专题03 全等三角形的性质及其判定重难点题型专训（4个知识点+16大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（沪教版2024）

专题03 全等三角形的性质及其判定重难点题型专训 （4个知识点+16大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 图形的全等 题型二 全等三角形的概念 题型三 全等三角形的性质 题型四 用SSS证明三角形全等（SSS） 题型五 用SAS证明三角形全等（SAS） 题型六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 题型七 尺规作一个角等于已知角 题型八 过直线外一点作已知直线的平行线 题型九 添加条件使三角形全等 题型十 灵活选用判定方法证全等 题型十一 倍长中线模型 题型十二 旋转模型 题型十三 垂线模型 题型十四 尺规作图——作三角形 题型十五 全等三角形的综合问题 题型十六 证一条线段等于两条线段和差 拓展训练一 利用全等三角形的判定与性质求角度 拓展训练二 利用全等三角形的判定与性质求长度 拓展训练三 利用全等三角形的判定与性质求面积 拓展训练四 全等三角形中的动点问题 知识点一：全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北邢台·期中）下列图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形全等的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．根据图形全等的定义对题目中给出的四个选项注意进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的两个图形不是全等形，故此选项不符合题意； B、选项中的两个图形不是全等形，故此选项不符合题意； C、选项中的两个图形不是全等形，故此选项不符合题意； D、选项中的两个图形是全等形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，四边形四边形，若，，，则_________°．    【答案】 【分析】根据全等图形的性质可得，，根据四边形的内角和可得，进一步可得的度数. 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了全等图形，四边形的内角和等，熟练掌握全等图形的性质是解题的关键. 知识点二：全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念判断即可． 【详解】解：∵， ∴的对应边是， 故答案为：． 知识点三：全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，，如果，，，那么的长是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．直接运用全等三角形的性质求解即可． 【详解】， 故选：C． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，当时，则________． 【答案】9 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：9． 知识点四：全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽黄山·期末）如图，在和中，，，小亮添加了以下条件之一后仍无法判定，请问他添加的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、由，，，无法证明，故选项符合题意； B、由得到，结合，， 利用即可证明，故选项不符合题意； C、由，结合，， 利用即可证明，故选项不符合题意； D、得到，结合，， 利用即可证明，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则________． 【答案】90 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据网格的特点证明三角形全等是解题的关键．取格点E、F，连接，根据网格的特点，利用易证，得到，结合，即可解答． 【详解】解：如图，取格点E、F，连接， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． 【经典例题一 图形的全等】 【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【答案】A 【分析】此题考查了全等图形，根据图示可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，进而利用全等图形的性质解答即可，解题的关键是根据三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形， ∴，， ∴图中阴影部分小于余下白色部分的面积， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 【答案】 完全重合 ②与⑦；③与⑫；⑤与⑨ 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键． （1）根据全等图形的定义求解即可； （2）根据题意，找到图中的全等图形，即可求解； 【详解】解：（1）判断两个图形是全等图形的关键是看两个图形能否完全重合； （2）图中的全等图形的有②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 故答案为：（1）完全重合； （2）②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等图形的性质、正方形面积公式等知识，理解全等图形的性质是解题关键．设，则，易得，故有，结合全等图形的性质可得，易得，然后可求得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵， 可设，， ∴， ∴， 由全等三角形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键． （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形即可； （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可． 【详解】（1）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形， ； （2）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形， ． 【经典例题二 全等三角形的概念】 【例1】（24-25八年级上·山西临汾·期中）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【答案】 4 13 【分析】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），先确定符合条件的n的值，再确定最大整数即可. 【详解】解：如图所示，中两边长为2和3，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，伴生数不是4，所以n的最大整数是13. 故答案为：4；13. 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若格点△ACP与△ABC全等（不与△ABC重合），则所有满足条件的点P有_____个． 【答案】3 【分析】如图，把沿直线对折可得： 把沿直线对折，从而可得答案. 【详解】解：如图，把沿直线对折可得： 把沿直线对折可得： 所以符合条件的点有3个， 故答案为：3 【点睛】本题考查的轴对称的性质，全等三角形的概念，掌握“利用轴对称的性质确定全等三角形”是解本题的关键. 3．（24-25七年级下·上海长宁·单元测试）如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 【答案】(1) (2)与，与，与；与，与，与 【分析】本题主要考查全等三角形的对应边，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意写出全等三角形即可； （2）根据全等三角形的表示找出对应边与对应角． 【详解】（1）解：点与点，点与点是对应顶点， ； （2）解：， 故与，与，与为对应边；与，与，与为对应角． 【经典例题三 全等三角形的性质】 【例1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意，分类讨论：当时，，；当时，，；由全等三角形性质计算的值是否符合题意，即可求解． 【详解】解：点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后， ∴米，米， ∴（米）， 当时，，， ∴， 解得，， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 解得，， 此时，符合题意； 综上所述，与全等，的值为， 故选：A ． 【例2】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 【答案】 2或3 【分析】本题考查了动点几何、全等三角形的性质，设点的运动速度为时，有，，，当与全等时，需要分和两种情况讨论，根据全等三角形对应边相等，可得关于、的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：设点的运动速度为时，与全等， 则有，，， 当时， 可得：，， ，， ， 解得：， 点的运动速度为； 当时， 可得：，， ， 解得：， 点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：；或． 1．（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，，的延长线分别交，于点F，G，且，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到,进而求出，，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是______． 【答案】1或 【分析】本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．由题意，可知，，然后分，或两种情况分类讨论即可得出答案． 【详解】解：∵点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，运动时间为t秒， ∴，， ∵与全等， ∴，或， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，的值是1或； 故答案为：1或． 3．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，已知，点在上，与交于点，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质； （1），由可得，即可求解； （2）由可得，再由为的外角，可得，即可求解. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴. （2）解：∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 即. 【经典例题四 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例1】（25-26八年级上·山西晋城·月考）如图，已知，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，的长为半径作弧，与以点为圆心，的长为半径所作的弧交于点，连接，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（），熟练掌握“三边分别相等的两个三角形全等（）”是解题的关键． 根据作图过程得出三角形三边的等量关系，再依据全等三角形判定定理判断． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于， ∴． ∵以点为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧交于， ∴，． 在和中， ∴（）． 故选：． 【例2】（25-26七年级下·上海长宁·课后作业）雨伞截面示意图如图所示，伞骨，支撑杆．当沿滑动时，雨伞开闭，则在雨伞开闭过程中，与的数量关系为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 与相等，证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中进行证明，本题公共边，可考虑证明三角形全等，从而推出角相等． 【详解】解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：， 理由如下：∵， ∴， 在与中， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·河南周口·月考）年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 根据即可证明，可得； 【详解】解：在和中， ， ， ； 故选：A 2．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 【答案】7 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】解：如图所示，以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 以为公共边，与全等的格点三角形有1个， 以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 共个． 故答案为：7． 3．（25-26八年级上·新疆伊犁·期末）如图，已知，D．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质以及等腰三角形的判定． （1）考查三角形全等的判定，关键是识别全等的三边条件； （2）等腰三角形的判定(等角对等边)，关键是利用全等三角形的性质得到 【详解】（1）证明：在和中， ∵，，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【经典例题五 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例1】（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余，求出，再证明，根据全等三角形的对应角相等得出结论． 【详解】如图，在中，， 则， 在和中， ， ， ． 【例2】（2025·广东·模拟预测）如图，中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，若点的运动速度为，则当与全等时，的值为____． 【答案】2或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，利用，分两种情况进行讨论求出即可． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴，， ∴当时，， ∵点，点同时运动， ∴点的运动速度与点的相同， ∴； 当时，， 此时，， ∴； 综上：或； 故答案为：2或 1．（25-26八年级上·四川内江·期末）如图1，已知，D为的角平分线上一点，连接；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上三点，连接；…，依此类推，第n个图形中全等三角形的对数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，全等三角形的判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质，并找出图形规律． 根据角平分线的性质得出相等的角，证明，根据图2和图3找出全等三角形的对数，最后总结出规律即可． 【详解】解：由图1可得，D为的角平分线上一点， ∴， 又∵，， ∴； 同理图2中有3对全等三角形； 图3中有6对全等三角形； ∴第n个图形中全等三角形的对数是， 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海长宁·期中）在如图所示的的正方形网格中，的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质． 首先证明，然后证明，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】如图： ∵在和中， ， ， , ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·天津西青·期末）已知点E，M分别是的边，上的点，点F在边的延长线上，满足，点D在外部，且，，与相交于点O，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，当，时，若，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）先证明，再根据“”证明即可； （2）根据，得出，，证明，得出． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． 【经典例题六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 【例1】（25-26七年级下·福建福州·月考）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 【例2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带___________去． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 故答案为：③． 1．（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 2．（25-26八年级上·山东聊城·月考）如图，在中，，点在边上，且，点，在线段上，，，若面积为2，面积为5，则面积为_____． 【答案】21 【分析】通过证明得到和的面积，再通过线段比和三角形的面积关系即可求解； 本题主要考查了三角形的外角的定义及性质、三角形全等的判定和三角形面积的关系，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 即， ， ， ， ， ； ， ， ． 故答案为：21． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，点在直线上（点之间的线段被一块污渍遮住），点在直线的异侧，连接，且，，测得． (1)求证： (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长度为80 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，结合，即可得证； （2）由可得，从而可得，即可求解出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的长度为80． 【经典例题七 尺规作一个角等于已知角】 【例1】（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）如图，用尺规作的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图步骤，得到相等线段关系． 【详解】解：由尺规作图得： 在和中： ， ， ， 故用尺规作的依据是． 【例2】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，若，则的度数为______． 【答案】/26度 【分析】连接，结合作图过程证明，再利用全等三角形性质分析求解，即可解题． 【详解】解：连接， 由作图过程可知，， 又， ， ， ． 1．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，点在的边上，需要用尺规作．以下是作图步骤，其正确的顺序是（    ） ①作射线，则就是所求作的角． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点． ③以M为圆心，长为半径画弧，交弧于点D． ④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． A．①→②→③→④ B．②→④→①→③ C．④→②→③→① D．④→③→②→① 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图--作一个角等于已知角，掌握作图方法是解题的关键． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的尺规作图，正确步骤为：④→②→③→①， 故选：C． 2．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知，，在的内部．某数学兴趣小组进行了探究： （1）在上取一点，以点为圆心，以为半径画弧交射线于点； （2）以点为圆心，线段的长为半径画弧交前弧于点； （3）以点为端点，作射线． 若，则__ 度． 【答案】144 【分析】本题考查作图—基本作图、角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图过程可知，，则，可得，即，从而可得． 【详解】解：由作图过程可知，． ， ． ， ， ， ， ． 故答案为：144． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期末）李老师在课堂上提出一个尺规作图的问题：如图，为直角，射线在的内部，用尺规在图上作出． (1)小亮说：“如图，我在图上作，就能得到”请你说一说小亮这样做的理由． (2)小颖说：“我作出的射线在的下方，也符合题意”．请你在图中完成小颖的作图．（保留作图痕迹，不写作法） (3)李老师进一步提出问题：若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了尺规作图，作角等于已知角，直角的定义，几何图形中角度计算问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据为直角，得到，结合，等量代换即可得证； （2）作，得到，即可得解； （3）先根据，，求得，的度数，分：若射线在的上方，若射线在的下方，两种情况讨论，根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：为直角，射线在的内部， ， ， ，即． （2）解：如图所示，作，得到，且满足射线在的下方． 为直角，射线在的内部， ， ， ，即． （3）解：，， ，解得， ， 若射线在的上方，如图所示， ， ； 若射线在的下方，如图所示， ，， ； 综上，的度数为或． 【经典例题八 过直线外一点作已知直线的平行线】 【例1】（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（   ） A．以为圆心，为半径的弧 B．以为圆心，为半径的弧 C．以为圆心，为半径的弧 D．以为圆心，为半径的弧 【答案】B 【分析】本题考查作图−基本作图，平行线的判定等知识，根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断，解题的关键是熟练掌握基本知识， 【详解】在作图痕迹中，弧是以为圆心，为半径的弧． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图1，要过直线外一点作直线的平行线，用尺规作图的方法作出如图2的形式，则图2的作法中判定两直线平行的依据是___________________________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查作图—复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图像信息，掌握平行线的判定．根据同位角相等两直线平行，判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）要求过直线外一点，作直线，使得，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都不正确 D．两人的都正确 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图的基本操作、平行线的判定定理、全等三角形的判定与性质，解读两人尺规作图对应的几何逻辑是解题关键． 根据直线平行的判定法则对嘉嘉和淇淇的尺规作图过程进行分析． 【详解】解：嘉嘉的作法正确．理由：由作图可知， ∴； 淇淇的作法正确．理由：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）现有直线和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，同位角相等，两直线平行，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，观察作图过程，得出，又因为是一组同位角，即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行． 【详解】解：依题意， 观察作图过程，得出， ∵是一组同位角， 即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 3．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）如图，是内的一点．按下列要求画图，并回答问题． (1)过点画直线，交直线于点 (2)过点画直线，交直线于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，作即可； （2）连接，作即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：如图，直线即为所求， 【经典例题九 添加条件使三角形全等】 【例1】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，点，在上，，，要添加的一个条件应不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平行线的性质可得，然后根据全等三角形的判定方法逐一判断即可解答． 【详解】解：， ， A、，， ， ， 故A选项不符合题意； B、，，， ， 故B选项不符合题意； C、，， ， 满足，则和不一定全等， 故C选项符合题意； D、，，， ， 故D选项不符合题意． 【例2】 （24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ①当时， 在和中， ， ∴； ②当时，不能判断； ③当时， 在和中， ， ∴； ④当，而，所以与不是对应角，所以不能判断． 综上所述，能使的条件有①③． 【点睛】注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 1．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在与中，已知，，还添加一个条件才能使，下列不能添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， 、当添加时，由“”可得，该选项不符合题意； 、当添加时，由两边及一边的对角分别相等不能使，该选项符合题意； 、当添加时，由“”可得，该选项不符合题意； 、当添加时，由“”可得，该选项不符合题意． 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，点B，A，D，E在同一直线上，，，要使得，则只需添加一个适当的条件是________（只填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有，根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可利用证明， 添加条件，结合条件，，可利用证明， 添加条件，结合条件，，可利用证明， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2026·陕西·一模）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)①或③ (2)证明见解析 【分析】选①，由可得，进而满足边角边的全等判定；选②，根据边边角无法判定全等；选③，直接根据角角边可判定全等． 【详解】（1）解：选①或③； （2）解：选①， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 选③， 证明：在和中， ， ∴． 【经典例题十 灵活选用判定方法证全等】 【例1】（25-26八年级上·广东中山·月考）下列条件中，不能满足两个直角三角形全等的是（    ） A．两直角边对应相等 B．斜边、一条直角边对应相等 C．一锐角、一条直角边对应相等 D．两锐角对应相等 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．结合全等三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：A选项：两直角边对应相等，且直角为两边夹角，符合判定定理，能判定两个直角三角形全等． B选项：斜边、一条直角边对应相等，符合判定定理，能判定两个直角三角形全等． C选项：一锐角、一条直角边对应相等，结合直角相等，符合或判定定理，能判定两个直角三角形全等． D选项：两锐角对应相等，无对应边相等的条件，不能判定两个直角三角形全等． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·广东中山·月考）如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 【答案】 Ⅱ 角边角/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据三角形全等的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，带Ⅱ号碎片去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 故答案为：Ⅱ，角边角． 1．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，用纸板挡住了部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定方法（、、、等）是解题的关键． 根据图中露出的部分，确定直角三角形的两个角及其夹边，再依据全等三角形的判定定理逐一判断选项． 【详解】解：已知该三角形为直角三角形，且露出了一个锐角、直角以及这两个角所夹的一条边． 选项（）： ∵图中露出了直角、一个锐角，以及这两个角所夹的一条边，满足两角及其夹边对应相等的条件 ∴可以依据判定全等，故项正确，符合题意． 选项（）： ∵图中未提供两角及其中一角的对边的信息，不满足的判定条件 ∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意． 选项（）： ∵图中未提供两条边及其夹角的信息，不满足的判定条件 ∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意． 选项（）： ∵图中未提供三条边的信息，不满足的判定条件 ∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意． 故选：． 2．（25-26八年级上·北京密云·期末）如图，中，，，，，点P为边上一动点（不与端点重合），点P关于直线的对称点分别为、，连接．在点P的运动过程中，下列结论正确的是（填序号）__________． ①； ②； ③一定是直角三角形； ④长度的最小值是． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的判定，连接，由轴对称的性质可得，，则可判断②；可证明，得到三点共线，则可证明，可判断③；根据，且垂线段最短，得到当时，有最小值，即此时有最小值，由等面积法可得，据此可判断④；当时，，据此可判断①． 【详解】解：如图所示，连接， 由轴对称的性质可得，，则，故②正确； ∴，； ∵， ∴， ∴，即， ∴三点共线， ∴，， ∴， ∴， ∴一定是直角三角形，故③正确； ∵，且垂线段最短， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， 此时有， ∴， ∴， ∴的最小值为，故④正确； ∵当时，， ∴此时与不全等，故①错误； 故答案为：②③④． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在数学活动课上，同学们学习了三角形全等的判定后，继续探索特殊三角形的判定方法：若与均为等腰三角形，其中，． (1)下列条件中，可以判定的是________；（填序号） ①，； ②，； ③，； ④，． (2)从（1）中选择一个合适的条件进行证明． 【答案】(1)②③ (2)见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）判断添的条件是否满足全等三角形的判定定理即可求解； （2）见详解，根据全等三角形的判定定理即可求证． 【详解】（1）解：①，， ①中的条件不能判定； ②，，， , 又， 可依据“”判定， ②中的条件能判定； ③与均为等腰三角形，，， ，， 又， ， 可依据“”判定， ③中的条件能判定； ④，， ，， ，， ， 三个角对应相等不能判定， ④中的条件不能判定； 故答案为：②③； （2）选择②时，证明如下： ，，， ， 在和中， ， （）； 选择③时，证明如下： 与为等腰三角形，，， ，， 又， ， 在和中， ， （）． 【经典例题十一 倍长中线模型】 【例1】（25-26八年级上·江苏镇江·月考）已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长到E，使，再连接，再证明可得，然后再根据可得答案． 【详解】解：延长到点E，使得，连接，则， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 1．（25-26八年级上·天津河西·月考）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，故， 故选：C． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是___________（用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是___________（直接填空）． 【答案】 / 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，证明是关键． ①利用证明即可； ②根据三角形三边关系得到，由得到答案． 【详解】解：①是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ②∵， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东济宁·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十二 旋转模型】 【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·江苏南京·月考）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　） A．64° B．52° C．62° D．56° 【答案】D 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠CAB＝∠C'CA＝62°，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解． 【详解】解：∵CC'∥AB， ∴∠CAB＝∠C'CA＝62°， ∵将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置， ∴AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'， ∴∠AC'C＝∠ACC'＝62°， ∴∠CAC'＝180°-2×62°=56°＝∠BAB'， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和，求得的度数是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 【答案】 【分析】根据题意过点B'作B'H⊥AC于H，由全等三角形的判定得出△ACB≌△B'HA（AAS），得AC＝B'H＝4，则有S△AB'C＝AC•B′H即可求得答案． 【详解】解：过点B'作B'H⊥AC于H， ∴∠AHB'＝90°，∠BAB'=90°， ∴∠HAB'+∠HB'A＝90°，∠BAC+∠CAB'＝90°， ∴∠HB'A＝∠CAB， 在△ACB和△B'HA中， ， ∴△ACB≌△B'HA（AAS）， ∴AC＝B'H， ∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC＝＝＝4， ∴AC＝B'H＝4， ∴S△AB'C＝AC•B′H＝×4×4＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质和旋转的性质以及勾股定理，根据题意利用全等三角形的判定证明△ACB≌△B'HA是解决问题的关键． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 【经典例题十三 垂线模型】 【例1】（24-25八年级上·重庆巫山·期末）如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点，利用全等三角形判定证出，得到，，再证出，得到，再利用线段和差即可求出的长． 【详解】解：作交的延长线于点， 是边长为3的等边三角形， ，， ， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 1．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案． 【详解】如图，由题意知：AE=BD=2，CD=BE=1，∠AEB=∠BDC=90°， 在和中： ∴， ∴∠ABE=∠BCD，AB=BC， 又∵∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠ABE+∠CBD=90°， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则______． 【答案】 【分析】延长，过C作，垂足为G，证明，得到，，再证明，，，设，根据边的关系代换得到，再根据列出方程，解之可得． 【详解】解：延长，过C作，垂足为G， ∵， ∴， ∵F为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，得到相等的边． 3．（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 【经典例题十四 尺规作图——作三角形 】 【例1】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图的顺序，根据已知的三角形的两边及其夹角，按照尺规作图的步骤来确定正确的作图顺序． 【详解】解：首先确定三角形的一条边，作线段，对应图①； 作一个角等于已知角α，以B点为顶点，作，对应图③； 在射线上截取线段，在已作的角的射线上，截取，对应图②； 连接，得到，对应图④， ∴正确作图顺序为：①③②④． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·山西太原·月考）已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查的是尺规作图－按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：①作； ②在线段，上分别截取，； ③连接，即为所求作的三角形． 错误的是②， 故答案为：②． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，根据尺规作三角形的步骤，进行判断即可． 【详解】解：由题意，作的步骤如下： 作直线，在上截取； 分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； 连接，则为所作的三角形； 故正确的顺序为②①③； 故选C． 2．（25-26七年级下·上海长宁·课前预习）如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作______； （2）如图③，在射线上截取______，在射线上截取______； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 【答案】 a c 【分析】本题考查的是尺规作图--按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：（1）如图②，作； （2）如图③，在射线上截取，在射线上截取； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 故答案为：；a；c． 3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a，b及． 求作：，使得，，． 作法：如图， ①以O为圆心，a长为半径作弧，交于点P； ②以O为圆心，b长为半径作弧，交于点Q； ③作射线； ④以A为圆心，长为半径作弧，交于点B； ⑤分别以A，B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于直线上方的点C； ⑥连接、． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：，， ① ， ② ，（ ③ ） （ ④ ）（填推理的依据） ，，，． 就是所求作的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)；全等三角形对应角相等 【分析】本题主要考查了作三角形，全等三角形的性质与判定等等， （1）根据题意作图即可； （2）利用证明得到，再由可知所作三角形即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ， ∴．（全等三角形对应角相等） ， ， ∴就是所求作的三角形． 故答案为：；全等三角形对应角相等． 【经典例题十五 全等三角形的综合问题】 【例1】 （25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图1，已知，D为的平分线上一点，连接；如图2，已知，D，E为的平分线上两点，连接；如图3，已知，D，E，F为的平分线上三点，连接；…，依此规律，第n个图形中全等三角形有（   ）对 A．n B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，图形规律，根据全等三角形的判定得到全等三角形的数量，找出规律即可求解． 【详解】解：图1中，， ∴，共有1对，即； ∴，，则， 图2中，同理，， ∵， ∴， ∵， ∴，共3对，即， 同理，图3中，，，，共有对，即 ， ∴第n个图形中全等三角形有对， 故选：C ． 【例2】（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 【答案】1或4 【分析】设运动的时间为，由条件分两种情况，当时，则有，由条件可得到关于的方程，当△△，则有，同样可得出的方程，可求出的值． 【详解】解：设运动的时间为，分两种情况： ①当，时，， ，， ， ， ， ， 点从点出发在线段上以的速度向点运动， ； ②当，时，， 由题意得：， 解得：， 综上，经过或，与全等． 1．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，在中，为的中线，过点作于点，过点作于点．延长至点，使得，连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，证明，即可判定A；证明，得到，进而可得，即可判定B；由全等三角形的性质得，，即得，即可判定C；由可得，进而得到，即得，即可判定D，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A、∵为的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故正确，不符合题意； B、在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵与不一定相等， ∴故B不正确，符合题意； C、∵，， ∴，， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴， 即，故D正确，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动_________s时，． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由题意易得，则有，然后可分当点E在直线的上方时，当点E在直线的下方时，进而分类进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意可分：当点E在直线的上方时， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为； 当点E在直线的下方时， 同理可得：， ∴， ∴点E的运动时间为； 综上所述：当点E运动或时，有； 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）某种产品的商标如图所示，是线段、的交点，并且，．小明认为该商标图中的两个三角形是全等的，他的证明如下： 在和中,   , ∴． 你认为小明的证明正确吗？如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？如果不正确，请你给出正确的证明． 【答案】小明的证明不正确，正确的证明见解析． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，利用已知条件，发掘隐含条件，通过添加辅助线创造条件来判定三角形全等，切记一定要规避 “” 陷阱．因为, 不属于某个三角形的一条边，所以不能直接运用这个条件．连接，先利用证明，得到，再通过证出． 【详解】解：小明的证明不正确． 正确方法如下：如图，连接， 在和中， , ∴, ∴, 在和中， , ∴． 【经典例题十六 证一条线段等于两条线段和差】 【例1】（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 _____个．    【答案】1 【分析】根据全等三角形的性质可以得出AC=BE，CD=BC， ，根据以上结论可以推导出 ，，即可求解． 【详解】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AC＝BE， ∵在Rt△BEC中，BE＜BC， ∴AC＜BC， ∴①错误； ∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD， ∴∠D≠∠BED， ∴AD和BE不平行， ∴②错误； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE， ∵∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE＝90°， ∴③正确； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AD＝CE，CD＝BC， CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC， ∵BE＜BC， ∴AD+DE＞BE， ∴④错误； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边大于直角边等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 1．（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在等边三角形右侧作射线，，点A关于射线的对称点为点D，交于点E，连接，，． (1)求的大小（用含的代数式表示）； (2)在的变化过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出的范围；如果不发生变化，请直接写出的大小； (3)用等式表示线段，，三者之间的数量关系，并证明您的结论． 【答案】(1) (2)不发生变化， (3)，证明见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据轴对称的性质得到，，再根据等边对等角以及三角形内角和定理得到，最后利用角的和差即可求解； （2）利用三角形内角和定理得到，利用平角的定义得到的度数，再通过证明得到，即可得出结论； （3）在上取点使得，连接，由（2）得，，则是等边三角形，，再通过证明得到，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵等边三角形， ∴，， ∵点A关于射线的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：不发生变化，如图，设与交于点， 由（1）得，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的大小不发生变化，且； （3）解：，证明如下： 如图，在上取点使得，连接， 由（2）得，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理、等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)或5或6.5 【分析】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可； ②由对称及可知，，，结合即可证明结论； （2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②，理由如下： 证明：点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 由（1）可得，， ∵对称， ∴， ∴， ∴当时，， 当点沿路径运动时，， 解得，，不合题意， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 综上所述，当或5或6.5时，． 【拓展训练一 利用全等三角形的判定与性质求角度】 【例1】（24-25七年级下·上海长宁·随堂练习）如图，为修公路，需测量出被大石头阻挡的的大小．为此，小张师傅便在直线上取点D使，在的延长线上取点E，使，连接，要想测出的度数，则需要测出哪个角的度数？（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，即可得到． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴要想测出的度数，则需要测出的度数， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在等腰直角中，，为内一点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，若的度数为，则的度数为________ ． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，解决问题的关键是利用旋转性质得到全等判定的条件，利用全等转化角解决问题． 根据题意可得出，再证明，利用全等转化角即可求解． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ∴， ， ， 由旋转的性质得，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）图所示，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法和性质．证明，推出，再利用三角形的外角的性质求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，已知网格图由个相同的正方形组成，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，两个角的和，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 利用三角形全等，等量代换后计算即可． 【详解】解：由题意得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·广东清远·月考）在学习《等腰三角形》后，老师带领数学兴趣小组的同学对等腰三角形的拓展进行研究． 【特例分析】（1）如图1，等边三角形中，点M为射线上一个动点，连接，将绕点M逆时针旋转，旋转角为的度数，得到线段，连接，，则是________三角形，的值为________，的度数为________； 【变形探究】（2）如图2，等腰直角三角形中，，点M为射线上一个动点，连接，将绕点M逆时针旋转，旋转角为的度数，得到线段，连接，，则的值与的度数是否变化？请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，等腰三角形中，，，点M为射线上一个动点，连接，将绕点M逆时针旋转，旋转角为的度数，得到线段，连接，．若，，请直接写出点N到的距离． 【答案】（1）等边三角形，1，；（2）不变，，，理由见解析；（3）或 【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得，即得，，进而即可求解； （2）由等腰直角三角形的性质得，，进而证明，得，，即得，即可判断求解； （3）分是钝角和锐角两种情况，分别画出图形解答即可求解； 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角的度数， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴，， 故答案为：等边三角形，，； （2）会变化，理由如下： ∵，， ∴，， 同理（1）可得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的值与的度数都是定值； （3）点到的距离为或，理由如下： 如图1，当是钝角时， 作于，作于，作，交的延长线于， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 同理（2）可得，， ∴，， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2，当是锐角时， 由上知，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点到的距离为或． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，运用分类讨论思想并正确画出图形是解题的关键． 【拓展训练二 利用全等三角形的判定与性质求长度】 【例1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，，，垂足分别为，，，．若，，则的长度是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定．根据垂直的定义得到根据平行线的性质得到，证明得出，进而根据，即可求解． 【详解】证明：， ， 又， ， 在和中 ． ∴， ∴， ∴     故选：B． 【例2】（25-26七年级下·上海长宁·周测）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（），左边滑梯的高度等于右边滑梯水平方向的长度，且，则与长度____________（填“相等”或“不相等”）． 【答案】相等 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 通过证明，由全等三角形的性质即可得结论． 【详解】解：由题意，得，， ． 在和中， ， ． 故答案为：相等． 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，．点D、E、C在同一条直线上，，，其中，，则的长度为（    ） A．14 B．20 C．28 D．34 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据证明，再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∴， 在与中， ． ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，测量的长度为，则测量工件内槽宽的长度为______． ． 【答案】16 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质的运用是解题的关键． 根据题意可证，得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵把两根钢条的中点连在一起， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：16 ． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（），都为米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为米的米尺 测量步骤 测量出线段FD的长度 测量出线段AB的长度 测量数据 米，米 请你根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由． 【答案】；见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据测量的数据可知，，根据可证，根据全等三角形对应边相等可得：，所以两个滑梯的长度相等． 【详解】解：， 理由如下： 由题意可知，， 米，， 在和中，，（）， ， 和的长相等． 【拓展训练三 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）△DEF和△GHK均为等边三角形，将它们按如图1、图2的方式放置在等边三角形ABC内，若求图1、图2中的阴影部分面积的和，则只需知道（　　） A．△BDE的面积 B．四边形BEFD的面积 C．△ABC面积 D．△DGH的面积 【答案】A 【分析】证明△ADF≌△BED，得到S△ADF=S△BED，同理得到S△ADF=S△BDE=S△CEF，再根据两图中△GHK的面积相等，得到S四边形ACEF=S△ADF+S△BDE+S△CEF，从而只需知道△BDE的面积即可． 【详解】解：∵△ABC，△DEF是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠EDF=60°，DE=DF， ∴∠ADF+∠BDE=120°，∠BDE+∠BED=120°， ∴∠ADF=∠BED， 在△ADF和△BED中， ， ∴△ADF≌△BED（AAS）， ∴S△ADF=S△BED， 同理可得：S△ADF=S△BDE=S△CEF， ∵图1和图2中，△GHK的面积相等， ∴阴影部分面积之和为四边形ACEF的面积， ∴S四边形ACEF=S△ADF+S△BDE+S△CEF， ∴只需要知道△BDE的面积即可， 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）数学思想是数学研究的灵魂和核心，是数学理论发展的源泉，它能帮助我们更好地思考问题，解决问题．依据2022版新课标实施的七年级新教材中，我们已经学习了特殊化和转化的数学思想方法，探究了以下结论：两个边长相等的正方形如图①所示放置，正方形的顶点E与正方形的中心重合，两个正方形重合部分的面积不变，且等于正方形面积的，利用结论解决问题：若图②中，，，则四边形的面积等于_______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，过点作，交的延长线于点，证明，得到，进而得到为等腰直角三角形，得到四边形的面积等于的面积即可，添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 【详解】过点作，交的延长线于点，则 ∵，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， 即：； 故答案为：． 1．（24-25八年级上·河南南阳·月考）如图，在中，已知，，D是的中点，点E、F分别在边上运动（点E不与点A、C重合），且保持，连接在此运动变化的过程中，正确的结论的个数是（    ） ①是等腰直角三角形；②四边形的面积是定值；③；④面积的最小值为2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，连接，先由等腰直角三角形的性质得到，， ，进而证明，得到，，再证明，即可证明是等腰直角三角形，故①正确；由全等三角形的性质得到，则，即四边形的面积为定值，故②正确；证明，由，可得，故③正确；由，得到当时，有最小值， 即此时有最小值，利用等面积法求出 则，即面积的最小值为2，故④正确． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，，D是的中点， ∴，， ， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为定值，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，有最小值， 即此时有最小值， ∵，， ∴， ∴ ∴此时，即面积的最小值为2，故④正确； 故选D． 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，已知，平分，平分，过点的直线交射线的反向延长线于点，交射线于点，，，的面积比的面积多，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，进而再根据全等三角形的判定及性质得到，，根据全等三角形的性质得到，设，，根据，即可得到结论． 【详解】解：延长交于， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵的面积比的面积多， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 3．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）（1）问题背景： 如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积． 小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补， 证明三点共线， 从而得到正方形； 进而求得四边形的面积． 请直接写出四边形的面积为_______． （2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形中，， ，，，，求五边形的面积． 【答案】（1）16；（2）；（3）48． 【分析】（1）四边形的面积等于正方形的面积计算即可； （2）延长至，取，连接，只要证明，即可推出，然后计算的面积即可； （3）延长至，使，连接、、，接着证明，再证明，从而得到算得答案． 【详解】解：（1）由题意可知，四边形的面积等于正方形的面积，那么 ， 故答案为：16； （2）如图，延长至，取，连接． ∵等边中，，又， ， ∴四边形中，， ， 又，， ， ，． ， ， 为等边三角形且， 过点作交于点，如图所示： ，， ， ， ， ∴； （3）如图，延长至，使，连接、、． ，，， ， ． ，， ， ，， ， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【拓展训练四 全等三角形中的动点问题】 【例1】（24-25八年级上·上海·期末）如图在等腰三角形中，，动点D在线段上，动点E在线段的延长线上，线段交于点F，当时，下列等式总是成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作交于点H，则，，由，得，则，所以，而，，即可根据“”证明，得，，由，得，可判断A选项；可推导出可判断B选项；假设成立，则，因为D、E都是动点，所以不总是成立的，可知不总是成立的，可判断C选项；因为，，所以，可判断D选项． 【详解】解：作交于点H，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，故A结论不成立． ∵，， ∴，故B结论成立． 假设成立， ∵， ∴， ∵D、E分别是线段、线段延长线上的动点， ∴不总是成立的， ∴不总是成立的，即C结论不成立； ∵，， ∴，故D结论不成立． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为________时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】5或 【分析】本题考查了全等三角形的性质和二元一次方程组的求解，正确理解题意、分情况讨论是解题的关键； 设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s，则，，，表示出，，再分与两种情况，根据全等三角形的性质构建方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s， 由题意得，，，， 所以，， ∵， ∴， 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 综上，动点M的运动速度是2或； 故答案为：5或． 1．（25-26七年级下·上海长宁·期中）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，此题要分三种情况：①当E在线段上，时；②当E在上，时；③当E在上，时，分别进行计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E运动4或12或16秒时，与全等． 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江金华·月考）我们规定对角互补的四边形称为对补四边形． （1）如图1，四边形为对补四边形，，则的度数为________． （2）如图2，在等边三角形中，，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．连结，交于点，当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为________． 【答案】 4.8 【分析】本题属于四边形综合题，考查了对补四边形的定义、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，本题综合性强，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）利用同角的补角相等证明即可； （2）设运动时间为．由全等三角形的性质证明，再由此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为对补四边形，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，设运动时间为秒，则，， ， 当时，， ， 是等边三角形， ，， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为． 故答案为：4.8 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）新定义∶对角互补的四边形称为对补四边形． (1)如图1，四边形为对补四边形，，求的度数． (2)在等边三角形上，，完成以下问题∶ ①如图2，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． ②如图3，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．连结，当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用同角的补角相等证明即可； （2）①设运动时间为根据，构建方程，可得结论； ②设运动时间为由全等三角形的性质证明，再由此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为对补四边形， ， ， ； （2）解：①如图中，设运动时间为 是等边三角形， ， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， 解得： ∴当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为； ②如图中，设运动时间为 是等边三角形， ，， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， )， ， ， 解得：， 当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了对补四边形的定义、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． A基础训练 1．（25-26八年级上·江苏·月考）下列条件中，能判断两个三角形全等的是（   ） A．两个面积相等的等腰三角形 B．两边及第三边上的中线对应相等 C．两边相等的直角三角形 D．两边及第三边上的高线对应相等 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，需逐一分析各选项是否满足全等条件．选项A、C、D均存在反例，不能保证全等；选项B可通过构造全等三角形证明． 【详解】解：A、面积相等的两个等腰三角形不一定全等，例如底和高不同，但是底和高的乘积相同的等腰三角形面积相等，但二者不全等，不符合题意； B、如图，，，是上的中线，是上的中线，且， 延长到E，使得，连接，延长到，使得，连接， ， 是上的中线， ， 在和中 ， ， ， 同理可证：， ， 在和中 ， ， ， 同理可证：， ， 在和中 ， ，符合题意； C、两边相等的直角三角形不一定相等，例如一个直角三角形的两边是两直角边，另一个直角三角形的两边一边是斜边，一边是直角边，不符合题意； D、如图，，，，，， 与不全等，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，是的中线，为边上一点，连接交于点．若，，，则的长度为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，延长到点H，使得，连接，证明得到，再证明，得到，求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到点H，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和点；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，长为半径作弧，与前面的弧交于点；④作射线交于点、若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，作一个角等于已知角．先证，进而根据三角形内角和为180度得出，根据等角对等边，可得，由作图方式得出，进而得出，，再次应用三角形内角和定理，得出，推出，可得． 【详解】解：中，， ， ， ， 由作图知，， ，， ， ， ， ， 故选：D． 4．（25-26八年级上·四川内江·期末）根据图中及相应的条件，下列四个选项中，不能判定两个三角形全等的是（    ） A．如图1，线段相交于点O，，，和 B．如图2，，，和 C．如图3，线段相交于点E，已知，，和 D．如图4，已知，，和 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键．根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A. 在图1中，由，根据“”证明，可判断A不符合题意； B. 在图2中，由，根据“”证明，可判断B不符合题意； C. 在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D. 在图4中，由，根据“”证明，可判断D不符合题意； 故选：C. 5．（2025七年级下·上海长宁·模拟预测）如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，构造一个新的三角形．根据三角形的三边关系就可以求解． 【详解】解：延长到E，使， ，已知与的面积相等， 为的底边的中线， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ； 故选：B B 提高训练 6．（24-25七年级上·山东淄博·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，如图所示，则说明的依据是全等三角形的________相等．判定三角形全等的方法是____________． 【答案】 对应角 【分析】从作图可知，根据证，根据全等三角形的对应角相等推出即可． 【详解】解：从作图可知， ∵在和中 ， ， ∴（全等三角形的对应角相等）． 7．（24-25八年级上·陕西延安·月考）如图，B是的中点，C、E为右侧两点，连接，，请添加一个条件，使得，可以添加的条件是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意可知已有两组对应边相等，再确定两边的夹角对应相等即可判定． 【详解】解：∵B是中点， ∴， ∵， ∴当时，依据可得，， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25八年级上·河南驻马店·月考）如图，中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，若两点在运动过程中和会出现全等的情况，则点Q的速度为________． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点，表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①是对应边，②与是对应边两种情况讨论即可． 【详解】解：，， ， 点D为的中点， ， 设点P、Q的运动时间为t，则，， ①当，时， ， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当，时， ， ， ， 故点Q的运动速度为， 故答案为：或． 9．（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，在中，，，点D为的中点，过A作于点G，过B作交的延长线于点F，与相交于点E．连接．则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的_________． 【答案】①③④ 【分析】证明，可得，，故①正确；再由，可得，故②错误；再证明，可得，故③正确；再由，可得，然后根据，可得，从而得到，故④正确．本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 10．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在和中，，，，边与边相交于点（不与点，重合），点，分别在的两侧． （1）若，则的大小为_______； （2）的最大值为_______； （3）当是等腰三角形，且为腰时，的大小为_______． 【答案】 6 或 【分析】（1）证，可得，利用等式性质可得.由∠BAD=40°可得∠CAE=40°； （2）由，可得， 当时，∠B=30°，可求最小即可； （3）当或时，利用外角和三角形内角和即可求出． 【详解】解：（1）∵在 和中， ， ∴， ∴， 即， ∴. ∵∠BAD=40°， ∴∠CAE=40°， 故答案为:40°； （2）∵， ∴， 当时，∠B=30°， 最小， 最大=. 故答案为：6； （3）当时， 则， ∴； 当时， 则. ∵， ∴， ∴. 综上所述，的度数为或. 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形全等变换，点到直线的最短距离，等腰三角形，掌握三角形全等变换性质，点到直线的最短距离，等腰三角形性质，利用等腰三角形腰分类讨论是解题关键． C 培优训练 11．（25-26七年级下·上海长宁·单元测试）如图，在等腰三角形中，，是它的一条中线，与全等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定， 先根据中线结合等腰三角形的性质得到，进而根据三角形全等的判定（）即可求解． 【详解】解：， 理由∶∵为中线， ∴， ∵，， ∴ 12．（24-25七年级下·广东佛山·月考）如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图． (1)在图①中画出中边上的高线； (2)在图②中画出一个与全等的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高，全等三角形的判定： （1）根据三角形高的定义画图即可； （2）取格点，使，由网格特点可得，继而得，结合为公共边，利用即可得，由此即可得． 【详解】（1）解：如图所示，高线即为所求； （2）如图所示，即为所求． 13．（24-25七年级下·吉林松原·期末）【感知】如图①，在中，，将边绕着点顺时针旋转90°得到，过点作，交的延长线于点．若，则的长为_____； 【探究】如图②，在中，是边上的高，将边绕着点顺时针旋转得到，再将边绕着点逆时针旋转得到，分别过点、作、，分别交的延长线于点、．求证：； 【应用】连接图②中的交于点，若的面积为10，则的面积是_____． 【答案】【感知】5；【探究】见解析；【应用】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键． [感知]利用“角角边”证明，再利用全等三角形对应边相等得出，进而求解即可； [探究]利用“角角边”证明和，再利用全等三角形对应边相等求解即可； [应用]先利用“角角边”证明，再根据全等三角形面积相等，进而求出，求解即可． 【详解】[感知]解：∵，将边绕着点顺时针旋转90°得到，过点作， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5； [探究]证明：∵，， ∴， ∴， 由旋转，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； [应用]解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：5． 14．（24-25八年级上·广东广州·期中）（1）温故知新：在小学数学我们认识了等腰三角形，知道了底角、顶角等概念，请用全等的知识证明“等腰三角形的两个底角相等”．已知：如图1，中，若，求证：． （2）运用“等腰三角形的两个底角相等”和全等的知识来解决以下问题：如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于F．若，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，涉及倍长中线、全等三角形的判定与性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）取中点，连接．利用证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）延长到点，使得，连接，由“”可证，可得，，进而可得，对顶角相等即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图，取中点，则，连接， 在和中， ， ， ； （2）证明：延长到点，使得，连接，如图所示： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ，即． 15．（25-26八年级上·河南漯河·期末）综合与探究． 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则_____． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】（）；（）；（）一块直角三角板的面积为． 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （）利用完全平方公式解决问题即可； （）设，则，由，即，可得 ； （）由，得，，，又点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，所以，，设，，利用面积关系，构建方程组求解． 【详解】解：（）∵，，， ∴， ∴； （），则， ∵，即， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴，，， ∵点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上， ∴，， 设，， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 答：一块直角三角板的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形的性质及其判定重难点题型专训 （4个知识点+16大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 图形的全等 题型二 全等三角形的概念 题型三 全等三角形的性质 题型四 用SSS证明三角形全等（SSS） 题型五 用SAS证明三角形全等（SAS） 题型六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 题型七 尺规作一个角等于已知角 题型八 过直线外一点作已知直线的平行线 题型九 添加条件使三角形全等 题型十 灵活选用判定方法证全等 题型十一 倍长中线模型 题型十二 旋转模型 题型十三 垂线模型 题型十四 尺规作图——作三角形 题型十五 全等三角形的综合问题 题型十六 证一条线段等于两条线段和差 拓展训练一 利用全等三角形的判定与性质求角度 拓展训练二 利用全等三角形的判定与性质求长度 拓展训练三 利用全等三角形的判定与性质求面积 拓展训练四 全等三角形中的动点问题 知识点一：全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北邢台·期中）下列图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，四边形四边形，若，，，则_________°．    知识点二：全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是________． 知识点三：全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，，如果，，，那么的长是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，当时，则________． 知识点四：全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽黄山·期末）如图，在和中，，，小亮添加了以下条件之一后仍无法判定，请问他添加的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则________． 【经典例题一 图形的全等】 【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【例2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则_____． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 【经典例题二 全等三角形的概念】 【例1】（24-25八年级上·山西临汾·期中）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 2．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若格点△ACP与△ABC全等（不与△ABC重合），则所有满足条件的点P有_____个． 3．（24-25七年级下·上海长宁·单元测试）如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 【经典例题三 全等三角形的性质】 【例1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 【例2】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 1．（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，，的延长线分别交，于点F，G，且，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是______． 3．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，已知，点在上，与交于点，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【经典例题四 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例1】（25-26八年级上·山西晋城·月考）如图，已知，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，的长为半径作弧，与以点为圆心，的长为半径所作的弧交于点，连接，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海长宁·课后作业）雨伞截面示意图如图所示，伞骨，支撑杆．当沿滑动时，雨伞开闭，则在雨伞开闭过程中，与的数量关系为______． 1．（24-25八年级上·河南周口·月考）年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 2．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 3．（25-26八年级上·新疆伊犁·期末）如图，已知，D．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【经典例题五 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例1】（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东·模拟预测）如图，中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，若点的运动速度为，则当与全等时，的值为____． 1．（25-26八年级上·四川内江·期末）如图1，已知，D为的角平分线上一点，连接；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上三点，连接；…，依此类推，第n个图形中全等三角形的对数是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海长宁·期中）在如图所示的的正方形网格中，的度数为_______． 3．（25-26八年级上·天津西青·期末）已知点E，M分别是的边，上的点，点F在边的延长线上，满足，点D在外部，且，，与相交于点O，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，当，时，若，求线段的长． 【经典例题六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 【例1】（25-26七年级下·福建福州·月考）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带___________去． 1．（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 2．（25-26八年级上·山东聊城·月考）如图，在中，，点在边上，且，点，在线段上，，，若面积为2，面积为5，则面积为_____． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，点在直线上（点之间的线段被一块污渍遮住），点在直线的异侧，连接，且，，测得． (1)求证： (2)若，求的长度． 【经典例题七 尺规作一个角等于已知角】 【例1】（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）如图，用尺规作的依据是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，若，则的度数为______． 1．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，点在的边上，需要用尺规作．以下是作图步骤，其正确的顺序是（    ） ①作射线，则就是所求作的角． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点． ③以M为圆心，长为半径画弧，交弧于点D． ④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． A．①→②→③→④ B．②→④→①→③ C．④→②→③→① D．④→③→②→① 2．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知，，在的内部．某数学兴趣小组进行了探究： （1）在上取一点，以点为圆心，以为半径画弧交射线于点； （2）以点为圆心，线段的长为半径画弧交前弧于点； （3）以点为端点，作射线． 若，则__ 度． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期末）李老师在课堂上提出一个尺规作图的问题：如图，为直角，射线在的内部，用尺规在图上作出． (1)小亮说：“如图，我在图上作，就能得到”请你说一说小亮这样做的理由． (2)小颖说：“我作出的射线在的下方，也符合题意”．请你在图中完成小颖的作图．（保留作图痕迹，不写作法） (3)李老师进一步提出问题：若，求的度数． 【经典例题八 过直线外一点作已知直线的平行线】 【例1】（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（   ） A．以为圆心，为半径的弧 B．以为圆心，为半径的弧 C．以为圆心，为半径的弧 D．以为圆心，为半径的弧 【例2】（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图1，要过直线外一点作直线的平行线，用尺规作图的方法作出如图2的形式，则图2的作法中判定两直线平行的依据是___________________________． 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）要求过直线外一点，作直线，使得，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都不正确 D．两人的都正确 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）现有直线和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：________． 3．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）如图，是内的一点．按下列要求画图，并回答问题． (1)过点画直线，交直线于点 (2)过点画直线，交直线于点． 【经典例题九 添加条件使三角形全等】 【例1】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，点，在上，，，要添加的一个条件应不能使的是（    ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 1．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在与中，已知，，还添加一个条件才能使，下列不能添加的条件是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，点B，A，D，E在同一直线上，，，要使得，则只需添加一个适当的条件是________（只填一个即可）． 3．（2026·陕西·一模）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【经典例题十 灵活选用判定方法证全等】 【例1】（25-26八年级上·广东中山·月考）下列条件中，不能满足两个直角三角形全等的是（    ） A．两直角边对应相等 B．斜边、一条直角边对应相等 C．一锐角、一条直角边对应相等 D．两锐角对应相等 【例2】（25-26八年级上·广东中山·月考）如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 1．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，用纸板挡住了部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京密云·期末）如图，中，，，，，点P为边上一动点（不与端点重合），点P关于直线的对称点分别为、，连接．在点P的运动过程中，下列结论正确的是（填序号）__________． ①； ②； ③一定是直角三角形； ④长度的最小值是． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在数学活动课上，同学们学习了三角形全等的判定后，继续探索特殊三角形的判定方法：若与均为等腰三角形，其中，． (1)下列条件中，可以判定的是________；（填序号） ①，； ②，； ③，； ④，． (2)从（1）中选择一个合适的条件进行证明． 【经典例题十一 倍长中线模型】 【例1】（25-26八年级上·江苏镇江·月考）已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 1．（25-26八年级上·天津河西·月考）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是___________（用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是___________（直接填空）． 3．（25-26八年级上·山东济宁·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【经典例题十二 旋转模型】 【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【例2】（24-25七年级上·江苏南京·月考）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　） A．64° B．52° C．62° D．56° 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【经典例题十三 垂线模型】 【例1】（24-25八年级上·重庆巫山·期末）如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 1．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则______． 3．（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【经典例题十四 尺规作图——作三角形 】 【例1】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【例2】（25-26七年级下·山西太原·月考）已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 2．（25-26七年级下·上海长宁·课前预习）如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作______； （2）如图③，在射线上截取______，在射线上截取______； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a，b及． 求作：，使得，，． 作法：如图， ①以O为圆心，a长为半径作弧，交于点P； ②以O为圆心，b长为半径作弧，交于点Q； ③作射线； ④以A为圆心，长为半径作弧，交于点B； ⑤分别以A，B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于直线上方的点C； ⑥连接、． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：，， ① ， ② ，（ ③ ） （ ④ ）（填推理的依据） ，，，． 就是所求作的三角形． 【经典例题十五 全等三角形的综合问题】 【例1】 （25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图1，已知，D为的平分线上一点，连接；如图2，已知，D，E为的平分线上两点，连接；如图3，已知，D，E，F为的平分线上三点，连接；…，依此规律，第n个图形中全等三角形有（   ）对 A．n B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 1．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，在中，为的中线，过点作于点，过点作于点．延长至点，使得，连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动_________s时，． 3．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）某种产品的商标如图所示，是线段、的交点，并且，．小明认为该商标图中的两个三角形是全等的，他的证明如下： 在和中,   , ∴． 你认为小明的证明正确吗？如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？如果不正确，请你给出正确的证明． 【经典例题十六 证一条线段等于两条线段和差】 【例1】（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【例2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 _____个．    1．（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在等边三角形右侧作射线，，点A关于射线的对称点为点D，交于点E，连接，，． (1)求的大小（用含的代数式表示）； (2)在的变化过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出的范围；如果不发生变化，请直接写出的大小； (3)用等式表示线段，，三者之间的数量关系，并证明您的结论． 3．（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【拓展训练一 利用全等三角形的判定与性质求角度】 【例1】（24-25七年级下·上海长宁·随堂练习）如图，为修公路，需测量出被大石头阻挡的的大小．为此，小张师傅便在直线上取点D使，在的延长线上取点E，使，连接，要想测出的度数，则需要测出哪个角的度数？（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在等腰直角中，，为内一点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，若的度数为，则的度数为________ ． 1．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）图所示，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，已知网格图由个相同的正方形组成，则的度数为______． 3．（24-25七年级下·广东清远·月考）在学习《等腰三角形》后，老师带领数学兴趣小组的同学对等腰三角形的拓展进行研究． 【特例分析】（1）如图1，等边三角形中，点M为射线上一个动点，连接，将绕点M逆时针旋转，旋转角为的度数，得到线段，连接，，则是________三角形，的值为________，的度数为________； 【变形探究】（2）如图2，等腰直角三角形中，，点M为射线上一个动点，连接，将绕点M逆时针旋转，旋转角为的度数，得到线段，连接，，则的值与的度数是否变化？请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，等腰三角形中，，，点M为射线上一个动点，连接，将绕点M逆时针旋转，旋转角为的度数，得到线段，连接，．若，，请直接写出点N到的距离． 【拓展训练二 利用全等三角形的判定与性质求长度】 【例1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，，，垂足分别为，，，．若，，则的长度是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【例2】（25-26七年级下·上海长宁·周测）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（），左边滑梯的高度等于右边滑梯水平方向的长度，且，则与长度____________（填“相等”或“不相等”）． 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，．点D、E、C在同一条直线上，，，其中，，则的长度为（    ） A．14 B．20 C．28 D．34 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，测量的长度为，则测量工件内槽宽的长度为______． ． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（），都为米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为米的米尺 测量步骤 测量出线段FD的长度 测量出线段AB的长度 测量数据 米，米 请你根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由． 【拓展训练三 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）△DEF和△GHK均为等边三角形，将它们按如图1、图2的方式放置在等边三角形ABC内，若求图1、图2中的阴影部分面积的和，则只需知道（　　） A．△BDE的面积 B．四边形BEFD的面积 C．△ABC面积 D．△DGH的面积 【例2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）数学思想是数学研究的灵魂和核心，是数学理论发展的源泉，它能帮助我们更好地思考问题，解决问题．依据2022版新课标实施的七年级新教材中，我们已经学习了特殊化和转化的数学思想方法，探究了以下结论：两个边长相等的正方形如图①所示放置，正方形的顶点E与正方形的中心重合，两个正方形重合部分的面积不变，且等于正方形面积的，利用结论解决问题：若图②中，，，则四边形的面积等于_______． 1．（24-25八年级上·河南南阳·月考）如图，在中，已知，，D是的中点，点E、F分别在边上运动（点E不与点A、C重合），且保持，连接在此运动变化的过程中，正确的结论的个数是（    ） ①是等腰直角三角形；②四边形的面积是定值；③；④面积的最小值为2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，已知，平分，平分，过点的直线交射线的反向延长线于点，交射线于点，，，的面积比的面积多，则的面积是______． 3．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）（1）问题背景： 如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积． 小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补， 证明三点共线， 从而得到正方形； 进而求得四边形的面积． 请直接写出四边形的面积为_______． （2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形中，， ，，，，求五边形的面积． 【拓展训练四 全等三角形中的动点问题】 【例1】（24-25八年级上·上海·期末）如图在等腰三角形中，，动点D在线段上，动点E在线段的延长线上，线段交于点F，当时，下列等式总是成立的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为________时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 1．（25-26七年级下·上海长宁·期中）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 2．（24-25八年级上·浙江金华·月考）我们规定对角互补的四边形称为对补四边形． （1）如图1，四边形为对补四边形，，则的度数为________． （2）如图2，在等边三角形中，，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．连结，交于点，当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为________． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）新定义∶对角互补的四边形称为对补四边形． (1)如图1，四边形为对补四边形，，求的度数． (2)在等边三角形上，，完成以下问题∶ ①如图2，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． ②如图3，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．连结，当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． A基础训练 1．（25-26八年级上·江苏·月考）下列条件中，能判断两个三角形全等的是（   ） A．两个面积相等的等腰三角形 B．两边及第三边上的中线对应相等 C．两边相等的直角三角形 D．两边及第三边上的高线对应相等 2．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，是的中线，为边上一点，连接交于点．若，，，则的长度为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和点；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，长为半径作弧，与前面的弧交于点；④作射线交于点、若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·四川内江·期末）根据图中及相应的条件，下列四个选项中，不能判定两个三角形全等的是（    ） A．如图1，线段相交于点O，，，和 B．如图2，，，和 C．如图3，线段相交于点E，已知，，和 D．如图4，已知，，和 5．（2025七年级下·上海长宁·模拟预测）如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． B 提高训练 6．（24-25七年级上·山东淄博·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，如图所示，则说明的依据是全等三角形的________相等．判定三角形全等的方法是____________． 7．（24-25八年级上·陕西延安·月考）如图，B是的中点，C、E为右侧两点，连接，，请添加一个条件，使得，可以添加的条件是________．（写出一个即可） 8．（24-25八年级上·河南驻马店·月考）如图，中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，若两点在运动过程中和会出现全等的情况，则点Q的速度为________． 9．（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，在中，，，点D为的中点，过A作于点G，过B作交的延长线于点F，与相交于点E．连接．则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的_________． 10．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在和中，，，，边与边相交于点（不与点，重合），点，分别在的两侧． （1）若，则的大小为_______； （2）的最大值为_______； （3）当是等腰三角形，且为腰时，的大小为_______． C 培优训练 11．（25-26七年级下·上海长宁·单元测试）如图，在等腰三角形中，，是它的一条中线，与全等吗？为什么？ 12．（24-25七年级下·广东佛山·月考）如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图． (1)在图①中画出中边上的高线； (2)在图②中画出一个与全等的． 13．（24-25七年级下·吉林松原·期末）【感知】如图①，在中，，将边绕着点顺时针旋转90°得到，过点作，交的延长线于点．若，则的长为_____； 【探究】如图②，在中，是边上的高，将边绕着点顺时针旋转得到，再将边绕着点逆时针旋转得到，分别过点、作、，分别交的延长线于点、．求证：； 【应用】连接图②中的交于点，若的面积为10，则的面积是_____． 14．（24-25八年级上·广东广州·期中）（1）温故知新：在小学数学我们认识了等腰三角形，知道了底角、顶角等概念，请用全等的知识证明“等腰三角形的两个底角相等”．已知：如图1，中，若，求证：． （2）运用“等腰三角形的两个底角相等”和全等的知识来解决以下问题：如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于F．若，求证：． 15．（25-26八年级上·河南漯河·期末）综合与探究． 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则_____． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $