专题02 平行线重难点题型专训（4个知识点+13大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题02 平行线重难点题型专训 （4个知识点+13大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 平面内两直线的位置关系 题型二 用直尺、三角板画平行线 题型三 同位角、内错角、同旁内角 题型四 同位角相等两直线平行 题型五 内错角相等两直线平行 题型六 同旁内角互补两直线平行 题型七 两直线平行同位角相等 题型八 两直线平行内错角相等 题型九 两直线平行同旁内角互补 题型十 平行公理推论的应用 题型十一 根据平行线判定与性质求角度 题型十二 利用平行线的性质在生活中的应用 题型十三 根据平行线判定与性质证明 拓展训练一 三线八角问题 拓展训练二 根据平行线的性质探究角的关系 拓展训练三 拐点模型 拓展训练四 平行线判定与性质的综合应用 知识点一：平行 1、定义：同一平面内，不相交的两条直线，记作a∥b； 定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线． 2、平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 例：a∥b，b∥c，则a∥c（平行传递性） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；因此此题可根据“两直线平行，同位角相等”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 2．（25-26七年级下·重庆渝北·期末）如图，，直线分别与，交于点，．若，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． 直接根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 知识点二： 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，已知：，求证：．淇淇的证明过程为：“，，，∴．”他的证明中判断平行的依据为（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】C 【详解】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 解：和是直线和被第三条线所截形成的同位角，且淇淇是利用了得到平行的， ∴他的证明中判断平行的依据是“同位角相等，两直线平行”． 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，请添加一个符合要求的条件，使得，这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握“内错角相等（或同位角相等、同旁内角互补），两直线平行”是解题的关键． 根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等），添加能判定的角的关系． 【详解】解：添加条件：， ∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 知识点三： 平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【即时训练】 1．（2026·陕西咸阳·一模）如图，点在射线上，直线，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据邻补角可得，结合得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ． 2．（25-26七年级下·重庆长寿·期中）如图，是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线经过点O，是经过剪刀手柄D的直线．若，，则的度数是________． 【答案】/127度 【分析】本题考查了邻补角、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据邻补角可得，再根据两直线平行，同位角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 知识点四：认识同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同位角的识别，关键是掌握同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，位于截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧的角称为同位角，需逐一判断每个选项中和的位置是否符合该定义． 【详解】解：选项A：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项B：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项C：与不在截线的同旁，不满足同位角“同旁同侧”的位置特征，不属于同位角； 选项D：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 故选：C． 2．（24-25七年级下·天津·月考）观察图，并完成下面的填空： （1）与___________是同位角； （2）与___________是内错角； （3）与___________是同旁内角． 【答案】 【分析】本题考查了同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫作同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫作同旁内角；熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题关键． （1）根据同位角的定义即可得； （2）根据内错角的定义即可得； （3）根据同旁内角的定义即可得． 【详解】解：（1）与是同位角； 故答案为：． （2）与是内错角； 故答案为：． （3）与是同旁内角； 故答案为：． 【经典例题一 平面内两直线的位置关系】 【例1】（24-25七年级下·四川自贡·月考）同一平面内有a,b,c三条直线，如果，，那么b与c的位置关系是（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．重合 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】根据已知条件结合平行线性质推导b与c的位置关系即可． 【详解】解：∵同一平面内，，， ∴根据平行线的性质，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则它也垂直于另一条， ∴，即b与c互相垂直． 因此答案选B． 【例2】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）在同一平面内，与一边互相垂直，另一边互相平行，且比大，则的度数为_________°． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和垂直的性质，解题的关键在于能够画图，数形结合进行分析求解．根据平行线的性质和垂直的性质分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：① 如图所示： 令， 依题意，，， ∴， ∴， 又∵比大， ∴， ∴； ②如图所示： 令， 依题意，，， ∴，， ∴， ∵比大， ∴此种情况不符合题意， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·广东珠海·期中）如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中，，，保持三角板不动，三角板可绕点C旋转，则下列结论： ①；②随着的变化而变化；③当时，则或；④当时，一定垂直于． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①依据，，可得； ②依据，即可得到； ③画出图形，根据平行线的判定，即可得到当等于或时，； ④画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：①，， ； 故①正确． ②， ， ，是定值； 故②错误． ③如图1所示， 当时，， ， 如图2所示， 当时，， ， 当时，则或； 故③错误． ④设，则． 如图 由（1）可知，， ， 解得：， 即， ， ； 如图 由（1）得：， ， ， ， ， ． 此时或； 故④错误． 综上所述：只有①正确，所以正确的个数有个． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键． 2．（25-26七年级上·河南南阳·期末）在同一平面内，现有2025条直线，，，，，且有，，，，…，则直线与的位置关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律探究，平行线的判定与性质，解题的关键是找到直线位置关系的规律．通过分析直线间位置的交替规律，与的位置关系以4为周期循环，然后即可作答． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， 依此类推，，，，，… 可以发现，与的位置关系以4为周期循环， ∵，余数为0， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键， （1）根据所有横线都是平行的作图即可； （2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：所求图形如图所示． 【经典例题二 用直尺、三角板画平行线】 【例1】（25-26八年级上·上海闵行·单元测试）下列各图中，不能画出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键．根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可得A、B正确； 根据垂直于同一直线的两条直线平行，可得D正确； C不能画出， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·四川广元·期末）用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有__________．（请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定平行线，掌握判断步骤是解题的关键．将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③ 故答案为：①②③． 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，借助三角板画直线的操作过程，其数学依据是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可写出这样画图的依据． 【详解】解：根据作图过程可知，画图的依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是___________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据和是三角板中的同一个角，得，根据平行线的判定，即可解答． 【详解】解：过直线外一点，画已知直线的平行线的方法：一“落”：把三角尺的一边落在已知直线上．二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边．三“推”：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点．四“画”：沿三角尺过已知点的边画直线． ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 3．（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，按要求画图． (1)过点P画直线； (2)连接；过B画的垂线，垂足为C、D； (3)过点P画的垂线段，垂足为E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：如图，过点P画直线即可； （2）如图，连接；过B画的垂线，垂足为C、D； （3）如图，过点P画的垂线段，垂足为E 【点睛】本题考查了平行以及垂线的定义，需要图形结合． 【经典例题三 同位角、内错角、同旁内角】 【例1】（25-26七年级下·上海闵行·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【详解】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确． ②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确． ③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误． ④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确． 综上：正确的有①②④，共个． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，若，则的同位角的度数为______，的内错角的度数为______，的同旁内角的度数为______． 【答案】 /80度 /80度 /100度 【分析】本题考查了相交线及其所成的角（同位角、内错角、同旁内角），熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 由同位角、内错角、同旁内角的定义即可直接得出答案． 【详解】解：， 的同位角的度数为， 的内错角的度数为， 的同旁内角的度数为， 故答案为：，，． 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·周测）如图，直线、被、所截，下列结论中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，结合图形中角的位置关系依次进行判断即可． 【详解】解： A、与分别在直线，的外侧，且在截线的同侧，不是同位角也不是内错角，无法判断，故A错误，该选项不符合题意； B、与是直线，被直线所截形成的同位角， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行），故B正确，该选项符合题意； C、与是直线 ， 被直线所截形成的角，与直线无关，无法判断，故C错误，该选项不符合题意； D、与涉及四条直线，无法直接判断，故D错误，该选项不符合题意． 故选 ：B． 2．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）如图． （1）与是直线，被直线所截形成的______角； （2）与是直线______被直线______所截形成的_______角； （3）与是直线______被直线_____所截形成的______角； （4）与是直线______被直线____所截形成的______角． 【答案】 内错 同位 同旁内 内错 【分析】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． （1）利用内错角的概念进行判断填空即可； （2）利用同位角的概念进行判断填空即可； （3）利用同旁内角的概念进行判断填空即可； （4）利用内错角的概念进行判断填空即可． 【详解】解：（1）与是直线，被直线所截形成的内错角； 故答案为：内错； （2）与是直线被直线所截形成的同位角； 故答案为：，，同位； （3）与是直线被直线所截形成的同旁内角； 故答案为：，，同旁内； （4）与是直线被直线所截形成的内错角． 故答案为：，，内错． 3．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，直线被直线所截，交点分别为，那么图中的同位角、内错角、同旁内角各有多少对？请分别写出两对，填入下表． 名称 对数 举例 同位角 内错角 同旁内角 【答案】同位角4对，内错角2对，同旁内角2对； 名称 对数 举例 同位角 4 与 与 与 与 （4对选2对即可） 内错角 2 与 与 同旁内角 2 与 与 【分析】本题主要考查根据同位角、内错角、同旁内角的定义，找出直线、被直线所截形成的相应角的对数并举例即可． 【详解】确定同位角的对数并举例：同位角位于截线同侧，被截直线同一侧的角，故为与、与、与、与共4对； 确定内错角的对数并举例：同位角位于截线两旁，被截两条直线之间的角，故为与、与共2对； 确定同旁内角的对数并举例：同旁内角位于截线同旁，被截两条直线之间的角，故为与、与共2对； 【经典例题四 同位角相等两直线平行】 【例1】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补，则两直线平行”是解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：A、、是同位角，根据同位角相等，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； B、、是内错角，根据内错角相等，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； C、、是同位角，两个同位角的和为，无法判断两直线的关系，故本选项符合题意； D、、是同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）借助一副三角尺，我们可以画出已知直线a的平行线： ①将含角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含角的三角尺的最短边紧贴； ②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则，这样画图的依据是_________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平移过程中，三角尺平移前后的同位角相等，即可得出． 【详解】解：平移过程中，三角尺平移前后的同位角相等， 根据同位角相等，两直线平行可得出． 故答案为：同位角相等，两直线平行 1．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）下列各图中，能判定的是（    ） A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可得①正确； 根据垂直于同一直线的两条直线平行，可得②③正确； 根据内错角相等，两直线平行，可得④正确； 综上所述，能画出的是①②③④，故选：D． 2．（24-25七年级下·山西太原·期中）如图1，一张透明的正方形纸片上有线段和点，小明依次按照图2、图3的方法折叠，展开后如图4所示，其中过点的折痕与平行，判断的依据是______． 【答案】同位角相等，两直线平行（答案不唯一） 【分析】此题考查了图形的折叠变换及其性质，平行线的判定，熟练掌握图形的折叠变换及其性质，平行线的判定是解决问题的关键． 由折叠性质得：第一次折叠时，图4中的与重合，则，第二次折叠时，图4中的与重合，则，由此得，则，据此即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 由折叠性质得：第一次折叠时，图4中的与重合， ∴， ∵， ∴， 第二次折叠时，图4中的与重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行（答案不唯一）． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，，被直线所截，且． (1)与平行吗？为什么？ (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)平行，见解析 (2) 【分析】（1）方法不唯一，证明即可判定． （2）先证明，根据平角定义计算的度数． 【详解】（1）解：与平行．理由如下： ，， ， ． （2）解：， ； 平分， ， ， ． 【经典例题五 内错角相等两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，内错角相等两直线平行，明确内错角的定义是解题的关键． 根据内错角相等两直线平行，确定是的内错角即可． 【详解】由图可知，是的内错角， 若，则． 故答案为：C． 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，，，，则的度数为_____________时，． 【答案】 【分析】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【详解】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 1．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，分别平分与，且．证明．下面是不完整的推理过程， 证明：分别平分与（已知）， ___________（角平分线的定义）， （已知）， _________（等量代换）， （已知）， _________， ． 下列说法错误的是（    ） A．☆表示 B．表示 C．表示 D．表示内错角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定，角平分线的定义，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与依据即可得到答案. 【详解】解：分别平分与（已知）， ，A不符合题意； （已知）， ，B不符合题意； （已知）， ，C符合题意； （内错角相等，两直线平行），D不符合题意； 故选：C 2．（24-25七年级下·江苏·周测）如图，在四边形中，连接，其中若，则；若，则；若，则；若，，则判断正确的是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定逐一判断即可，能正确根据平行线的判定进行推理是解题的关键． 【详解】若，则，故判断错误； 若，则，故判断错误； 若，则，故判断正确； ∵，，， ∴， ∴，故判断正确； 故答案为：． 3．（25-26七年级上·福建泉州·期末）某次几何课上，黄老师借助字母，命制了如下几何题目： （1）如图1，已知，，证明：，请你将推理过程补充完整； （2）如图2，若，，证明：． (1)证明：（已知）， ①__________________（两直线平行，内错角相等） （已知）， ②__________________（③__________________） （④__________________） (2)模仿（1）题，写出推理过程． 【答案】(1)①；②；③等量代换；④内错角相等，两直线平行 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质，平行线的判定等解答即可； （2）延长，相交于点，然后类似（1）解答即可． 【详解】（1）证明：（已知）， ①（两直线平行，内错角相等） （已知）， ②（③等量代换） （④内错角相等，两直线平行） （2）证明：延长，相交于点， ，（已知） （两直线平行，内错角相等） ，（已知） （两直线平行，内错角相等） （等量代换） 【经典例题六 同旁内角互补两直线平行】 【例1】（25-26七年级上·河南周口·期末）若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、不能推出，不符合题意； B、不能推出，不符合题意； C、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； D、不能推出，不符合题意； 故选：C． 【例2】（2026七年级下·上海闵行·专题练习）如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握识别同旁内角并利用其互补关系判定平行的方法是解题的关键． 利用同旁内角互补，两直线平行的判定定理，通过已知的角度和为，确定哪两条直线被哪条截线所截，从而判定平行关系． 【详解】解：若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 故答案为：、、、． 1．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、内错角相等，两直线平行，能判定，不符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； C、不能判定，符合题意； D、，，故，同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； 故选C． 2．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断的条件有______（填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．根据平行线的判定定理即可直接作出判断． 【详解】解：①，不能判断，不合题意； ②， ，不合题意； ③， ，符合题意； ④， ，符合题意； ⑤， ， ， ， ， ，符合题意． 故答案为：③④⑤． 3．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知四边形纸片，小明按如图所示的方法折纸，能否折出经过点且平行于的折痕吗？说说你的理由． 【答案】能折出经过点A且平行于的折痕，见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定等知识点，灵活运用平行线的判定方法是解题的关键． 如图：设第一条折痕交边于点M，第二条折痕交边于点N，两条折痕相交于点E，由折叠的性质可得，最后根据同旁内角互补、两直线平行即可解答． 【详解】解：能折出经过点A且平行于的折痕， 理由如下： 如图：设第一条折痕交边于点M，第二条折痕交边于点N，两条折痕相交于点E， 由折叠可知： ∴， ∴． 【经典例题七 两直线平行同位角相等】 【例1】（25-26八年级上·四川成都·月考）下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：选项A、∵，∴，故本选项不符合题意； 选项B、∵， ∴， ∵， ∴， 故本选项符合题意； 选项C、由，不能得到，故本选项不符合题意； 选项D、由，不能得到，故本选项不符合题意； 故选B． 【例2】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，，若，．则______． 【答案】/65度 【分析】本题考查了平行线的性质． 根据得到，，进而得到，，即可求出的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·贵州安顺·期末）吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是关键． 根据由平行线的性质逐项判定即可． 【详解】解：A、由推出和是同位角，由两直线平行、同位角相等可知该选项正确，符合题意； B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意； C、和不是同旁内角，由不能判定，故此选项不符合题意； D、无法判断和关系，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，已知、、在一直线上，平分，请填写的理由． 解：因为平分___________， 所以___________． 因为___________， 所以___________， ___________． 所以___________． 【答案】已知，角平分线的定义，两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，等量代换 【分析】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 根据平行线的性质即可求得，，根据角平分线的定义可得，等量代换即可求得答案． 【详解】解：因为平分（已知， 所以（角平分线的定义）． 因为（已知， 所以（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 故答案为：已知，角平分线的定义，两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，等量代换． 3．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，、、是直线，在直线上，在直线上，，，求证：．阅读下面的解答过程，并填空． 证明：因为(已知)，（    ） 得(等量代换) 所以(同位角相等，两直线平行) 得(     ) 因为(已知) 得 所以（    ） 所以 【答案】对顶角相等；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查平行线的判定与性质、对顶角的性质，关键是熟练运用相关几何定理完成逻辑推导．首先利用对顶角的性质建立与的等量关系，结合已知得到同位角相等，从而判定；再根据平行线的性质得到与相等，结合已知推出内错角相等，进而判定；最后由平行线的性质得出． 【详解】解：因为(已知)，(对顶角相等) 得(等量代换) 所以(同位角相等，两直线平行) 得(两直线平行，同位角相等) 因为(已知) 得 所以(内错角相等，两直线平行) 所以； 故答案依次为：对顶角相等；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行． 【经典例题八 两直线平行内错角相等】 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、（同位角相等，两直线平行），故A选项正确； B、（内错角相等，两直线平行），故B选项正确； C、（同旁内角互补，两直线平行），故C选项正确； D、同旁内角相等证明不了，故D选项不符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·山东潍坊·月考）如图，请添加一个条件，使得，则符合要求的其中一个条件可以是__________．根据是__________． 【答案】 内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定定理．根据平行线的判定定理内错角相等，两直线平行或者同位角相等，两直线平行，或者同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：①添加， 则， ∴（内错角相等，两直线平行） ②添加， 则， ∴（同位角相等，两直线平行） ③添加， 则 ∴（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：，内错角相等，两直线平行（答案不唯一） 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，下列条件中，能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：∵或或， ∴， 故选：D． 2．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）如图，下列条件：①；②；③；④，能判断的是__________． 【答案】①③④ 【分析】根据平行线的判定，依次判断各个条件即可． 【详解】解：①，根据内错角相等，两直线平行，可判断； ②，根据同位角相等，两直线平行，可判断； ③，根据同旁内角互补，两直线平行，可判断； ④， ，根据同旁内角互补，两直线平行，可判断； 综上，能判断的是①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，已知为上一点，直线过点D，点E与点C在异侧，且．作射线，满足点G与点E在同侧，且，求证：．以下是其证明的大致过程，请将对应的内容或依据补全． 证明：与互为对顶角， （ ）． ， ， ． ， （ ）， （ ）． 【答案】对顶角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了对顶角相等，角的计算，平行线的判定． 根据对顶角相等，角的计算，平行线的判定补全证明过程即可． 【详解】证明：与互为对顶角， （对顶角相等）． ， ， ． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【经典例题九 两直线平行同旁内角互补】 【例1】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故C选项正确； 而，，均不能判断， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图：___________，（填写一个满足条件的理由，用符号表示，不得添加任何辅助线）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键； 根据平行线的判定，即可求解； 【详解】解：， ； 故答案为： 1．（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； 根据平行线的判定定理，逐一判定选项即可求解 【详解】A、， ，不满足题意； B、， ，满足同意； C、， ，不满足题意； D、， ，不满足题意； 故选：B 2．（24-25七年级上·海南海口·期末）如图，要得到，则需要条件______（填一个你认为正确的条件即可），理由是_____． 【答案】 （答案不唯一） 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，涉及同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行等，根据图形，结合平行线的判定定理验证即可得到答案，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：要得到，利用平行线的判定： ①同位角相等两直线平行，可填； ②内错角相等两直线平行，可填； ③同旁内角互补两直线平行，可填；； 故答案为：（答案不唯一）；同位角相等，两直线平行； 3．（25-26八年级上·上海闵行·单元测试）如图，直线，被直线所截． (1)如果，你能得到哪些角之间的等量关系？ (2)写出能够证明的条件（能写几个就写几个）． 【答案】(1)，，，，，，，，， (2)，，，，，，，，，，，，，等 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，，，，，，根据对顶角相等得出，，，； （2）根据平行线的判定即可得出答案． 【详解】（1）解：因为， 所以，，，，，， 根据对顶角相等得出：，，，； （2）解：直接通过同位角，内错角，同旁内角证明的条件有，，，，，，，； 先通过对顶角相等，再利用同位角，内错角，同旁内角证明的条件有，，，，， 【经典例题十 平行公理推论的应用】 【例1】 （24-25七年级下·北京·期中）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：根据题意，可知当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上； 依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 故选：C 【例2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线，且直线p和直线q分别与直线m，直线n交于点C、D和点A、B，点E是直线q上的一个动点，，，当点E在射线上运动时，______度． 【答案】95 或 25 【分析】分两种情况：如图，当在线段上时，过作，如图，当在线段的延长线上时，过作，再进一步利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：如图，当在线段上时，过作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 如图，当在线段的延长线上时，过作， 同理：， ∵，， ∴，， ∴； 综上：或． 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D．的度数无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，垂线定义，过点A作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为_________． 【答案】100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：100． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期中）已知：如图，点E在上，，垂足分别为D、F，点M、G在上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，垂直的定义，先证明，再证明，再证明，，再进一步可得结论. 【详解】证明：，垂足分别为D、F（已知）． （垂直的定义）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． （已知）． （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （已知）． （同位角相等，两直线平行）． （平行于同一条直线的两条直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． 【经典例题十一 根据平行线判定与性质求角度】 【例1】（25-26七年级上·四川遂宁·期末）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定. 过点P作，则，根据平行线的性质可得，，据此先求出的度数，再求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·江苏无锡·开学考试）如图，直线，，，则____． 【答案】/度 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线， 则，， ， ， ， ∵，， ， ． 1．（25-26七年级上·山西临汾·期末）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 2．（25-26八年级上·江西宜春·期末）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是关键．过点E作，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的传递性，证明，可求得，即可进一步求得答案． 【详解】解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______； (2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴ 故答案为：，． （2）解：由题意可得：， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 【经典例题十二 利用平行线的性质在生活中的应用】 【例1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据物理学原理可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出，最后根据对顶角相等求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是___________度． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，先根据题意作出图形，再根据平行线得到，，，接着根据镜面反射可得，，最后根据平角列方程求解即可． 【详解】解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于， ∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为， ∴， ∵与平行的光线， ∴，，， 由镜面反射可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 1．（2025·浙江·二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，求出，结合，即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为_____． 【答案】/72度 【分析】本题考查平行线性质的应用，由，可得，，由反射的性质可得，由此可解． 【详解】解：， ， 由题意知，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·吉林·月考）如图，小明绘制了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定方法，由，即可得； （2）根据平行线的性质，由，得，结合已知条件，即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题十三 根据平行线判定与性质证明 】 【例1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）四边形如图所示，是延长线上的一点，下列推理正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是判断相等或互补的两个角是哪两条直线被第三条直线所截形成的角． 【详解】解：A选项：和是直线和直线被直线所截形成的同位角，不能说明，故A选项错误； B选项：和是直线和直线被直线所截形成的内错角，不能说明，故B选项错误； C选项：和是直线和直线被直线所截形成的同旁内角，不能说明，故C选项错误； D选项：和是和直线被直线所截形成的同旁内角，可得，故D选项正确． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·上海闵行·期末）小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有_____个人的说法是正确的． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；因此此题根据平行线的性质与判定进行求解即可． 【详解】解：小方：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小方的说法正确，小明的说法错误； 小辉：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小辉的说法正确； 小杰：连接，如图所示： 由已知条件并不能得出关于的判定条件，故小杰的说法错误； 综上所述：正确的说法有2个； 故答案为2． 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，补角的定义，根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义可推出，则可证明，得到，再证明，可得到；根据，，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与不互补，故③错误； 故选：C． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置， 使，两点分别落在直线，上． 对于给出的四个条件：，；；；；．能判断直线的有______（填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐一判断即可，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴不能得出，从而不能得出， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵， ∴， ∴，故符合题意； 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·周测）如图，已知，垂足为点，，垂足为点，，请填写的理由． 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴（ ）， ∴ （ ）， ∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴． 【答案】同位角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补；，，同角的补角相等；，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【分析】先由垂直的定义得到同位角相等，证出 ；再利用平行线的性质得到同旁内角互补，结合已知条件推出内错角相等，证出 ；最后由平行线的性质得到 ，并补全每一步的推理依据． 【详解】证明：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ （同位角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同旁内角互补）， ∵ ， ∴ （同角的补角相等）， ∴ （内错角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同位角相等）． 【拓展训练一 三线八角问题】 【例1】（2025·广东佛山·一模）两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成（    ） A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角 【答案】A 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角，据此作答即可． 【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念， 可知它们构成的一对角可以看成是同位角， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量，要使木条与平行，则的度数必须是______． 【答案】65 【分析】本题考查根据平行线的判定，对顶角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．由对顶角的性质得，然后根据平行线的判定方法求解即可． 【详解】解：如图，， ， 若要使，则， ， 故答案为：65． 1．（2025·福建厦门·二模）如图是小明学习“三线八角”时制作的模具，木条a，b与c钉一起，，，要使木条a与b平行，木条a绕点A按顺时针旋转的度数至少是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：要使木条a与b平行， 旋转后的度数等于的度数，即旋转后的度数为， 木条a绕点A按顺时针旋转的度数至少是． 故选：A． 2．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥一定能判定的条件是______填所有正确条件的序号 【答案】 【分析】本题考查了同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐一判定各条件，即可得以结果． 【详解】解：， 内错角相等，两直线平行， 故条件符合题意； ， 内错角相等，两直线平行， 故条件不符合题意； ， 内错角相等，两直线平行， 故条件不符合题意； ， 同位角相等，两直线平行， 故条件符合题意； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故条件符合题意； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故条件不符合题意； 综上，符合题意， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·北京昌平·期末）陈佩与赵晴川在讨论性质“平行于同一条直线的两条直线平行”的证明方法． 陈佩说道：“我们之前证明两条直线平行时，常在‘三线八角’的图形中进行研究．此图中没有‘三线八角’的图形，能不能构造出‘三线八角’的图形呢？” 赵晴川想了想，说道：“可以构造一条截线，与三条已有直线，，分别交于点，，，然后就可以用平行线的判定定理进行证明了”． 按照上述同学的说法，完成证明： 已知：如图，，．    求证：． (1)在图中画出辅助线，并标出点，，； (2)补全证明过程： ∵， ∴______（两直线平行，同位角相等）． ∵， ∴（两直线平行，______角相等）． ∴______． ∴（______）． 【答案】(1)见解析 (2)；内错；；内错角相等，两直线平行 【分析】（1）画出，，的截线即可； （2）先证明，再证明，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图，   ． （2）∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查的是平行线的性质与判定，熟记平行线的判定方法与性质是解本题的关键． 【拓展训练二 根据平行线的性质探究角的关系】 【例1】（24-25七年级下·山东淄博·月考）如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，，的关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·上海·月考）如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 【答案】，， 【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）， 又∵与是对顶角， ∴（对顶角相等）， ∴图中与所有相等的角有，，． 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、 ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意； D、∵， ∴， ∵，，， ∴，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）某乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，再沿方向修建．若直线，若，则的值是___________． 【答案】7 【分析】本题考查了方位角，平行线的性质，掌握方位角，平行线的性质，找出题干中式子之间的关系是解本题的关键． 由平行可得，再利用得出，，代入即可求出． 【详解】解：如图，取，，三点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，即， ． 故答案为：7． 3．（24-25八年级上·河北承德·月考）发现与探究 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图1、图2探究这两个角的关系． （1）如图1，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （___________，___________）． （___________）． （2）如图2，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明： 思考与结论 （3）综合上述，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角___________． 【答案】（1）（或相等）；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）（或互补）；证明见解析； （3）相等或互补 【分析】本题考查平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合等量代换，探究了两边分别平行的两个角的关系，先从特殊图形（图1、图2）入手，再归纳出一般结论． （1）利用平行线的性质，通过中间角来推导与的关系； （2）同样利用平行线性质，结合邻补角知识推导； （3）最后综合（1）（2）即可得出一般结论． 【详解】解：（1）证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 故答案为：（或相等）；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：（或互补）； （3）综合（1）中（两角相等）和（2）中（两角互补），可得：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 【拓展训练三 拐点模型】 【例1】（2025七年级下·天津·专题练习）如图，已知，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的性质和平行线公理推论，过点作，进而利用平行线的性质解答即可，解题的关键是掌握根据两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴∠， 故选：． 【例2】（24-25七年级下·广东广州·期末）立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，，，则的度数为______． 【答案】/30度 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，则有，，，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·上海闵行·周测）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图①，，点，分别在直线，上，点在直线，之间． (1)若，，求的度数． (2)如图②，已知直线，为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，根据平行线公理推论得到，再根据平行线的性质得到，最后根据角度的和差关系、等量代换即可求解； （2）过点作，根据平行线的性质可得，，则，代入即可解答． 【详解】（1）解：过点作，如图①， 则． ， ， ． （2）解：过点作，如图②，则． ， ， ． ，， ，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，点为直线、所确定的平面内一点． (1)如图，，．求的度数 (2)如图，直接写出， 和的数量关系（不用写具体证明过程） (3)如图，点在直线上，若，，，过点作，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论， （1）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，继而得到，再由可得结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，继而得到，可得结论； （3）如图，设交于点，由（2）知得，根据平行线的性质得，，，再代入计算即可． 解题的关键是掌握：平行线的性质，平行公理的推论（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 和的数量关系为； （3）如图，设交于点， ∵，，， 由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）【问题提出】 （1）如图①，，，，求的度数； （2）如图②，，点E在直线上，点P在直线上方，连接，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，，点E在直线上，点P在直线上方，连接，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数以及探究角度之间的关系，作平行线是解题的关键． （1）过点作．根据平行线的性质得出．最后根据角的和差关系即可求解． （2）过点作．，．最后根据角的和差关系即可求解． （3）过点作．，．进一步得出，再根据角平分线的定义得出，再结合（2）中的结论进一步即可得出答案． 【详解】解：（1）如图①，过点作． 因为，， 所以，． 所以． 因为，， 所以． （2），理由如下： 如图②，过点作． 因为， 所以． 所以，． 所以． 即． 所以 （3）如图③，过点作． 因为，， 所以． 所以，． 所以． 所以． 又因为，分别是与的平分线， 所以，． 所以． 由（2）知，， 所以． 所以 ． 即． 【拓展训练四 平行线判定与性质的综合应用】 【例1】（2026·河南商丘·一模）图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出，的度数，再根据角的和差即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 【例2】（2025·山东青岛·模拟预测）由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于______________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质的实际应用，作，，则，根据平行线得到，，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，，点在点右边，点在点右边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与水平线的夹角为， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图1，高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板．将小桌板放下后，桌面与车厢的底部平行，图2是其平面示意图，，．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行公理及推论、平行线的判定与性质，过点作，可求得，进而求出，再根据两直线平行，同旁内角互补求出． 结合题意以及平行线的判定与性质填空即可． 【详解】解：如图2，过点作， ∴， ∵． ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为__________度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点） 【答案】20 【分析】由折射光线的反向延长线经过虚焦点得到，根据平行线的性质，即可求解， 本题考查了，平行线的性质，解题的关键是：得到． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：20． 3．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时 (3)存在某一时刻，使得，此时或27 【分析】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． A基础训练 1．（24-25七年级下·广东东莞·开学考试）已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 【答案】B 【分析】本题考查直线与直线的位置关系，利用直线平行或垂直的性质逐项判断即可． 【详解】A：，但反推回去不一定成立（如图1）； B：正确（如图2） C：，但反推回去不一定成立（如图3）； D：分别与相交或平行（如图4，除去均与平行及均与相交的直线恰好相互平行的情形）． 2．（24-25七年级下·广东河源·月考）如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，即两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方的角，这样的两个角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线的两侧，这样的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线的同侧，这样的一对角叫做同旁内角，进行判断即可． 【详解】解：①由同位角的概念得出：与是同位角，正确； ②由同旁内角的概念得出：与是同旁内角，正确； ③由内错角的概念得出：与不是内错角，错误； ④由内错角的概念得出：与是内错角，错误． 故正确的有2个，是， 故选：A． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，理解和掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判断的前提． 3．（25-26七年级上·四川眉山·期末）如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，求出和，即可求出答案． 本题主要考查了平行线的性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】延长交于点， ,, ， ， , , ，， , , 故选：C． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，解题的关键是理解题意并掌握这些知识点． 过点E作，过点F作，根据题意得，，根据平行线的性质得，，可得，，，，即可得，，则，，得，即可得，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作， ∵，平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ，， ∴， ， 即，， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选A． 5．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，在三角形中，点，分别在边，上，连接，过点作交的延长线于点，交于点，延长至点，连接并延长交于点，则下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定条件“同位角相等，两直线平行”，由可证明，故①正确；由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”以及平行线的判定条件“内错角相等，两直线平行”，由可证明，再借助，可知，即有，进而证明，故④正确；然后证明，，由于没有条件证明和相等，可判定②和③不确定． 【详解】解：如图， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∵ ∴， ∵， ∴， ∵没有条件证明和相等， 故②和③不确定， 故正确答案是①④； 故选：B． B 提高训练 6．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，则图中内错角共有_________对． 【答案】4 【分析】本题主要考查了内错角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 根据内错角的定义确定内错角的对数即可． 【详解】解：如图：和是一对内错角；和是一对内错角；和是一对内错角；和是一对内错角；即内错角共4对． 故答案为4． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点C在点A北偏东方向，点C在点B北偏西方向，则的度数为______． 【答案】/81度 【分析】过点作，可得，根据两直线平行内错角相等可得，，再根据角的和差即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 8．（2025七年级下·浙江衢州·模拟预测）如图，直线，平分，平分，点，，在同一直线上，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．作，，根据平行公理的推论，平行线的性质，对顶角的性质和角平分线的性质表示出和，再结合即可求出． 【详解】如图，作，， 则， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 设， ∵， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则______． 【答案】142 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角平分线，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 过点作，过点作，得到，因此，，，根据角的和差可得，从而有，根据角平分线的定义得到．过点作，则，因此． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ，，， ， ， 即， ， ， 平分，平分， ，， ． 过点作， ， ， ，， ． 故答案为：142． 10．（2025七年级下·江苏·专题练习）如图，在两条笔直且平行的景观道上放置P，Q两盏激光灯．其中光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转4秒，光线才开始转动，当时，光线旋转的时间为___秒． 【答案】6或43.5 【分析】依据两直线平行，同位角相等，内错角相等，列出关于时间t的关系式可求． 【详解】解：当，则，如下图： ∵， ∴． ∴． 设光线旋转时间为t秒， ∴ ∴． 当，则，如下图： ∵， ∴． ∴． 设光线旋转时间为t秒，此时光线由处返回， ∴． ∴． ∴． ∴． 综上，光线PB旋转的时间为6或43.5秒． 故答案为：6或43.5． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确计算相应的旋转角度是解题的关键． C 培优训练 11．（2025七年级下·浙江衢州·模拟预测）已知同一平面内有条直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线与相交线的综合运用．没有明确平面上条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想．从平行线的角度考虑，通过合理设置平行直线组与相交直线来实现，作出草图即可看出． 【详解】解:①条平行线条相交且不平行于前一组的直线 ②条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 ③条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 12．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，已知，再添加什么条件可使？请就你添加的条件说明的理由． 【答案】（补充的条件不唯一），见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：添加的条件是（补充的条件不唯一），这样有． 理由：，， ，即， （同位角相等，两直线平行）． 13．（25-26七年级上·江西南昌·期末）（1）如图①若，则，你能说明理由吗？ （2）反之，在图①中，若，直线与有什么位置关系，你能说明理由吗？ （3）若将点E移至图②的位置，此时，，之间有什么关系，你能说明理由吗？ （4）在图③中，，与之间有何关系？（直接写结论） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，根据平行线的性质探究角的关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先根据平行线的性质得出，再结合，得出，从而可得，于是可证得． （2）先根据平行线的性质得出再结合，，，得出，从而可得，于是可证得. （3）先根据平行线的性质得出，得出，根据平行线的性质得出，从而可得，结合，得出． （4）先得出，再根据平行线的性质得出，得出，结合，从而可得． 【详解】（1）解：过E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即． （2）解：如图1，∵， ∴. ∵，，， ∴， ∴， ∴. （3）解：过E作. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：过点F作，如图4所示，则． ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 【答案】（1）15°或115°；（2）120° 【分析】（1）根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案． （2）过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI=35°，根据平角的定义可求∠ADB=30°，根据直角三角形的性质可求∠ABH=60°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H． 【详解】解：（1）①当∠1=∠2时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠1=2∠1-15°， 解得∠1=15°； ②当∠1+∠2=180°时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠2+2∠2-15°=180°， 解得∠2=65°， ∴∠1=180°-∠2=115°； （2）过D点作DI∥EF， ∵∠F=145°， ∴∠FDI=35°， ∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°， ∴∠ABH=90°-30°=60°． ∵GH∥AB， ∴∠H=180°-60°=120°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等． 15．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质和判定进行填写即可； （2）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可； （3）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可． 【详解】解：（1）过点作直线，使． 因为， 所以．（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以． （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线重难点题型专训 （4个知识点+13大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 平面内两直线的位置关系 题型二 用直尺、三角板画平行线 题型三 同位角、内错角、同旁内角 题型四 同位角相等两直线平行 题型五 内错角相等两直线平行 题型六 同旁内角互补两直线平行 题型七 两直线平行同位角相等 题型八 两直线平行内错角相等 题型九 两直线平行同旁内角互补 题型十 平行公理推论的应用 题型十一 根据平行线判定与性质求角度 题型十二 利用平行线的性质在生活中的应用 题型十三 根据平行线判定与性质证明 拓展训练一 三线八角问题 拓展训练二 根据平行线的性质探究角的关系 拓展训练三 拐点模型 拓展训练四 平行线判定与性质的综合应用 知识点一：平行 1、定义：同一平面内，不相交的两条直线，记作a∥b； 定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线． 2、平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 例：a∥b，b∥c，则a∥c（平行传递性） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆渝北·期末）如图，，直线分别与，交于点，．若，则的度数是________． 知识点二： 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，已知：，求证：．淇淇的证明过程为：“，，，∴．”他的证明中判断平行的依据为（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，请添加一个符合要求的条件，使得，这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 知识点三： 平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【即时训练】 1．（2026·陕西咸阳·一模）如图，点在射线上，直线，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆长寿·期中）如图，是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线经过点O，是经过剪刀手柄D的直线．若，，则的度数是________． 知识点四：认识同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·天津·月考）观察图，并完成下面的填空： （1）与___________是同位角； （2）与___________是内错角； （3）与___________是同旁内角． 【经典例题一 平面内两直线的位置关系】 【例1】（24-25七年级下·四川自贡·月考）同一平面内有a,b,c三条直线，如果，，那么b与c的位置关系是（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．重合 D．以上都有可能 【例2】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）在同一平面内，与一边互相垂直，另一边互相平行，且比大，则的度数为_________°． 1．（24-25七年级下·广东珠海·期中）如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中，，，保持三角板不动，三角板可绕点C旋转，则下列结论： ①；②随着的变化而变化；③当时，则或；④当时，一定垂直于． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·河南南阳·期末）在同一平面内，现有2025条直线，，，，，且有，，，，…，则直线与的位置关系是______． 3．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【经典例题二 用直尺、三角板画平行线】 【例1】（25-26八年级上·上海闵行·单元测试）下列各图中，不能画出的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·四川广元·期末）用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有__________．（请填写序号） 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，借助三角板画直线的操作过程，其数学依据是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 2．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是___________． 3．（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，按要求画图． (1)过点P画直线； (2)连接；过B画的垂线，垂足为C、D； (3)过点P画的垂线段，垂足为E． 【经典例题三 同位角、内错角、同旁内角】 【例1】（25-26七年级下·上海闵行·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，若，则的同位角的度数为______，的内错角的度数为______，的同旁内角的度数为______． 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·周测）如图，直线、被、所截，下列结论中能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）如图． （1）与是直线，被直线所截形成的______角； （2）与是直线______被直线______所截形成的_______角； （3）与是直线______被直线_____所截形成的______角； （4）与是直线______被直线____所截形成的______角． 3．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，直线被直线所截，交点分别为，那么图中的同位角、内错角、同旁内角各有多少对？请分别写出两对，填入下表． 名称 对数 举例 同位角 内错角 同旁内角 【经典例题四 同位角相等两直线平行】 【例1】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）借助一副三角尺，我们可以画出已知直线a的平行线： ①将含角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含角的三角尺的最短边紧贴； ②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则，这样画图的依据是_________． 1．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）下列各图中，能判定的是（    ） A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 2．（24-25七年级下·山西太原·期中）如图1，一张透明的正方形纸片上有线段和点，小明依次按照图2、图3的方法折叠，展开后如图4所示，其中过点的折痕与平行，判断的依据是______． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，，被直线所截，且． (1)与平行吗？为什么？ (2)若平分，，求的度数． 【经典例题五 内错角相等两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，，，，则的度数为_____________时，． 1．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，分别平分与，且．证明．下面是不完整的推理过程， 证明：分别平分与（已知）， ___________（角平分线的定义）， （已知）， _________（等量代换）， （已知）， _________， ． 下列说法错误的是（    ） A．☆表示 B．表示 C．表示 D．表示内错角相等，两直线平行 2．（24-25七年级下·江苏·周测）如图，在四边形中，连接，其中若，则；若，则；若，则；若，，则判断正确的是_____． 3．（25-26七年级上·福建泉州·期末）某次几何课上，黄老师借助字母，命制了如下几何题目： （1）如图1，已知，，证明：，请你将推理过程补充完整； （2）如图2，若，，证明：． (1)证明：（已知）， ①__________________（两直线平行，内错角相等） （已知）， ②__________________（③__________________） （④__________________） (2)模仿（1）题，写出推理过程． 【经典例题六 同旁内角互补两直线平行】 【例1】（25-26七年级上·河南周口·期末）若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026七年级下·上海闵行·专题练习）如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 1．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断的条件有______（填序号）． 3．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知四边形纸片，小明按如图所示的方法折纸，能否折出经过点且平行于的折痕吗？说说你的理由． 【经典例题七 两直线平行同位角相等】 【例1】（25-26八年级上·四川成都·月考）下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，，若，．则______． 1．（24-25七年级下·贵州安顺·期末）吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，已知、、在一直线上，平分，请填写的理由． 解：因为平分___________， 所以___________． 因为___________， 所以___________， ___________． 所以___________． 3．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，、、是直线，在直线上，在直线上，，，求证：．阅读下面的解答过程，并填空． 证明：因为(已知)，（    ） 得(等量代换) 所以(同位角相等，两直线平行) 得(     ) 因为(已知) 得 所以（    ） 所以 【经典例题八 两直线平行内错角相等】 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东潍坊·月考）如图，请添加一个条件，使得，则符合要求的其中一个条件可以是__________．根据是__________． 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，下列条件中，能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）如图，下列条件：①；②；③；④，能判断的是__________． 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，已知为上一点，直线过点D，点E与点C在异侧，且．作射线，满足点G与点E在同侧，且，求证：．以下是其证明的大致过程，请将对应的内容或依据补全． 证明：与互为对顶角， （ ）． ， ， ． ， （ ）， （ ）． 【经典例题九 两直线平行同旁内角互补】 【例1】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图：___________，（填写一个满足条件的理由，用符号表示，不得添加任何辅助线）． 1．（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·海南海口·期末）如图，要得到，则需要条件______（填一个你认为正确的条件即可），理由是_____． 3．（25-26八年级上·上海闵行·单元测试）如图，直线，被直线所截． (1)如果，你能得到哪些角之间的等量关系？ (2)写出能够证明的条件（能写几个就写几个）． 【经典例题十 平行公理推论的应用】 【例1】 （24-25七年级下·北京·期中）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【例2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线，且直线p和直线q分别与直线m，直线n交于点C、D和点A、B，点E是直线q上的一个动点，，，当点E在射线上运动时，______度． 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D．的度数无法确定 2．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为_________． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期中）已知：如图，点E在上，，垂足分别为D、F，点M、G在上，，．求证：． 【经典例题十一 根据平行线判定与性质求角度】 【例1】（25-26七年级上·四川遂宁·期末）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏无锡·开学考试）如图，直线，，，则____． 1．（25-26七年级上·山西临汾·期末）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西宜春·期末）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______； (2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数． 【经典例题十二 利用平行线的性质在生活中的应用】 【例1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是___________度． 1．（2025·浙江·二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为_____． 3．（24-25七年级下·吉林·月考）如图，小明绘制了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【经典例题十三 根据平行线判定与性质证明 】 【例1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）四边形如图所示，是延长线上的一点，下列推理正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【例2】（25-26八年级上·上海闵行·期末）小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有_____个人的说法是正确的． 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置， 使，两点分别落在直线，上． 对于给出的四个条件：，；；；；．能判断直线的有______（填序号）． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·周测）如图，已知，垂足为点，，垂足为点，，请填写的理由． 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴（ ）， ∴ （ ）， ∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴． 【拓展训练一 三线八角问题】 【例1】（2025·广东佛山·一模）两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成（    ） A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角 【例2】（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量，要使木条与平行，则的度数必须是______． 1．（2025·福建厦门·二模）如图是小明学习“三线八角”时制作的模具，木条a，b与c钉一起，，，要使木条a与b平行，木条a绕点A按顺时针旋转的度数至少是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥一定能判定的条件是______填所有正确条件的序号 3．（24-25七年级下·北京昌平·期末）陈佩与赵晴川在讨论性质“平行于同一条直线的两条直线平行”的证明方法． 陈佩说道：“我们之前证明两条直线平行时，常在‘三线八角’的图形中进行研究．此图中没有‘三线八角’的图形，能不能构造出‘三线八角’的图形呢？” 赵晴川想了想，说道：“可以构造一条截线，与三条已有直线，，分别交于点，，，然后就可以用平行线的判定定理进行证明了”． 按照上述同学的说法，完成证明： 已知：如图，，．    求证：． (1)在图中画出辅助线，并标出点，，； (2)补全证明过程： ∵， ∴______（两直线平行，同位角相等）． ∵， ∴（两直线平行，______角相等）． ∴______． ∴（______）． 【拓展训练二 根据平行线的性质探究角的关系】 【例1】（24-25七年级下·山东淄博·月考）如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海·月考）如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）某乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，再沿方向修建．若直线，若，则的值是___________． 3．（24-25八年级上·河北承德·月考）发现与探究 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图1、图2探究这两个角的关系． （1）如图1，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （___________，___________）． （___________）． （2）如图2，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明： 思考与结论 （3）综合上述，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角___________． 【拓展训练三 拐点模型】 【例1】（2025七年级下·天津·专题练习）如图，已知，则等于（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·广东广州·期末）立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，，，则的度数为______． 1．（25-26七年级下·上海闵行·周测）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图①，，点，分别在直线，上，点在直线，之间． (1)若，，求的度数． (2)如图②，已知直线，为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，点为直线、所确定的平面内一点． (1)如图，，．求的度数 (2)如图，直接写出， 和的数量关系（不用写具体证明过程） (3)如图，点在直线上，若，，，过点作，求的度数． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）【问题提出】 （1）如图①，，，，求的度数； （2）如图②，，点E在直线上，点P在直线上方，连接，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，，点E在直线上，点P在直线上方，连接，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【拓展训练四 平行线判定与性质的综合应用】 【例1】（2026·河南商丘·一模）图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·山东青岛·模拟预测）由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于______________． 1．（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图1，高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板．将小桌板放下后，桌面与车厢的底部平行，图2是其平面示意图，，．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为__________度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点） 3．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． A基础训练 1．（24-25七年级下·广东东莞·开学考试）已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 2．（24-25七年级下·广东河源·月考）如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·四川眉山·期末）如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，在三角形中，点，分别在边，上，连接，过点作交的延长线于点，交于点，延长至点，连接并延长交于点，则下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 提高训练 6．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，则图中内错角共有_________对． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点C在点A北偏东方向，点C在点B北偏西方向，则的度数为______． 8．（2025七年级下·浙江衢州·模拟预测）如图，直线，平分，平分，点，，在同一直线上，若，则_____． 9．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则______． 10．（2025七年级下·江苏·专题练习）如图，在两条笔直且平行的景观道上放置P，Q两盏激光灯．其中光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转4秒，光线才开始转动，当时，光线旋转的时间为___秒． C 培优训练 11．（2025七年级下·浙江衢州·模拟预测）已知同一平面内有条直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）． 12．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，已知，再添加什么条件可使？请就你添加的条件说明的理由． 13．（25-26七年级上·江西南昌·期末）（1）如图①若，则，你能说明理由吗？ （2）反之，在图①中，若，直线与有什么位置关系，你能说明理由吗？ （3）若将点E移至图②的位置，此时，，之间有什么关系，你能说明理由吗？ （4）在图③中，，与之间有何关系？（直接写结论） 14．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 15．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 学科网（北京）股份有限公司 $