专题02 三角形的内角和重难点题型专训（2个知识点+5大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（沪教版2024）

本讲义聚焦三角形内角和定理及外角性质两大核心知识点，系统梳理内角和定理的证明方法（剪拼、作平行线等），并延伸至与平行线、角平分线结合的计算，再过渡到外角定义及性质应用，构建从基础到综合的学习支架。 资料以5大题型+3拓展训练为框架，经典例题结合中考真题，如折叠、旋转综合问题培养几何直观与空间观念，即时训练强化推理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过自我检测查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

专题02 三角形的内角和重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 三角形内角和定理的证明 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型四 三角形内角和定理的应用 题型五 三角形的外角的定义及性质 拓展训练一 根据三角形内角和定理求角度 拓展训练二 三角形折叠问题综合 拓展训练三 三角形中旋转问题综合 知识点一：三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【即时训练】 1．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南焦作·期末）如图所示，在中，，是的平分线，则________． 知识点二：三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）将含角的直角三角板如图放置，使其三个顶点分别落在三条平行直线上，其中．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北保定·月考）如图，_________．（填“>”或“<”） 【经典例题一 三角形内角和定理的证明】 【例1】（2025八年级上·黑龙江·专题练习）在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【例2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，点在上且，连结，则________.    1．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 2．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，则_______． 3．（25-26七年级下·江西新余·月考）三角形内角和定理：三角形内角和等于． 请结合下图，给出证明过程． 【经典例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例1】（24-25七年级下·上海松江·课后作业）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，，，，则_____． 1．（24-25七年级下·四川泸州·月考）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为__________． 3．（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【经典例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例1】（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，、的平分线，相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）将如图①所示的剪成三部分放在如图②的网格中，已知点O，A，B，C均在格线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北邢台·月考）如图是嘉嘉在电脑上的截图，不慎将三角形顶点及部分边截掉，、的外角平分线交于点． （1）若，，则截掉的___________； （2）若，则___________． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 【经典例题四 三角形内角和定理的应用】 【例1】（25-26七年级下·江苏盐城·月考）如图所示，将一副三角尺放置于两条平行线之间，已知，那么为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东烟台·月考）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，延长线交的外角平分线于点，若比大，则的度数是______． 1．（25-26七年级下·福建泉州·期中）将一副三角板按如图所示叠放在一起，直角顶点为O，，与交于点E，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处，与交于点G，若，则的度数为 _________ ． 3．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点． (1)求证：． (2)请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果） 【经典例题五 三角形的外角的定义及性质】 【例1】（2026·广东深圳·一模）如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板m和n之间，平面镜与挡板n形成的锐角为．一支激光笔从点A处发出的光束投射到平面镜上的点B处，反射光束投射到挡板m上的点C处．设光束所在直线与挡板m的交点为D，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江西新余·月考）如图，在中，，外角，则的度数为_____． 1．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，和相交于点O，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 3．（24-25七年级下·山西长治·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形． 初探： (1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展 (3)如图，平分，平分，若，，求的度数． 【拓展训练一 根据三角形内角和定理求角度】 【例1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，的平分线交于点，连接，平分，交于点，若的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，点在的边上，连结，作的平分线交于点，在上取点F，使，．若在中，有一个角的度数是另一个角度数的2倍，则的度数为_________．    1．（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海松江·课后作业）（1）等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是_____________； （2）在中，，若，则的度数为_____________； （3）在中，，若，则的度数为_____________； （4）若等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数为_____________． 3．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）综合与实践 某数学活动小组在研究角度变化时，利用一副三角板尝试完成探究 (1)将一副三角板按如图1的方式摆放，边与重合，，，，射线分别是，的角平分线，求的度数； (2)如图2，保持不动，将绕点A逆时针转动一定角度得到边在的内部，射线分别是，的角平分线． ①若，求的度数； ②在绕点A逆时针转动的过程中，的度数是否发生变化？若变化，求出的度数；若不变化，请说明理由． 【拓展训练二 三角形折叠问题综合】 【例1】（25-26八年级上·浙江台州·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，．第一步，将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为___________°． 1．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，现把沿斜向上折叠得，折叠后产生的夹角、．则________． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）将长方形纸条折叠，． (1)按如图①折叠，若，则_____； (2)按如图②折叠，，请用含的代数式表示； (3)如图③，在长方形纸片的两端分别折叠，和分别为折痕，且，试说明和之间的关系． 【拓展训练三 三角形中旋转问题综合】 【例1】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，将以点A为旋转中心，顺时针方向旋转，使得点C，A，在同一直线上，，则旋转角的大小是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江西抚州·月考）一次数学拓展探究活动课上，小晨同学将一副三角板按如图所示方式摆放，边重合，，然后将三角板绕着点按顺时针方向以每秒的速度旋转．在此旋转过程中，当旋转时间为__________时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，直角三角形与直角三角形的斜边在同一直线上，，,平分，将绕点D按逆时针方向旋转（），在旋转过程中，当________时，与的一边平行． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空：_________，_________． (2)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时， ①请直接写出__________，________（结果用含n的代数式表示）； ②若恰好是的倍，求n的值． (3)如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P．当时，则_______ ②在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． A基础训练 1．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，，则下列关系式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·二模）如图，直线，将三角尺直角顶点放在直线b上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海松江·期末）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，使，在同一直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河北衡水·开学考试）如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·广东广州·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点可在槽中滑动，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． B 提高训练 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）如图所示，___________． 7．（25-26七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，且．若，则的度数为_____． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，点在线段上，，，点在上，若，:，，则_______．    9．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则________ ． 10．（24-25七年级下·河南郑州·月考）小明在用反证法解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面的四个推理步骤： ①又因为，所以，这与三角形内角和定理相矛盾． ②所以． ③假设． ④由，得，所以． 请写出这四个步骤正确的顺序______． C 培优训练 11．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，点在边上．根据图中标出的度数，求的值． 12．（24-25八年级上·上海徐汇·月考）已知：如图，在中，平分，点F是的中点，，交的延长线于点E．求证：． 13．（25-26七年级下·上海松江·期中）如图1，在中，． (1)若，点D，E在BC上，，，则的度数为 ； (2)如果把中“”的条件去掉，其余条件不变，如图2，那么的度数会改变吗？请说明理由． 14．（2025·山东潍坊·二模）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法． 已知：如图， ． 求证：． 证明：作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（ ）． 因为，，，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（ ）． (1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整； (2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法． 15．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）【问题情境】 如图，在中，，是的角平分线，过边上一点D，作于点E，的平分线交于点G． 【特例分析】 （1）如图1，若，求与的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，若，的延长线与的延长线交于点H，求的度数．（结果用含的代数式表示） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形的内角和重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 三角形内角和定理的证明 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型四 三角形内角和定理的应用 题型五 三角形的外角的定义及性质 拓展训练一 根据三角形内角和定理求角度 拓展训练二 三角形折叠问题综合 拓展训练三 三角形中旋转问题综合 知识点一：三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【即时训练】 1．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26七年级上·河南焦作·期末）如图所示，在中，，是的平分线，则________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的有关计算． 根据求出，进而求出，根据角平分线的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故答案为：． 知识点二：三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）将含角的直角三角板如图放置，使其三个顶点分别落在三条平行直线上，其中．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形外角的性质得出，再由平角定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·河北保定·月考）如图，_________．（填“>”或“<”） 【答案】< 【分析】根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角进行解答即可． 【详解】解：根据三角形外角的性质得到． 【经典例题一 三角形内角和定理的证明】 【例1】（2025八年级上·黑龙江·专题练习）在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键． 作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：A、由， 得，． 由， 得． 故A不符合题意； B、由于D， 得， 无法证得三角形内角和是． 故B符合题意； C、由， 得，，． 由， 得，， 那么． 由， 得． 故C不符合题意， D、由， 得，． 由， 得． 故D不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，点在上且，连结，则________.    【答案】10 【分析】根据三角形的内角和定理求出度数，再利用等腰对等角和外角的定义表示出即可求出度数. 【详解】解：中，，， . ， . ，， ， ， . 故答案为：10. 【点睛】本题考查了三角形的内角和、外角定义和等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质和内角和公式. 1．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 2．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，则_______． 【答案】30 【分析】由，可知，由此可知，由可知，由可知，由此可得即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解决本题的关键． 3．（25-26七年级下·江西新余·月考）三角形内角和定理：三角形内角和等于． 请结合下图，给出证明过程． 【答案】见解析 【分析】过顶点作直线，利用平行线的内错角相等性质，把另外两个内角转移到该顶点处，与原内角组成平角。因为平角的度数为，所以通过等量代换可推导出三角形内角和等于． 【详解】证明：过顶点作直线， ∴，， ∵， ∴， 因此三角形内角和等于． 【经典例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例1】（24-25七年级下·上海松江·课后作业）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得． 【详解】解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 【例2】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接，设，，，，由平行线的性质得，进一步得出，从而可得结论 【详解】解：连接，如图， ， 设，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴ 故答案为： 1．（24-25七年级下·四川泸州·月考）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为__________． 【答案】 【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解， 本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【经典例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例1】（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，、的平分线，相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质与三角形内角和性质即可求出的值． 【详解】解：由题意可知：， ∵在中，、的平分线是，， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【答案】 【分析】（1）根据三角形的内角和得到，由对顶角相等即可得到结论； （2）根据题意可得，得到，根据角平分线得到，再根据得到，即可得到答案． 【详解】解：（1） 而， ； （2），， ， ， 和的平分线和相交于点， ， ， ． 1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）将如图①所示的剪成三部分放在如图②的网格中，已知点O，A，B，C均在格线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，根据网格图，得到为内角角平分线的交点是解题的关键． 根据题意，为内角角平分线的交点，结合角平分线的性质可得，进而得到，再利用的内角和即可求解． 【详解】解：由网格图可知，到的距离相等， 则为内角角平分线的交点， ， ， ， ，即， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·河北邢台·月考）如图是嘉嘉在电脑上的截图，不慎将三角形顶点及部分边截掉，、的外角平分线交于点． （1）若，，则截掉的___________； （2）若，则___________． 【答案】 70 55 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据邻补角定义可知，，根据角平分线定义可知，因为，即可得到，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：（1）在中，， ，， ； （2）如下图所示， ，， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， 在中，， ． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）通过角平分线定理，再结合三角形内角和为，推导出各图中与的关系； （2）若选择图1，由角平分线定理得，，再结合内角和，可推出；若选择图2，由角平分线定理得，，再结合三角形内角和为，可推出；若选择图3，由角平分线定理得，，可推出． 【详解】（1）解：如图1，； 如图2，； 如图3，； （2）证明：选择图1， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 或选择图2， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴. ∵， ∴； 或选择图3， ∵平分，平分 ∴，. ∴， ∴. 【经典例题四 三角形内角和定理的应用】 【例1】（25-26七年级下·江苏盐城·月考）如图所示，将一副三角尺放置于两条平行线之间，已知，那么为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出和的度数，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，作， ∵， ∴， ∵一副三角尺放置于两条平行线之间， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例2】（24-25七年级下·山东烟台·月考）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，延长线交的外角平分线于点，若比大，则的度数是______． 【答案】/80度 【分析】先由、分别是及其外角平分线，得出，再由比大，根据三角形内角和定理求出然后由角平分线及外角的性质即可得出的度数． 【详解】解：平分， ，， 平分的外角， ， ， 即， ， ， ，． 平分， ， ． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·福建泉州·期中）将一副三角板按如图所示叠放在一起，直角顶点为O，，与交于点E，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的内错角相等求出的度数，结合三角板的固定角度，根据三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由一副三角板的性质可知， 在中，三角形内角和为， ∴． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处，与交于点G，若，则的度数为 _________ ． 【答案】 【分析】把一张矩形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处，即可得到，，再根据，可得． 【详解】解：∵把一张矩形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点． (1)求证：． (2)请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)图2结论：；图3结论： 【分析】（1）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，结合角平分线的定义即可得证； （2）在图2中，、的角平分线交于点，，在中，，即可得出；在图3中，根据三角形的外角的性质可得，在中，，进而在中，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的外角平分线，平分，且、交于点． ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴ （2）解：图2结论：；图3结论： 在图2中，、的角平分线交于点， ∴， 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ 在图3中，、的外角平分线交于点， ， ∴， 在中， 在中， ． 【经典例题五 三角形的外角的定义及性质】 【例1】（2026·广东深圳·一模）如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板m和n之间，平面镜与挡板n形成的锐角为．一支激光笔从点A处发出的光束投射到平面镜上的点B处，反射光束投射到挡板m上的点C处．设光束所在直线与挡板m的交点为D，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，根据平行线的性质，结合三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 【例2】（25-26七年级下·江西新余·月考）如图，在中，，外角，则的度数为_____． 【答案】/43度 【分析】三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 1．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，和相交于点O，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．∵与是对顶角， ∴， 故本选项不符合题意； B．∵是的外角， ∴， 故本选项不符合题意； C．∵是的外角， ∴， 故本选项不符合题意； D．∵是的外角， ∴， 故本选项符合题意． 【点睛】三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 【答案】 【分析】延长交于点，如图所示，先由平行线性质得到，在中，由三角形内角和定理及外角性质列等式求解即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， 在中，，，， ． 3．（24-25七年级下·山西长治·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形． 初探： (1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展 (3)如图，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)． 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键． （1）连接并延长至点，由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果； （2）由（1）得，结合，，计算即可得出结果； （3）根据角平分线的定义以及（1）、（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：连接并延长至点， 则，， ∵，， ∴ （2）解：由（1）得：， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【拓展训练一 根据三角形内角和定理求角度】 【例1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，的平分线交于点，连接，平分，交于点，若的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义得，在中，由三角形内角和定理可得，由角平分线定义得，，进而可求得．本题主要考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， 在中，， ∵，的平分线交于点， ∴平分， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，点在的边上，连结，作的平分线交于点，在上取点F，使，．若在中，有一个角的度数是另一个角度数的2倍，则的度数为_________．    【答案】或 【分析】由可得，进而得出，，再由可得，进而证明，结合ED平分，可得，再根据2倍关系讨论求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵ED平分，即， ∴， 若在中，有一个角的度数是另一个角度数的2倍， 当时，，， 当时，，， 综上所述：若在中，有一个角的度数是另一个角度数的2倍，则的度数为或 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、三角形内角等于，解题关键是通过证明、得出． 1．（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，有同位角相等，即 ，进而求出 ，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】如图： 故答案选A 【点睛】本题考查平行线的性质、两角互补与三角形内角和定理，找到为关键． 2．（24-25七年级下·上海松江·课后作业）（1）等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是_____________； （2）在中，，若，则的度数为_____________； （3）在中，，若，则的度数为_____________； （4）若等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数为_____________． 【答案】 /100度 /65度 /80度 或 【分析】（1）依据等边对等角，得到底角相等，当底角为时，两底角之和大于，不符合三角形内角和定理，故顶角为； （2）依据等边对等角及三角形内角和定理求解即可； （3）依据等边对等角及三角形内角和定理求解即可； （4）依据三角形内角和定理及等边对等角，分顶角或底角为时进行求解即可． 【详解】解：（1）如图，在，为顶角，， 则， 当时， ， ， 符合题意； 当时，， 不符合题意， 即定角度数为：， 故答案为：； （2）如图，在， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）如图，在， ，， ， ， ， 故答案为：； （4）如图，在，为顶角，， 则， 当时， ， ， 符合题意， 当时， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理；解题的关键是熟练掌握等边对等角． 3．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）综合与实践 某数学活动小组在研究角度变化时，利用一副三角板尝试完成探究 (1)将一副三角板按如图1的方式摆放，边与重合，，，，射线分别是，的角平分线，求的度数； (2)如图2，保持不动，将绕点A逆时针转动一定角度得到边在的内部，射线分别是，的角平分线． ①若，求的度数； ②在绕点A逆时针转动的过程中，的度数是否发生变化？若变化，求出的度数；若不变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②不变，理由见解析 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，理解图示，掌握角的和差计算是关键． （1）根据三角板的特点，三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）①根据题意得到，，由此即可求解； ②设，则，，，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； ②不变：理由如下： 设， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【拓展训练二 三角形折叠问题综合】 【例1】（25-26八年级上·浙江台州·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理求出，即可求出答案． 【详解】解：设， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，．第一步，将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为___________°． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，把握折叠的不变性是解题的关键． 分两种情况讨论，画出示意图，根据折叠的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当点在上时， 由折叠得， ， 那么此时，记与交于点G， ∴， ∵， ∴； 当点在上时， 由折叠知， 当点在上时，则， ∴， ∴， 综上：当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为或， 故答案为：或． 1．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，现把沿斜向上折叠得，折叠后产生的夹角、．则________． 【答案】/60度 【分析】本题考查的是图形折叠的性质．由图形翻折变换的性质可知，，，写出，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】由图形翻折变换的性质可知，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）将长方形纸条折叠，． (1)按如图①折叠，若，则_____； (2)按如图②折叠，，请用含的代数式表示； (3)如图③，在长方形纸片的两端分别折叠，和分别为折痕，且，试说明和之间的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，平行线中的折叠问题． （1）根据，得出，根据折叠可得，即可得，根据对顶角相等得出，即可求出． （2）根据，得出，根据折叠可得，即可得出． （3）根据，得出，根据折叠可得，结合得出，即可得，根据折叠可得，结合，即可得，即可得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 根据折叠可得， ∴． （3）解：∵， ， 根据折叠可得， 根据折叠可得，· ， ∵， ， ∴， ∴， ． 【点睛】 【拓展训练三 三角形中旋转问题综合】 【例1】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，将以点A为旋转中心，顺时针方向旋转，使得点C，A，在同一直线上，，则旋转角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：由题可知：旋转角是， ∵，， ∴． 【例2】（24-25七年级下·江西抚州·月考）一次数学拓展探究活动课上，小晨同学将一副三角板按如图所示方式摆放，边重合，，然后将三角板绕着点按顺时针方向以每秒的速度旋转．在此旋转过程中，当旋转时间为__________时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【答案】，或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意分三种情况，或或，分别画出示意图，根据平行线的性质以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意得，分三种情况： ①如图1，当三角板旋转至时， 有， 旋转时间为． ②如图2，当三角板旋转至时， 有， 旋转时间为． ③如图3，当三角板旋转至时，连接， 有． ，， ． ． 旋转时间为． 综上所述：当旋转时间为，或时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 故答案为：，或． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解决问题是解本题的关键．由同角的余角相等可判断①，求解从而可判断②，证明可判断③，画好的示意图，证明可判断④，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：， ，故①符合题意； 如图，，， ， ， 与不平行，故②不符合题意； ，， ， ∴，故③符合题意； 如图，当时， ， ， ， ， ，故④符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，直角三角形与直角三角形的斜边在同一直线上，，,平分，将绕点D按逆时针方向旋转（），在旋转过程中，当________时，与的一边平行． 【答案】或或 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用三角形内角和定理，得到，，根据与的一边平行，分以下三种情况讨论，若时，当时，若时，结合平行线的性质求解，即可解题． 【详解】解：如图，设与的交点为H， ，， ，， 若时，如图， ， ， 当时， ， 若时，如图， ， ， ， 故答案为：或或． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空：_________，_________． (2)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时， ①请直接写出__________，________（结果用含n的代数式表示）； ②若恰好是的倍，求n的值． (3)如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P．当时，则_______ ②在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)①15；②存在，12秒或48秒 【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质以及三角形的外角性质解答； （2）①根据两直线平行，内错角相等求出，再用三角形外角等于不相邻的两个内角和可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到；②根据恰好是的倍列方程，计算可求解； （3）①画出图形，由角的和差和三角形的外角性质可得答案；②分两种情况，根据平行线的性质列方程可解得答案． 【详解】（1）∵且， ∴ 又 ∴, ∵, ∴, ∴， 故答案为：120，90； （2）①如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ = =； 故答案为：，； ②当时，， 解得， ∴n的值是； （3）①如图： 根据题意得：， ， ， 又， ， 故答案为：15； ②存在，理由如下： 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为12或48． 【点睛】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． A基础训练 1．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，，则下列关系式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，解题的关键是掌握平行线的性质及三角形的外角性质、四边形的内角和等知识点．延长交于点P、延长交于点Q，由知，根据得可判断A；由知，再根据得可判断B；由AB∥DE知根据可得，据此可判断C，从而得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点P、延长交于点Q， ∵ ∴ ∵ ∴，故A选项正确； ∵ ∴ ∵ ∴故B选项正确； ∵， ∴ ∵ ∴， ∴故C选项错误，故D选项正确，； 故选：C． 2．（2025·江苏宿迁·二模）如图，直线，将三角尺直角顶点放在直线b上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质可得，再利用三角形的内角和定理可求，最后根据对顶角相等即可求出结果． 【详解】解：如图，∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理及对顶角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（25-26七年级下·上海松江·期末）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，使，在同一直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，灵活运用折叠的对称性和平行线的内错角相等是解题的关键．根据长方形对边平行，得到内错角相等，再结合折叠的角相等性质，推导出相关角度，进而求出∠ACF 的度数． 【详解】解：如图，设长方形左下角顶点为， ，长方形纸片分别沿，折叠， ， ， ， ， ． 故选：． 4．（25-26七年级上·河北衡水·开学考试）如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，，根据角平分线的定义可得，，然后整理得到，同理可得，从而判断出后一个角是前一个角的一半，然后表示出即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ， 即， ， ， ， ， ，， 以此类推，， ． 故选：B． 5．（25-26八年级上·广东广州·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点可在槽中滑动，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，，再利用三角形外角性质求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． B 提高训练 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）如图所示，___________． 【答案】/180度 【分析】此题主要考查了三角形的内角与外角的关系，以及三角形内角和定理，关键是掌握三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据三角形内角与外角的关系可得，，再根据三角形内角和定理可得，进而可得答案． 【详解】 解：，， ， ， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，且．若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形．证明三角形全等是解题关键．先通过证明，再利用三角形内角和推导角度即可． 【详解】解：， ， ， ，即， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，点在线段上，，，点在上，若，:，，则_______．    【答案】/度 【分析】根据题意及平行线的判定与性质推出，设，则，，根据三角形内角和定理、三角形外角性质推出，据此求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ：：， 设则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 9．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则________ ． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出，再得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分交于F，平分交于G， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·河南郑州·月考）小明在用反证法解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面的四个推理步骤： ①又因为，所以，这与三角形内角和定理相矛盾． ②所以． ③假设． ④由，得，所以． 请写出这四个步骤正确的顺序______． 【答案】③④①② 【分析】根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，这与三角形内角和定理相矛盾， ∴， ∴这四个步骤正确的顺序是③④①②． 故答案为：③④①②． 【点睛】本题考查反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．掌握反证法的一般步骤是解题的关键．也考查了等边对等角，三角形内角和定理． C 培优训练 11．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，点在边上．根据图中标出的度数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，再根据三角形外角的性质可得，最后求的值即可． 【详解】解：在中，，即． 在中，， ∴， ． 12．（24-25八年级上·上海徐汇·月考）已知：如图，在中，平分，点F是的中点，，交的延长线于点E．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理和角平分线的定义．先证明得到，再证明，得到，结合三角形内角和定理即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·上海松江·期中）如图1，在中，． (1)若，点D，E在BC上，，，则的度数为 ； (2)如果把中“”的条件去掉，其余条件不变，如图2，那么的度数会改变吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)的度数不变，理由见解析 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理． （1）根据等边对等角及三角形内角和求出，，同理可得，根据计算即可； （2）根据等边对等角得到，，即，，则，进而可推出． 【详解】（1）解：，， ， 同理可得 ． 故答案为：； （2）解：的度数不变，理由如下： ，， ，， ， ， ， ． 14．（2025·山东潍坊·二模）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法． 已知：如图， ． 求证：． 证明：作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（ ）． 因为，，，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（ ）． (1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整； (2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法． 【答案】(1)、、是的三个内角；两直线平行，同位角相等；等量代换 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质： （1）在外部，以为一边，作．根据平行线的判定与性质及平角定义求解即可； （2）过点A作，根据平行线的性质°，由此证明即可． 【详解】（1）解：已知：如图，、、是的三个内角． 求证：． 证明：如图，作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（两直线平行，同位角相等）． 因为，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（等量代换）． （2）证明：如图，过点A作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． （两直线平行，同旁内角互补）． 即． ∴． 15．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）【问题情境】 如图，在中，，是的角平分线，过边上一点D，作于点E，的平分线交于点G． 【特例分析】 （1）如图1，若，求与的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，若，的延长线与的延长线交于点H，求的度数．（结果用含的代数式表示） 【答案】（1），见解析；（2） 【分析】本题考查三角形内角和定理，知识点比较简单，但解题过程非常复杂．解答本题的关键是找到各相关角之间的等量关系，然后利用三角形内角和定理列出等式即可； （1）利用角平分线的性质及三角形内角和定理即可解答； （2）利用角平分线的性质及三角形内角和定理找到各角之间的等量关系求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线，是的平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∵是的角平分线，是的平分线， ∴，， 由（1）知：， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $