专题01 三角形的有关概念重难点题型专训（3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（沪教版2024）

该初中数学讲义以“3个知识点+9大题型”框架系统构建三角形概念知识体系，通过即时训练与经典例题结合，用定义解析、图形示例呈现三角形的概念、分类及三边关系，突出构成条件、第三边取值范围等重难点，助力学生形成清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题巩固概念（如三角形识别），提高题强化推理（如中线求长度），培优题拓展应用（如不均衡三角形判定）。通过“题型示例+拓展训练”培养推理意识与运算能力，支持不同层次学生提升，为教师精准教学提供有效资源。

专题01 三角形的有关概念重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 三角形的识别 题型二 三角形的分类 题型三 构成三角形的条件 题型四 确定第三边的取值范围 题型五 三角形角平分线的定义 题型六 画三角形的高 题型七 与三角形的高有关的计算问题 题型八 根据三角形中线求长度 题型九 根据三角形中线求面积 拓展训练一 与三角形的概念相关问题 拓展训练二 判断三条线段能否组成三角形 拓展训练三 三角形三边关系综合应用 知识点一：三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏盐城·开学考试）同学们已经学过平面图形的面积公式，根据这些公式的推导过程进行整理（如图），①②③所对应的图形分别是（   ）． A．平行四边形、长方形、三角形 B．三角形、平行四边形、长方形 C．长方形、平行四边形、三角形 D．长方形、三角形、平行四边形 【答案】C 【分析】题目主要考查基本图形的面积推导，理解基本图形的面积求解过程是解题关键． 根据图形之间的面积推导过程求解即可． 【详解】解：∵正方形和长方形的面积是通过画面积相等的小正方形，然后再数小正方形的个数推导出来的；圆的面积是把圆切割成若干面积相等的三角形，然后再拼成长方形，由长方形的面积推导出来的， ∴①是长方形； ∵平行四边形的面积是通过割补的方法，将其割补成长方形，由长方形的面积推导出来的； ∴②是平行四边形； ∵三角形与梯形的面积是由两个相同的图形拼成平行四边形，由平行四边形的面积推导出来的； ∴③是三角形； 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知，在中，，的对边长分别为a，b，若，，则a____b．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的边角关系． 根据“大角对大边，小角对小边”作答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 知识点二：三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【即时训练】 1．（25-26六年级上·山东淄博·开学考试）下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、可以判断是直角三角形，故A不符合题意； B、可以判断是锐角三角形，故B不符合题意； C、不能判断出三角形的类型，故C符合题意； D、可以判断是钝角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）如图，一张三角形纸片被撕去了一个角，撕去的这个角是___________，原来这张纸片的形状是___________三角形，也是___________三角形． 【答案】 67 锐角 等腰 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的应用及三角形的分类．三角形的内角和是，因此用减另外两个角的度数之和即可求出撕去的这个角是多少；然后根据三角形分类的标准填空，两腰相等，两个底角相等的三角形是等腰三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解： ， 三角形三个角都小于，所以原来这张纸片的形状是锐角三角形； ，所以原来这张纸片的形状也是等腰三角形． 答：撕去的这个角是；原来这张纸片的形状是锐角三角形，也是等腰三角形． 故答案为：67，锐角，等腰． 知识点三：三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列各组线段能组成一个三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】本题根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断时只需比较较短两条边的和与最长边的大小，即可得出结论． 【详解】解：A.∵，不满足三边关系， ∴ 不能组成三角形，不符合题意； B.∵，不满足三边关系， ∴ 不能组成三角形，不符合题意； C.∵，不满足三边关系， ∴ 不能组成三角形，不符合题意； D.∵，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，符合题意． 2．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒应是________．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案即可． 【详解】解：设甲小棒长度为，乙小棒长度为，根据图形可得甲小棒的长度大于乙小棒的长度，即， 设剪开甲小棒，剪成两段长度分别为、， ∵， ∴， ∴剪开甲小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开乙小棒， ∵乙小棒的长度小于甲小棒， ∴同理可得，乙小棒剪成的两根小棒的和小于甲小棒，故围不成三角形，不符合题意； 综上所述，剪开的小棒是甲． 故答案为：甲． 【经典例题一 三角形的识别】 【例1】（2026七年级下·上海杨浦·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【例2】（2026七年级下·上海杨浦·专题练习）如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的基本构成，掌握角、边的表示是关键，根据图示，写出角、边即可． 【详解】解：与的夹角是， ，的公共边是， 故答案为：①，②． 1．（24-25七年级下·上海杨浦·课后作业）如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·天津河西·期末）如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计数，熟练掌握按顶点分类计数、不重复不遗漏地数出所有角是解题的关键．先按顶点分类，依次找出以点、、、、为顶点的所有小于平角的角，再将各类角的数量相加得到总数． 【详解】解：以点为顶点的角：，共个， 以点为顶点的角：，，，，，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，共个， ， 故答案为： 3．（25-26七年级下·上海杨浦·课后作业）请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的知识，掌握三角形的有关概念是解题的关键．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；三条线段是三角形的边，两条线段构成的角是三角形的内角，据此即可得到答案． 【详解】解：图中三角形有：、、、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 【经典例题二 三角形的识别】 【例1】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 【例2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 【答案】 【分析】分三种情况，当时，当时，当时，分别找出符合条件的P点的个数，即可解决问题． 本题考查了直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，分三种情况： 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 综上所述，为直角三角形，符合条件的P点的个数为（个）． 故答案为：6． 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 2．（25-26八年级上·北京大兴·月考）如图，在中，，垂足为D，是钝角，E是上一点，且是锐角，，垂足为F．图中有_____个直角三角形，有_____个钝角三角形． 【答案】 5 2 【分析】本题考查了三角形及其分类．根据三角形按角分类的定义判断． 【详解】解：直角三角形：，，，，，共5个； 钝角三角形：，，共2个． 故答案为：6；2． 3．（25-26七年级下·上海杨浦·课后作业）小熊和小猫想把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个直角三角形，能做到吗？如果使折痕把原三角形分成两个锐角三角形呢？如果能，请说明折的方法；如果不能，也请说明理由． 【答案】折痕能把原三角形分成两个直角三角形，见详解； 折痕不能把原三角形分成两个锐角三角形，见详解 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的运用，理解并掌握三角形内角和定理是关键． 根据直角三角形，锐角三角形，钝角三角形的概念，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：折痕能把原三角形分成两个直角三角形，如图所示，过三角形一个顶点作对边的垂线，沿着该垂线折叠即可， 折痕不能把原三角形分成两个锐角三角形，如图所示， ∵， 当时，， ∴折痕不能把原三角形分成两个锐角三角形． 【经典例题三 构成三角形的条件】 【例1】（25-26八年级上·广西贵港·期末）下列长度(单位：)的3根小木棒首尾顺次相接能搭成三角形的是（  ） A．1，2，5 B．3，3，6 C．4，5，6 D．6，7， 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，核心知识点是“三角形任意两边之和大于第三边”，判断三根线段能否组成三角形，只需验证较短两边的长度之和是否大于最长边的长度，此方法可简化判断过程． 【详解】解：对于选项A，，不满足三角形三边关系，不能搭成三角形； 对于选项B，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能搭成三角形； 对于选项C，，满足三角形三边关系，能搭成三角形； 对于选项D，，不满足三角形三边关系，不能搭成三角形； 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）三角形中，已知两边长为和，还有一边与前面两边中的一边长相等，这个三角形的周长是_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，分两种情况：第三边的长为和第三边的长为，根据三角形中，任意两边之和大于第三边判断能否构成三角形，再结合三角形周长公式求解即可． 【详解】解：当第三边的长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当第三边的长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此时该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为； 故答案为：20． 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列各组长度的线段能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了构成三角形的条件，三角形三边关系的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 只需最长线段与其他两条线段的和比较大小即可判断能否构成三角形，以此对四组线段分别分析，再作出判断． 【详解】解：，不满足两边之和大于第三边， ∴该组线段不能构成三角形， 故A不符合题意． ，不满足两边之和大于第三边， ∴该组线段不能构成三角形， 故B不符合题意． ，满足三角形三边关系， ∴该组线段能构成三角形， 故C符合题意． ，不满足两边之和大于第三边， ∴该组线段不能构成三角形， 故D不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）已知三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x，且x是三条边中最短的，则第三边x的取值范围为________； 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边”进行解答即可得．解题的关键是熟记三角形的三边关系．根据，解答． 【详解】解：∵三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x， ∴， 解得， ∵x最小， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025八年级上·江苏·专题练习）（1）已知三条线段长度分别为、、，判断能否组成三角形． （2）在中，，，，请比较三角形三个内角的大小． 【答案】（1）能组成三角形；（2） 【分析】本题考查了构成三角形的条件，三角形的边角关系． （1）根据三角形三边关系判断即可； （2）根据大边对大角判断即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴能组成三角形； （2）解：∵， ∴． 【经典例题四 确定第三边的取值范围】 【例1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再找出符合范围的选项即可． 【详解】解：设此三角形第三边的长为， 则，即， 所以四个选项中只有符合条件． 【例2】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）已知一个三角形的两边长分别为1，6，第三边长为整数，则第三边长为_____． 【答案】6 【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解． 【详解】解：设第三边长为a， 则，即， 第三边长a为整数， 第三边长． 1．（2026·河北石家庄·一模）平面内，将长度分别为1，4，2，的线段，顺次首尾相接构成如图所示的凸四边形，则的值可能是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】设这个凸四边形为，连接，设，在中，根据三角形三边关系得，从而得出，，在中，根据三角形三边关系得，即可得出，从而解答即可． 【详解】解：如图，设这个凸四边形为，连接，设， 在中，，即， ∴，， 在中，， ∴， 观察四个选项可知，只有选项B符合． 2．（25-26七年级下·河北邯郸·月考）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是____________．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形三边关系，熟记三角形三边关系是解决问题的关键．设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， ∴第三根小棒的长度可以是4（答案不唯一）． 故答案为：4（答案不唯一）． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c均为整数． (1)若，，求边长c的取值范围； (2)在（1）的条件下，若c为奇数，求的周长． 【答案】(1) (2)10或12 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解此题的关键． （1）由三角形三边关系可得，即可得解； （2）由题意可得或，再分两种情况，结合三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵的三边长为a，b，c，且，， ∴，即， ∴； （2）解：∵在（1）的条件下，c为奇数， ∴或， 当时，的周长， 当时，的周长， 综上所述，的周长为10或12． 【经典例题五 三角形角平分线的定义】 【例1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，将折叠，使点落在边上的处，则折痕是（    ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．边的垂直平分线 【答案】A 【分析】折叠是一种全等变换，折叠前后对应部分全等，即对应角相等、对应边相等．根据折叠的性质，分析折痕与各元素的关系，从而判断折痕的性质． 【详解】解：∵折叠后点落在边上的处， ∴与关于折痕对称， 根据折叠的性质，对称的两个三角形全等，即， 根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，所以 根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线， 由于，即折痕把分成了两个相等的角， 所以折痕是的角平分线． 【例2】（25-26七年级下·上海杨浦·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 1．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 2．（25-26七年级下·上海杨浦·课后作业）如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】按照动点最值问题的做法，作点关于的对称点，由对称性得，结合三角形三边关系及点到直线距离垂线段最短得出，由等面积法求出即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点，如图所示： 是的角平分线，与关于对称， ∴点在上，则， ，， ， ， 即的最小值为． 3．（25-26八年级上·天津河西·期中）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，请填空． (1)____________； (2)____________； (3)若，，则______，则______． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查三角形中线定义、角平分线定义及三角形面积公式，熟记三角形相关定义及面积公式是解决问题的关键． （1）由三角形的中线的定义直接求解即可得到答案； （2）由三角形的角平分线的定义直接求解即可得到答案； （3）由三角形中线的定义得到，再结合三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，是中线， ， 故答案为：，； （2）解：在中，是角平分线， ， 故答案为：，； （3）解：在中，是中线，， ， 在中，是高，，， ，， 故答案为：，． 【经典例题六 画三角形的高】 【例1】（25-26七年级下·山东济南·月考）如图，，，垂足分别为C，E，则下列说法正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】根据三角形的高的定义判断． 【详解】解：A、不是的高，不符合题意； B、是的高，不是的高，不符合题意； C、不是的高，不符合题意； D、是的高，符合题意； 【例2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____． 【答案】 【分析】此题考查了三角形高的概念．根据三角形高的概念求解即可． 【详解】解：∵交的延长线于点F， ∴中边上的高是． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）画的边上的高，下列画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可． 【详解】解：在中，画出边上的高，即是过点作边所在直线的垂线段，正确的是C ． 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海杨浦·假期作业）如图，． （1）在中，边上的高是______； （2）在中，边上的高是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，据此相关性质内容进行作答（1），（2）． 【详解】解：（1）∵ ∴在中，边上的高是， 故答案为： （2）∵ ∴在中，边上的高是， 故答案为： 3．（25-26八年级上·浙江温州·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的高线． (2)在图②的边上找到一点E，连接，使平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高和三角形的中线的性质，熟知三角形的高的定义和三角形的中线的性质是解题的关键． （1）根据三角形高的定义画出图形即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 【经典例题七 与三角形的高有关的计算问题】 【例1】（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积的求解，利用三角形面积公式，通过两种不同的底和高计算的面积，从而求解 【详解】解：，， ，即， ， 故选：B 【例2】（25-26七年级上·上海·期末）如图所示，在中．沿着过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，并连接．如果，且满足，边________．(用含的代数式表示结果） 【答案】/ 【分析】本题考查三角形中的高线以及面积的计算，关键是利用折叠得到面积关系，再结合“同高三角形面积比等于底边比”推导线段长度． 【详解】解：设，由，得． ∵沿着折叠得到， ∴， 则，解得， ∴． ∵与同高(从点到的高)， ∴面积比等于底边比，即， 即， ∴． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．60 B．90 C．100 D．120 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴， ∴的边上的高为， ∴． 故选：D ． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，于点D，，于点F，则线段与的比值为__________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形高的定义，求线段的比，利用三角形的面积作为桥求解是解的关键． 设，则，令,，根据求出，即可求解比值． 【详解】， 设，则， ， ， 令,， ，， ， ， ，， ， ， ； 故答案是． 3．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）如图，将四边形的四条边，，，分别延长两倍至点，，，，若四边形的面积为，则四边形的面积是多少？ 【答案】60 【分析】利用三角形的面积公式，找到三角形之间的关系，根据四边形的面积是5，只要求出，，和四个三角形的面积之和再减去四边形的面积，即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是的面积的2倍， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是面积的2倍， ∴的面积是面积的4倍， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是面积的2倍， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是面积的2倍，和底边的比是， ∴的面积是面积的3倍， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是面积的2倍， ∴的面积是面积的6倍， ∴的面积是面积的9倍， 同理，得的面积是面积的4倍，的面积是面积的9倍， ∴， ∴． 【经典例题八 根据三角形中线求长度】 【例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边的差是解题的关键． 根据三角形中线的定义可得，再表示出和周长的差就是的差，然后计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为28cm，比长， ∴周长为：． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·上海杨浦·课后作业）如图，已知BD是的一条中线，与的周长分别为17，14，则的长是________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的中线，求出两个三角形的周长的差等于是解题的关键，作出图形更形象直观． 根据中线的定义可得，然后求出与的周长的差等于，代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵是的一条中线， ∴， ∴与的周长的差= =， ， ∵与的周长分别为，， ∴． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·湖北随州·期末）在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是4名同学的折纸示意图（C的对应点是），其中折出的是中边上的中线的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义、折叠的性质，根据折叠的性质结合中线的定义即可得解． 【详解】解：根据中线的定义结合图形可得： 折出的是中边上的中线的是 故选：D． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，是的中线，点在上，若，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了中线的性质，设到的距离为，由是的中线，则，求出，然后由即可求解，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：设到的距离为， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 【答案】(1)， (2) (3)的周长为30 【分析】本题考查了三角形的中线及周长计算，理解三角形中线的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义求出的长度即可； （2）根据题意得出，确定， （3）利用三角形的周长公式计算周长即可． 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． （2）解：∵的周长比的周长长2， ∴， 由（1）得， ∴， （3）解： 由（1）（2）得，，， ∴的周长为：． 【经典例题九 根据三角形中线求面积】 【例1】（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，分别为的中点，若的面积为6，则的面积等于（   ） A．24 B．36 C．48 D．54 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用中点关系逐步逆推，从 的面积求出 的面积，进而求出 的面积，最后求出的面积． 【详解】解：∵F为 的中点， ∴， ∵E为 的中点， ∴， ∵D为 的中点， ∴． 【例2】（2026·河南周口·一模）如图，的面积为，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到，，按此规律，倍长次后得到的的面积为______． 【答案】 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的倍，依此规律可得结论． 【详解】解：如图，连接，，， 根据等底等高的三角形面积相等可得：，，，，，，都相等， ∴， 同理可得， 以此类推：， ∵， ∴， ∴的面积为． 1．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图所示，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．利用中线等分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：是的边上的中线， ， 是的边上的中线， ， 又是的边上的中线，则是的边上的中线， ，， 则， 故选：B． 2．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，为中点，，若的面积为10，若的面积为________． 【答案】 2.5/ 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，平行线分线段成比例，根据三角形的中线的性质可得，根据平行线分线段成比例可得，再根据三角形中线平分三角形面积即可求解． 【详解】解：∵在中，为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.5． 3．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，为的中线，为的中线． (1)在中作边上的高，垂足为； (2)若△的面积为，．   ①的面积为_________；   ②求中边上的高的长； (3)过点作，交于点，连结、且相交于点，若，，求．(用含、的代数式表示) 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题考查了画三角形的高，三角形的中线的性质； （1）根据题意画出垂线， （2）①三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求得的面积； ②由再求出三角形的面积，则得边上的高； ③由平行线可得，从而求得． 【详解】（1）如图，作垂足为， （2）①为的中线， ， 的面积为， 的面积为； ②为的中线， ， ， 的长； （3），为的中线， 是的中位线， 是的中线， ，， ， 又 【拓展训练一 与三角形的概念相关问题】 【例1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）三根底端对齐的小棒被挡板遮住了一部分，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4 故选：D． 【例2】（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，中，，，，，P为线段上一动点（可以与重合），连接，令长为x，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】当P在B处时，最长为4；当时，最短，利用列方程计算即可． 【详解】解：∵，， ∴当P在B处时，最长， 此时； 当时，最短，如图： ∵， ∴ ； ∴． 1．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，点在上，点、在上，已知，，连接、交于点，且为中点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积用含和的代数式表示出来，从而求出的面积即可． 本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 设，，则， 为中点， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，将三角形纸片折叠，使点A恰好落在边的中点F处，折痕为．若的面积为18，则_______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，又根据三角形中线的性质得，进而可得 ，由于这两个三角形的高相同，进而可得． 本题考查了折叠的性质和三角形中线的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质可得， ∴， 又∵F点是边的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 又∵与的高相同， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）作图题 (1)3月12日是植树节，图中树需进行平移，请将树根A移到点F处，作出平移后的树． (2)小明家有一块三角形菜地，要种面积相等的四种蔬菜，请你设计两种方案，把这块地分成四块面积相等的三角形地块分别种植这四种蔬菜． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由图形（1）可以看出，F点是由A点先向右平移9个单位、后向上平移2个单位得到的．将图形的各个顶点按平移条件找出它的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形； （2）本题如从三角形面积方面考虑可以把其中一边四等分，再分别与对角顶点连接；也可从三角形一半的一半来考虑． 【详解】解：（1）将图形的各个顶点按先向右平移9个单位、后向上平移2个单位的平移条件找出它的对应点，顺次连接，得到的图形如下： （2）第一种方案：把边四等分，把三个分点依次连接到这条边所对的顶点，得到的4个小三角形等底同高，面积都相等； 第二个方案：找到边的中点O，连接，再找到的中点D，连接． 方案如图所示： 【拓展训练二 判断三条线段能否组成三角形】 【例1】（24-25七年级下·山东青岛·月考）有长度分别为，，，的四根木条，从中选出三根组成三角形，能组成（    ）个三角形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系即可求解，解题的关键是正确理解三角形形成的条件，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：任取三根，共有，，；，，；，，；，，四种情况， ， ∴，，不能构成三角形， ∴能构成三角形的有，，或，，或，，，共三种， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·河北唐山·月考）如果三条线段、、，可组成三角形，且，，是偶数，则的值为_________． 【答案】4或6 【分析】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解题时还要注意题目的要求，要按题意解题． 根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：．又因为c为偶数，从而可得答案． 【详解】解：∵如果三条线段、、，可组成三角形，且，， ∴， 又∵c为偶数， ∴c的值为4或6． 故答案为：4或6． 1．（24-25八年级上·吉林通化·期中）三角形三条边大小之间存在一定的关系，以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为，，的三条线段不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为，，的三条线段能构成三角形，符合题意； C、∵， ∴长为，，的三条线段不能构成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为，，的三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成_____个． 【答案】7 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系． 从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数． 【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有： ； ； ； ； ； ； ． 共有 7 种情况． 故答案为： 7 ． 3．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）若一个三角形三边的长互不相等，且其边长，，满足（为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为7，5，4．∵，∴这个三角形为“不均衡三角形”． (1)下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的是 （填序号） ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． (2)若一个“不均衡三角形”三边的长分别为，，；求出的整数值． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了新定义、三角形的三边关系以及解不等式，掌握新定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】（1）解：①， ，，不能组成三角形； ②， ，，能组成“不均衡三角形”； ③， ，，不能组成“不均衡三角形”； ④， ，，不能组成“不均衡三角形”； 故答案为：②； （2）解：因为，分情况讨论： 当为最长边时，即，解得， ， 解得， 三角形是“不均衡三角形”， ， 解得， ， 无符合条件的整数解； 当为最长边时，即，解得， ，恒成立， 三角形是“不均衡三角形”， ， 解得， ， 无符合条件的整数解； 当为最短边时，即，解得， ，恒成立， 三角形是“不均衡三角形”， ， 解得， ， 有符合条件的整数解； （为整数）． 【拓展训练三 三角形三边关系综合应用】 【例1】（2026·河北邯郸·一模）若小华用一根长度为的铁丝围成了一个三角形，则下列长度不可能是这个三角形边长的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三角形的一边长是x，另外两边的和是，根据三角形三边关系列不等式求解即可． 【详解】解：设三角形的一边长是x， ∴另外两边的和是， 则，解得：， ∴三角形边长的最大值应小于， 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，，，，点是平面内一点，且满足，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，将转化为求的最小值，当B、C、D在同一直线上时，最小值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴当B、C、D在同一直线上时，有最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：16． 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么，间的距离不可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：依题意，，即 ∴，间的距离不可能是米 故选：B． 2．（24-25七年级下·陕西西安·自主招生）我们知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．由此解决下面的问题：一个三角形两条高的长分别为和，第三条高的长也是整数（单位），则这样的整数有_________个． 【答案】20 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，三角形面积的计算，熟练掌握三角形三边关系，是解题的关键．设长度为和的高所对应的边分别为、，第三条边及其边上的高分别为、，的面积为，则，，，根据三角形三边关系得出，整理得出，根据第三条高的长是整数，得出答案即可． 【详解】解：设长度为和的高所对应的边分别为、，第三条边及其边上的高分别为、，的面积为，则，，， 根据三角形三边关系可知：， 即， 即， ∴， ∴， ∴， ∵第三条高的长是整数， ∴这样的整数有个． 故答案为：20． 3．（24-25八年级上·山东德州·期末）某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 【答案】(1)5种选择 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度； （2）根据木棒价格可直接选出答案． 【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形的三边关系可得：， 解得， 结合题干信息可得：．共5种选择． （2）解：在符合条件的木棒规格中，的木棒价格最低， ∴选的木棒最省钱． A基础训练 1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了三角形及与三角形有关的概念，掌握这些概念是解题的关键；根据三角形及其相关概念判断即可． 【详解】解：①不在同一直线上的三条线段首尾相接组成的图形叫三角形，故原说法错误； ②三角形的角平分线是一条线段，角的平分线才是射线，故原说法错误； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外，直角三角形的高在三角形的直角顶点处，故原说法错误； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，原说法正确； 故正确的只有④， 故选：D． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；据此解答． 【详解】解：B选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段，都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能围成三角形； A，C，D选项符合要求， 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽滁州·月考）如图，小贤将一根长度为的红色小棒分成两段，使它们可以和另一根绿色小棒首尾相接构成一个三角形．若绿色小棒长为（为正整数），则的最大值为（   ） A．10 B．9 C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，设红色小棒分成的两段中的一段为，则另一段为，由三角形三边关系得出，由此即可得出答案，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解此题的关键． 【详解】解：设红色小棒分成的两段中的一段为，则另一段为， 由三角形三边关系可得：，即， 为正整数， 的最大值为， 故选：B． 4．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：A、中，是上的高，不是上的高，故本选项说法错误，符合题意； B、中，是上的高，说法正确，不符合题意； C、中，是上的高，说法正确，不符合题意；     D、中，是上的高，说法正确，不符合题意； 故选：A． 5．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，的面积是12，点D，E，F，G分别是的中点，则四边形AFDG的面积是（    ）    A．6 B．5 C．4.5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的定义，三角形的中线将三角形分为两个面积相等的小三角形，据此即可求出，同理可以求出，，，，即可求出． 【详解】解：∵点D为中点， ∴， ∴与等底同高， ∴， 同理可得，， ，，，， ∴． 故选：A B 提高训练 6．（24-25七年级下·四川成都·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是______． 【答案】17 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2025个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是， 故答案为：17． 7．（24-25七年级下·上海杨浦·随堂练习）如图，是的角平分线，则平分___________，______________________，且点在边上． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【详解】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 8．（25-26七年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形 的面积是9平方厘米，请问：阴影部分的面积是_______平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积，由图可知，三角形、三角形面积的和比所求的阴影部分多算了（三角形面积与四边形面积），由此列式计算即可． 【详解】解：三角形、三角形、三角形都可以以为底，为高，故它们的面积都等于(平方厘米)， 阴影部分面积三角形面积三角形面积三角形面积四边形面积(平方厘米)． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·山西吕梁·月考）如图，在中，是的中线，是的中线，，，垂足分别为F，G．若的周长为43，，，，则的长为______．     【答案】 【分析】先求出各个边的长度，再根据三角形中线求出、的长度，运用等面积法求解即可； 【详解】∵，， ∴． ∵的周长为43， ∴， ∴． ∵是的中线，是的中线， ∴，． ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】该题主要考查了三角形中线的知识点以及三角形等面积法的运用，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，同时三角形的中线平分底边；等面积法运用时需注意一定要看准在同一个三角形中运用． 10．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆、、，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆、可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为______（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形三边关系，能够利用三角形三边关系确定第三边的取值范围是解答本题的关键． 设在篱笆上接上新的篱笆长度为，由，求出的取值范围，即可解答． 【详解】解：设在篱笆上接上新的篱笆长度为， 根据题意得：，，， ， 即， ， 在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为， 故答案为：（答案不唯一）． C 培优训练 11．（24-25七年级下·上海杨浦·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 【详解】（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 12．（24-25八年级上·贵州遵义·月考）已知三角形的两边长为6和8，第三边长为（取整数），当的值是多少时，三角形的周长最小，最小值是多少？ 【答案】，三角形的周长最小值为 【分析】本题考查了求三角形第三边的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，再根据周长取最小即为能取到的最小整数，由此解出本题． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∵为整数， ∴值可为3，且此时三角形周长最小, ∴三角形的最小周长为． 13．（25-26七年级下·上海杨浦·课后作业）如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图． (1)甲折出的是的______． (2)乙折出的是的______． (3)丙折出的是的______． 【答案】(1)高 (2)角平分线 (3)中线 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形高线、角平分线、中线的定义． （1）根据三角形高的定义即可判定； （2）根据三角形角平分线的定义即可判定； （3）根据三角形中线的定义即可判定． 【详解】（1）解：图甲中，由折叠可知，， ， ， ， 故甲折出的是的边上的高； （2）图乙中，由折叠可知，， 故乙折出的是的角平分线； （3）图丙中，由折叠可知，， D点是边的中点， 故丙折出的是的边上的中线． 14．（25-26八年级上·甘肃陇南·月考）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成三角形吗?通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图           … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗? (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形?请画出它们的示意图． 【答案】(1)4根火柴不能搭成三角形 (2)12根火柴能搭成三种不同的三角形，示意图见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系为解题关键． （1）把4分成3个正整数，只能分成1，1，2，再根据三角形的三边关系进行分析； （2）12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形，进而画出示意图． 【详解】（1）解：把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而， 根火柴不能搭成三角形； （2）12根火柴能搭成三种不同的三角形， 第一种边长分别为：4，4，4； 第二种边长分别为：5，5，2； 第三种边长分别为：3，4，5， 示意图如下： 15．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． 【探究】（1）如图1，通过观察、测量，请猜想，，之间的数量关系为__________；为了说明，，之间的数量关系，小明是这样做的： 证明：__________． __________． ， __________． 【运用】（2）如图，当点为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1）；；； （2）；理由见解析 （3）；证明见解析 【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积． （1），根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答． （2）同理得，因为点D为中点，所以，结合，化简得，即可作答． （3）同理结合面积之间的关系列式化简，，即可作答． 【详解】（1）； 证明：， ， ， ； （2）过点作交于点， ， ， 点为中点， ， ， ； ， ， ． （3）过点作交于点， ， ， ， ， 则． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的有关概念重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 三角形的识别 题型二 三角形的分类 题型三 构成三角形的条件 题型四 确定第三边的取值范围 题型五 三角形角平分线的定义 题型六 画三角形的高 题型七 与三角形的高有关的计算问题 题型八 根据三角形中线求长度 题型九 根据三角形中线求面积 拓展训练一 与三角形的概念相关问题 拓展训练二 判断三条线段能否组成三角形 拓展训练三 三角形三边关系综合应用 知识点一：三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏盐城·开学考试）同学们已经学过平面图形的面积公式，根据这些公式的推导过程进行整理（如图），①②③所对应的图形分别是（   ）． A．平行四边形、长方形、三角形 B．三角形、平行四边形、长方形 C．长方形、平行四边形、三角形 D．长方形、三角形、平行四边形 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知，在中，，的对边长分别为a，b，若，，则a____b．（填“”、“”或“”） 知识点二：三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【即时训练】 1．（25-26六年级上·山东淄博·开学考试）下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）如图，一张三角形纸片被撕去了一个角，撕去的这个角是___________，原来这张纸片的形状是___________三角形，也是___________三角形． 知识点三：三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列各组线段能组成一个三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒应是________．（填“甲”或“乙”） 【经典例题一 三角形的识别】 【例1】（2026七年级下·上海杨浦·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026七年级下·上海杨浦·专题练习）如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 1．（24-25七年级下·上海杨浦·课后作业）如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 2．（25-26七年级上·天津河西·期末）如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个． 3．（25-26七年级下·上海杨浦·课后作业）请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 【经典例题二 三角形的识别】 【例1】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【例2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 2．（25-26八年级上·北京大兴·月考）如图，在中，，垂足为D，是钝角，E是上一点，且是锐角，，垂足为F．图中有_____个直角三角形，有_____个钝角三角形． 3．（25-26七年级下·上海杨浦·课后作业）小熊和小猫想把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个直角三角形，能做到吗？如果使折痕把原三角形分成两个锐角三角形呢？如果能，请说明折的方法；如果不能，也请说明理由． 【经典例题三 构成三角形的条件】 【例1】（25-26八年级上·广西贵港·期末）下列长度(单位：)的3根小木棒首尾顺次相接能搭成三角形的是（  ） A．1，2，5 B．3，3，6 C．4，5，6 D．6，7， 【例2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）三角形中，已知两边长为和，还有一边与前面两边中的一边长相等，这个三角形的周长是_____． 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列各组长度的线段能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）已知三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x，且x是三条边中最短的，则第三边x的取值范围为________； 3．（2025八年级上·江苏·专题练习）（1）已知三条线段长度分别为、、，判断能否组成三角形． （2）在中，，，，请比较三角形三个内角的大小． 【经典例题四 确定第三边的取值范围】 【例1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 【例2】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）已知一个三角形的两边长分别为1，6，第三边长为整数，则第三边长为_____． 1．（2026·河北石家庄·一模）平面内，将长度分别为1，4，2，的线段，顺次首尾相接构成如图所示的凸四边形，则的值可能是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 2．（25-26七年级下·河北邯郸·月考）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是____________．（写出一个即可） 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c均为整数． (1)若，，求边长c的取值范围； (2)在（1）的条件下，若c为奇数，求的周长． 【经典例题五 三角形角平分线的定义】 【例1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，将折叠，使点落在边上的处，则折痕是（    ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．边的垂直平分线 【例2】（25-26七年级下·上海杨浦·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为________． 1．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 2．（25-26七年级下·上海杨浦·课后作业）如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 3．（25-26八年级上·天津河西·期中）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，请填空． (1)____________； (2)____________； (3)若，，则______，则______． 【经典例题六 画三角形的高】 【例1】（25-26七年级下·山东济南·月考）如图，，，垂足分别为C，E，则下列说法正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【例2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____． 1．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）画的边上的高，下列画法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海杨浦·假期作业）如图，． （1）在中，边上的高是______； （2）在中，边上的高是______． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的高线． (2)在图②的边上找到一点E，连接，使平分的面积． 【经典例题七 与三角形的高有关的计算问题】 【例1】（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·上海·期末）如图所示，在中．沿着过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，并连接．如果，且满足，边________．(用含的代数式表示结果） 1．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．60 B．90 C．100 D．120 2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，于点D，，于点F，则线段与的比值为__________ 3．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）如图，将四边形的四条边，，，分别延长两倍至点，，，，若四边形的面积为，则四边形的面积是多少？ 【经典例题八 根据三角形中线求长度】 【例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【例2】（25-26七年级下·上海杨浦·课后作业）如图，已知BD是的一条中线，与的周长分别为17，14，则的长是________． 1．（24-25八年级上·湖北随州·期末）在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是4名同学的折纸示意图（C的对应点是），其中折出的是中边上的中线的是（   ） A．B．C．D． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，是的中线，点在上，若，，则的值为______． 3．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 【经典例题九 根据三角形中线求面积】 【例1】（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，分别为的中点，若的面积为6，则的面积等于（   ） A．24 B．36 C．48 D．54 【例2】（2026·河南周口·一模）如图，的面积为，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到，，按此规律，倍长次后得到的的面积为______． 1．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图所示，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．8 2．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，为中点，，若的面积为10，若的面积为________． 3．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，为的中线，为的中线． (1)在中作边上的高，垂足为； (2)若△的面积为，．   ①的面积为_________；   ②求中边上的高的长； (3)过点作，交于点，连结、且相交于点，若，，求．(用含、的代数式表示) 【拓展训练一 与三角形的概念相关问题】 【例1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）三根底端对齐的小棒被挡板遮住了一部分，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，中，，，，，P为线段上一动点（可以与重合），连接，令长为x，则x的取值范围是________． 1．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，点在上，点、在上，已知，，连接、交于点，且为中点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，将三角形纸片折叠，使点A恰好落在边的中点F处，折痕为．若的面积为18，则_______． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）作图题 (1)3月12日是植树节，图中树需进行平移，请将树根A移到点F处，作出平移后的树． (2)小明家有一块三角形菜地，要种面积相等的四种蔬菜，请你设计两种方案，把这块地分成四块面积相等的三角形地块分别种植这四种蔬菜． 【拓展训练二 判断三条线段能否组成三角形】 【例1】（24-25七年级下·山东青岛·月考）有长度分别为，，，的四根木条，从中选出三根组成三角形，能组成（    ）个三角形． A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河北唐山·月考）如果三条线段、、，可组成三角形，且，，是偶数，则的值为_________． 1．（24-25八年级上·吉林通化·期中）三角形三条边大小之间存在一定的关系，以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成_____个． 3．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）若一个三角形三边的长互不相等，且其边长，，满足（为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为7，5，4．∵，∴这个三角形为“不均衡三角形”． (1)下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的是 （填序号） ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． (2)若一个“不均衡三角形”三边的长分别为，，；求出的整数值． 【拓展训练三 三角形三边关系综合应用】 【例1】（2026·河北邯郸·一模）若小华用一根长度为的铁丝围成了一个三角形，则下列长度不可能是这个三角形边长的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，，，，点是平面内一点，且满足，则的最小值是__________． 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么，间的距离不可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25七年级下·陕西西安·自主招生）我们知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．由此解决下面的问题：一个三角形两条高的长分别为和，第三条高的长也是整数（单位），则这样的整数有_________个． 3．（24-25八年级上·山东德州·期末）某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． A基础训练 1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽滁州·月考）如图，小贤将一根长度为的红色小棒分成两段，使它们可以和另一根绿色小棒首尾相接构成一个三角形．若绿色小棒长为（为正整数），则的最大值为（   ） A．10 B．9 C． D．7 4．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 5．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，的面积是12，点D，E，F，G分别是的中点，则四边形AFDG的面积是（    ）    A．6 B．5 C．4.5 D．4 B 提高训练 6．（24-25七年级下·四川成都·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是______． 7．（24-25七年级下·上海杨浦·随堂练习）如图，是的角平分线，则平分___________，______________________，且点在边上． 8．（25-26七年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形 的面积是9平方厘米，请问：阴影部分的面积是_______平方厘米． 9．（24-25七年级下·山西吕梁·月考）如图，在中，是的中线，是的中线，，，垂足分别为F，G．若的周长为43，，，，则的长为______．     10．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆、、，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆、可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为______（写一个即可）． C 培优训练 11．（24-25七年级下·上海杨浦·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 12．（24-25八年级上·贵州遵义·月考）已知三角形的两边长为6和8，第三边长为（取整数），当的值是多少时，三角形的周长最小，最小值是多少？ 13．（25-26七年级下·上海杨浦·课后作业）如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图． (1)甲折出的是的______． (2)乙折出的是的______． (3)丙折出的是的______． 14．（25-26八年级上·甘肃陇南·月考）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成三角形吗?通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图           … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗? (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形?请画出它们的示意图． 15．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． 【探究】（1）如图1，通过观察、测量，请猜想，，之间的数量关系为__________；为了说明，，之间的数量关系，小明是这样做的： 证明：__________． __________． ， __________． 【运用】（2）如图，当点为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $