； （3）过点作交于点，可证明是等边三角形，得，再根据证明可得出，进而可得结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 又， 而， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）过点作交于点，如图， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴, ∴， ∴． 【经典例题九 全等三角形辅助线问题】 49．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）我们规定：有两组边相等，且它们所夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题：    (1)和　　（“是”或“不是”）兄弟三角形． (2)“取的中点，连接，试说明．”聪明的小井同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明：； ②求证： (3)聪明的小井同学进一步研究了与位置关系，请你证明：． 【答案】(1)是 (2)①见解析；②见解析 (3)见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义“兄弟三角形”，全等三角形的判定与性质等知识．正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由“兄弟三角形”的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出；②由可得，，推出，根据平行线的性质和可得，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）延长交于点，由全等三角形的性质可得：，根据平角的定义得到，则，最后根据三角形的内角和定理以及垂直的定义即可求解． 【详解】（1）解：， ， 又，， 和是兄弟三角形， 故答案为：是； （2）①证明：如图，延长至，使，      为的中点， ． 又， 在和中， ， ， ； ②， ，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）证明：如图，延长交于点，   ， ， ， ， ， ， ． 50．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，和都是等边三角形，点E在边上，点D在直线上，连结．    (1)如图1，当点D在的延长线上时，延长到M，使，连结，判断的形状，并说明理由； (2)由（1）可容易得到，从而可得，因而可得结论．如图2，当点D在边上时，这个结论是否仍然成立？请说明理由； (3)当点D在的延长线上，点F在下方时，等于多少度？请在图3中补全图形，做出辅助线，直接写出结论． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)，图见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握借助作辅助形构造全等三角形，利用全等三角形的判定与性质解决问题是解答的关键． （1）根据等边三角形的判定与性质即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质和平角定义即可证得结论；在上截取点M，使，连结，证得是等边三角形 ，进而可证明，根据全等三角形的性质可得，即可； （3）根据题意画出图形，仿照（1）（2）中解答方法解答即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 是等边三角形， ， ， 是等边三角形； （2）解：成立，理由如下： 证明：在上截取点M，使，连结，如图所示， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 都是等边三角形， ， ， ， ， ， ； （3）解：证明：补全图形，过D作，交延长线于M，连接，做出辅助线，如图所示， 是等边三角形，， ，， ， 是等边三角形， ， 都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 51．（24-25七年级下·山东临沂·月考）在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示． 等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）． 已知：如图，在中，．求证：． 甲的方法： 证明：作的平分线交于点D． 乙的方法： 证明：作于点E． 丙的方法： 证明：取的中点F，连接． (1)请判断哪位同学的方法是正确的； (2)请选择一位同学的方法进行证明，并补全证明过程． 【答案】(1)甲和乙的方法正确； (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据添加的辅助线作出判断即可； （2）利用全等三角形的判定性质分别证明即可． 【详解】（1）解：甲和乙的方法正确； （2）解：选择甲的方法，证明如下： 如图，作的平分线交于点，    则， 在和中， ， ， ； 选择乙的方法，证明如下： 如图，过作于点，    则， 在和中， ， ， ． 52．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是的中点，点A在上，且．求证：． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形或等腰三角形． 问题解决：请你根据上面的分析过程，添加适当辅助线，选择用构造全等三角形和构造等腰三角形两种方法中的一个方法，证明． 方法运用：如图②，点B是的中点，于点B．请判断线段与之间的大小关系，并说明理由．    【答案】问题解决：证明见解析；方法运用：，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）延长到F，使，连接，由E是的中点，得到，再证明，进而可求证； （2）延长到，使，连接，先证明，得到，再证明，得到，利用三角形的三边关系即可得到答案． 【详解】解：问题解决：延长到F，使，连接，如图：    ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 方法运用： 结论：，理由如下： 延长到，使，连接，如图：    ∵点B是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在中，， 即． 53．（24-25七年级下·山东泰安·期末）综合与实践 问题提出： 如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），过程见解析 （2），，图见解析 （3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线，等角对等边，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至M，使，连接，先证明 继而证明，可推导出，，则有，即可解答． 【详解】（1） 证明：如图2， 平分， ， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， ． （2）， 辅助线如图3 （3） 证明：如图4中，延长至M，使，连接， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， ， ． 54．（24-25七年级下·福建福州·期末）综合与实践 问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用： （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①________，连接②________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究： （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析；（2）①；②，见解析；（3） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）在线段上截取，使得，连接，同理可证明，则，证明，得到，则，即可证明； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1），理由如下： ∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）如图，在线段上截取，使得，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；    （3）如图，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【经典例题十 全等三角形综合问题】 55．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作交于点，可得是等边三角形，得，结合利用全等三角形判定定理证出，得出，最后通过等量代换即可完成证明． 【详解】解：，理由如下： 过点作交于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，   ， ， ， ，            在和中， ， ， ， ， ． 56．（2025·重庆沙坪坝·二模）如图，已知△ABC，在BC的延长线上取一点D使得AD＝AC． （1）在AC左侧，求作点E，使得AE＝AB，CE＝DB，连接AE、CE．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论．） （2）求证：∠EAB＝∠CAD． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）由题意直接根据要求作出图形即可； （2）根据题意先证明△ABD≌△AEC（SSS），可得出结论． 【详解】解：（1）如图，线段AE，CE即为所求作． （2）证明；在△ABD和△AEC中， ， ∴△ABD≌△AEC（SSS）， ∴∠BAD＝∠EAC， ∴∠EAB＝∠CAD． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 57．（24-25七年级下·山东威海·期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 58．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）AF＝AD+BD 【分析】（Ⅰ）先判断出∠ACF＝∠AEG，再用同角的余角相等判断出∠CAF＝∠EAG，即可得出结论； （Ⅱ）先用ASA判断出△ACM≌△ABD，得出AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，得出∠AGE＝∠AFC，再判断出CM∥AB，得出∠MCF＝∠AGC，进而判断出MF＝CM，即可得出结论； （Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）∵AC＝AE， ∴∠ACF＝∠AEG， ∵AF⊥AD， ∴∠DAF＝90°＝∠CAB， ∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG， ∴∠CAF＝∠EAG， 在△AGE和△AFC中， ， ∴△AGE≌△AFC（ASA）； （Ⅱ）如图1，过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠AGE＝∠AFC， ∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC， ∴∠AGC＝∠AFG， ∵∠CFM＝∠AFG， ∴∠AGC＝∠CFM， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴∠BAC+∠ACM＝180°， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠AGC， ∴∠CFM＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AM＝AF+CM， ∴AD＝AF+BD； （Ⅲ）AD＝AF﹣BD； 过点C作CM⊥AC，交AF于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠G＝∠F， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠G， ∴∠F＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AF＝AM+CM＝AD+BD， 故答案为：AF＝AD+BD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合平行线的判定与性质证明是解题的关键． 59．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【答案】(1)画图见解析 (2)小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【分析】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决． （1）依据题意即可画出示意图； （2）由题意可得，得，即可求得的长． 【详解】（1）解：示意图如图所示．     （2）解：40米，理由如下： 在和中， ， ， ， 又小淇走了140步，为步， ∴为步，一步大约50厘米即米， （米）． 答：小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 60．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）不成立，应当是，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】证明：延长到G，使，连接．    ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴． ∵． ∴ （2）（1）中的结论仍然成立． ， ， 在与中， ， ， ， ， 即 在与中 ， ， 即， ； （3）结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使连接．    ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形章末60道压轴题型专训（10大题型） 题型一 与三角形的高有关的计算问题 题型二 根据三角形中线求长度与面积 题型三 三角形内角和定理的应用 题型四 全等三角形的性质综合问题 题型五 三角形中旋转问题 题型六 三角形折叠问题 题型七 全等三角形的判定综合应用题 题型八 全等三角形动点问题 题型九 全等三角形辅助线问题 题型十 全等三角形综合问题 【经典例题一 与三角形的高有关的计算问题】 1．（24-25八年级上·湖北宜昌·月考）如图，与中，与相交于E，交于F． (1)的边上的高是 ；的边上的高是 ； (2)若，，，求的面积及的长． 2．（24-25八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．    (1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______． (2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长． (3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值． 3．（2025·安徽铜陵·二模）、、、分别表示、、、的面积． （1）如图1，为四边形对角线上任一点，请写出、、、之间存在的一种等式，并根据此等式关系求出当，，时，的值． （2）如图2，为上任一点，、、、是否还存在（1）中的等式关系？如果存在，请给出证明如果不存在，请说明理由． 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则的面积是多少？ （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______．                        5．（24-25七年级下·山东青岛·月考）有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积． 则， ， 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，，则______； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则______，______； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则______． 6．（24-25七年级下·山西晋城·期末）请阅读下列材料，完成相应的任务： 凸四边形的性质研究 如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质：任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等，例如，在图①中，凸四边形的对角线相交于点O，且，的面积分别为则有，证明过程如下： …任务： (1)请将材料中的证明过程补充完整； (2)如图②，任意凸四边形的对角线相交于点O，分别记的面积为，求证： (3)如图③，在四边形中，对角线相交于点O，，则四边形的面积为___________ ． 【经典例题二 根据三角形中线求长度与面积】 7．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图． (1)甲折出的是的______． (2)乙折出的是的______． (3)丙折出的是的______． 8．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒． (1)当________秒时，把的周长分成相等的两部分； (2)当为何值时，的面积恰好等于面积的一半？ 9．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 10．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到______（填“”“”或“”）； (2)如图，三角形薄板的三条中线，，相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 11．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 12．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践 【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点是边上的中点，连接，求证：． 证明：过点作于 点是边上的中点 【拓展】（1）如图2，在中，点是边上的中点，若_____________； （2）如图3，在中，点是边上的点且和存在怎样的数量关系？请模仿写出证明过程； 【问题解决】（3）现在有一块四边形土地（如图4），熊大和熊二都想问老熊要这块地，老熊让他们平分，可他们谁都没法平分，请你来帮帮忙．（要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行描述．可利用带刻度的直尺．） 【经典例题三 三角形内角和定理的应用】 13．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数． (2)设度，度． ①请用含x的代数式表示y，则 ． ②当时，帽子比较美观，求此时y的值． 14．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”．例如：在中，，，，则为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数； (2)如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 15．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，点是延长线上一点，点是边上一点，连接交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，判断的形状，并说明理由． 16．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【问题情境】数学课上老师带领同学们学习课本页探究与发现． 【实践探究】如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在边上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则有，请说明为什么？ 【类比探究】如图2，在中，如果，请仿照上面的方法或者用其它方法说明：； 【拓展应用】如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，为折痕，过点E作，交于点M，若，试求的度数． 17．（25-26七年级下·上海闵行·单元测试）（1）如图，在长为、宽为的长方形土地上，有纵横交错的几条小路，宽均为，除小路以外的其他部分土地均种植花草．求种植花草部分土地的面积． （2）如图，在中，已知，将绕点逆时针旋转后得到．若，求的度数． 18．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）综合与实践 某数学活动小组在研究角度变化时，利用一副三角板尝试完成探究 (1)将一副三角板按如图1的方式摆放，边与重合，，，，射线分别是，的角平分线，求的度数； (2)如图2，保持不动，将绕点A逆时针转动一定角度得到边在的内部，射线分别是，的角平分线． ①若，求的度数； ②在绕点A逆时针转动的过程中，的度数是否发生变化？若变化，求出的度数；若不变化，请说明理由． 【经典例题四 全等三角形的性质综合问题】 19．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，已知，且B、D、E、C在同一条直线上． (1)若，，求的长； (2)若，，求的度数． 20．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，已知在中，，点D在上，且，点P 在边上，以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，点Q在边上，以每秒a 个单位长度的速度由点C向点A运动．是否存在某一时刻，使与全等，若存在，求出a的值和相应的时刻；若不存在，请说明理由． 21．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）如图，三点在同一条直线上，的周长为． (1)求的长． (2)求梯形的面积． 22．（25-26八年级上·北京大兴·月考）如图，在中，，，，为的中点．点在线段上以2cm/s的速度由点向点运动，同时点在线段上以的速度由点向点运动．设运动的时间为． (1)填空（用含t，a的代数式表示）： ①_________；②_____． (2)当a，t为何值时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等？写出求解过程． 23．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，，E在上，，B为垂足． (1)试问：和垂直吗？和相等吗？ (2)分别将图中的绕点E按顺时针方向旋转，分别画出满足下列条件的图形并说出此时与中相等的边和角． ①使与重合；②使与垂直；③使与在同一直线上． 24．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知：在等腰中，，．把绕点逆时针旋转得到，其中点，分别是点，的对应点． (1)如图，若，平分，求的度数； (2)在旋转过程中，若直线，相交于点， 如图，当点，在直线右侧时，若，求的度数； 设，请直接用含的式子表示； (3)如图，当时，在线段上取一点，连接，使得，请求出的度数． 【经典例题五 三角形中旋转问题】 25．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线l重合，，，现将该三角板顺时针旋转得三角板，使点C的对应点落在直线l上． (1)指出旋转中心，并求出旋转角的度数； (2)将三角板绕点B怎样旋转，可以使与互相垂直？求出旋转角的度数，描述旋转过程． 26．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，点在等边三角形的边上，将绕点旋转，使得旋转后点的对应点为点． (1)用尺规作图法在图中作出旋转后的图形； (2)若旋转后点的对应点为点，判断与的关系，并说明理由； (3)判断的形状，并说明理由． 27．（24-25七年级下·江苏泰州·周测）一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转）    (1)当旋转时，求证：； (2)在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若中有两个内角相等，求旋转的度数； (3)当边与边、有交点时，如图3，连接，设，，，试求． 28．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，．    (1)将图①中的三角板沿方向平移至图②的位置，与相交于点，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使，如图③，与相交于点，求的度数； (3)将图①中的三角尺绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，恰好与平行． 29．（24-25七年级下·河南周口·期中）阅读与理解： 图（1）是边长分别为a和的两个等边三角形纸片叠放在一起的图形（C和重合）． 操作与证明：（1）操作：固定，将绕点C按顺时针方向旋转，连接，，如图（2），线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论： （2）操作：若将图（1）中，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接，，如图（3），线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论． 猜想与发现： （3）若将图（1）中的，绕点按逆时针方向旋转，当等于多少时，的面积最大？请直接写出结果．    30．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们可以用新的观点理解和探究旋转及其性质．如图1，平面内的每一个点都绕着这个平面上的某一个固定点旋转相同的角度，这种平面的运动叫平面的旋转，点叫旋转中心，角度叫旋转角．一个点与其运动后的点叫对应点；平面上两点所确定的直线与其对应点所确定的直线叫对应直线；两点所连线段与其对应点所连线段叫对应线段；以一点为端点经过另一点的射线与其对应点所确定的射线叫对应射线；两条射线所成的角与其对应射线所成的角叫对应角．平面旋转的对应点有如下性质：对应点到旋转中心的距离相等，如图1中． (1)如图2，已知平面上的线段，用圆规和没有刻度的直尺在图上作出线段关于平面旋转后的对应线段（保留作图痕迹，不要求写作法），并依据对应点的性质证明对应线段． (2)如图3，若关于平面旋转后的对应角为，依据对应点和对应线段的性质证明．． 【经典例题六 三角形折叠问题】 31．（24-25八年级上·山西吕梁·月考）太原市实验中学计划为七年级的同学配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（金属材料的宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，O分别是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，折叠凳撑开后的最大宽度为，猜想与的数量关系，并说明理由． 32．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点是边上的一点，，沿折叠得到，延长交于点． (1)求的度数； (2)连接，若，，请说明平分． 33．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置，且与点C在直线的异侧，折痕为，已知，． (1)求的度数； (2)若保持的一边与平行，求的度数． 34．（25-26八年级上·河北邢台·期中）现有一张三角形纸片，E，F分别是边上的点，沿直线折叠，点C的对应点为点 D． (1)如图1，点 D恰好在边上，则与之间的数量关系是 ； (2)如图2，点D 在的内部，且．若，求的度数； (3)如图3，点 D 在的内部．若恰好平分平分，求 的度数； (4)如图4，点 D在的外部，且在上方时，直接写出之间的数量关系．                                 35．（24-25七年级下·河北保定·期末）发现与探索综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 如图：操作一：若折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；操作二：若折叠三角形纸片，得到折痕，使点在一条直线上．完成以上操作后把纸片展平，判断是的______（从中线、角平分线、高线中选填），______． (2)深入探究 操作三：过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，如图，判断和是否相等？并说明理由． (3)结论应用 已知，则______． 36．（24-25七年级下·广东深圳·期末）探究活动：折叠中的对称之美 【初步探究】 在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家：折叠中隐含着许多轴对称问题．为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片，其中，，．他在边上取一点，在边上取一点，并将纸片沿直线折叠，使得点落在新位置，如图，小明发现是等腰三角形； （1）请结合图1证明是一个等腰三角形（即） 【深入探究】 小明又沿着对称轴折叠，使得点与重合，展开后如图，与交于点，连接后，他想进行以下探究活动： 活动1（计算面积）： 若测量得，，求四边形的面积； 活动2（证明性质）： 小明发现四边形的四条边均相等，你能证明吗？ （2）请选择以上任意一个活动完成． 【经典例题七 全等三角形的判定综合应用题】 37．（2026·广东·一模）已知：如图，平分，．求证：． 38．（2026·陕西·一模）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 39．（25-26八年级上·广东中山·期中）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，可行的有______； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 40．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）问题：如图①，在直角三角形中，，于点，可知（不需要证明）； (1)探究：如图②，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； (2)证明：如图③，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)应用：如图④，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________． 41．（25-26八年级上·河北邢台·期末）[新考向] 为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目主题 依数学之托，解生活之谜 项目背景 测量分别位于河两岸的A，B两栋建筑物之间的距离 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施 1．先在点B所在的河岸上取一点C，连接，并延长到点D，使； 2．利用测角仪测得等于，并保证A，C，E三点在同一直线上； 3．用皮尺测出D，E两点的距离．    项目结论 ？ 项目推广 用项目方法解决生活中的其他问题 (1)项目结论：你得出的结论是______；并写出证明过程； (2)项目推广：如图①是一个青花瓷瓶，底部和瓶口皆为圆形，现在想知道它的底面圆内部的直径的长度，请你设计一个测量方法，在图②中画出示意图并完成下表． 任务 测量青花瓷瓶内部底面圆的直径 测量工具 实施步骤 简要步骤：    42．（25-26八年级上·广西贵港·期末）情境阅读： 在我国北宋时期，著名数学家贾宪在其所著的《黄帝九章算法细草》（九卷）中提出：勾（直角边）、弦（斜边）分别相等的两个直角三角形全等，即我们今天所说的“”定理．我们将斜边重合的两个直角三角形称为“共同体三角形”，用尺规按照下面的操作方法可以画出这种类型的全等直角三角形． 实践操作： 如图①，是的平分线，以所在直线为对称轴画一对全等的直角三角形，其步骤如下： 第一步：以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点B，交于点C； 第二步：分别过点B，C作的垂线与交于点A，则． 问题解决： （1）如图②，在中，，，分别是，的平分线；交于点F，则的度数等于________． （2）在（1）的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 探究发现： （3）如图③，在中，若不是直角，（1）中的其他条件不变，试问（2）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【经典例题八 全等三角形动点问题】 43．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图1，等边中，是边上的动点，以为一边，向上作等边，连接．    (1)试判断与的位置关系，并证明你的判断； (2)如图2，将动点运动到边的延长线上，所作仍为等边三角形，请问（1）中的结论是否成立？并说明理由． 44．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图1，在等边中，点E、F分别为边上的动点，且，直线交于点O．    (1)如图1，当F是的中点时，______． (2)在E、F运动的过程中，的大小是否变化？请利用图2，证明你的结论． (3)若将题目中的条件：“点E、F分别在边上的动点”改为“点E、F分别在边的延长线上的动点”（如图3所示），其余条件不变，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 45．（24-25八年级上·浙江金华·期末）新定义∶对角互补的四边形称为对补四边形． (1)如图1，四边形为对补四边形，，求的度数． (2)在等边三角形上，，完成以下问题∶ ①如图2，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． ②如图3，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．连结，当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． 46．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）综合与实践：初步探究： （1）如图1，直线同侧有两定点D，E，点A，B，C是直线上的三个动点．在运动过程中，当∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝60°时，求∠D和∠E的数量关系． 深入探究： （2）当点A，B，C三个动点运动到如图2所示的位置时，有∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝90°，求此时∠D和∠E的数量关系；若∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝时，∠D和∠E又有什么样的数量关系？（请直接写出这两个问题的答案） 拓展应用： （3）在图2中，如果∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝90°仍然存在，再添加条件BD＝EB，求证：AC＝AD＋CE． 47．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 48．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当时，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当在移动时，若始终保持，在的右侧作，交于．求证：； 【知识迁移】 （3）如图3，若，在运动时始终保持，在的右侧作，且，连接，试判断的数量关系，并证明你的结论． 【经典例题九 全等三角形辅助线问题】 49．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）我们规定：有两组边相等，且它们所夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题：    (1)和　　（“是”或“不是”）兄弟三角形． (2)“取的中点，连接，试说明．”聪明的小井同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明：； ②求证： (3)聪明的小井同学进一步研究了与位置关系，请你证明：． 50．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，和都是等边三角形，点E在边上，点D在直线上，连结．    (1)如图1，当点D在的延长线上时，延长到M，使，连结，判断的形状，并说明理由； (2)由（1）可容易得到，从而可得，因而可得结论．如图2，当点D在边上时，这个结论是否仍然成立？请说明理由； (3)当点D在的延长线上，点F在下方时，等于多少度？请在图3中补全图形，做出辅助线，直接写出结论． 51．（24-25七年级下·山东临沂·月考）在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示． 等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）． 已知：如图，在中，．求证：． 甲的方法： 证明：作的平分线交于点D． 乙的方法： 证明：作于点E． 丙的方法： 证明：取的中点F，连接． (1)请判断哪位同学的方法是正确的； (2)请选择一位同学的方法进行证明，并补全证明过程． 52．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是的中点，点A在上，且．求证：． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形或等腰三角形． 问题解决：请你根据上面的分析过程，添加适当辅助线，选择用构造全等三角形和构造等腰三角形两种方法中的一个方法，证明． 方法运用：如图②，点B是的中点，于点B．请判断线段与之间的大小关系，并说明理由．    53．（24-25七年级下·山东泰安·期末）综合与实践 问题提出： 如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 54．（24-25七年级下·福建福州·期末）综合与实践 问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用： （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①________，连接②________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究： （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【经典例题十 全等三角形综合问题】 55．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 56．（2025·重庆沙坪坝·二模）如图，已知△ABC，在BC的延长线上取一点D使得AD＝AC． （1）在AC左侧，求作点E，使得AE＝AB，CE＝DB，连接AE、CE．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论．） （2）求证：∠EAB＝∠CAD． 57．（24-25七年级下·山东威海·期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 58．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 59．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 60．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    学科网（北京）股份有限公司 $