第20章勾股定理章末复习 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

第20章勾股定理章末复习 高频考点1 两个定理 定理1 勾股定理 1．如图，在中，斜边的长为，分别以的三条边为斜边向外作等腰直角，和，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等腰直角三角形的性质，用斜边长表示出三个阴影三角形的面积，再利用勾股定理将阴影部分面积转化为与有关的式子，最后代入计算即可求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，且， ∴，即， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵在 中，， ∴， ∵， ∴． 2．如图，两个正方形的面积分别为8和17，则的长为_________． 【答案】3 【分析】利用勾股定理可得出的平方等于另外两个正方形的面积差(大的减小的)，即可求出结论． 【详解】解：依题意得：． 则， 定理2 勾股定理的逆定理 3．如图，在四边形中，，，，，，则该四边形的面积是（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【分析】连接，根据直角三角形的性质求出的长度，然后根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，再利用的面积减去的面积得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴为直角三角形， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形， 且， ∴ ． 4．在中，、、的对边长分别是、、，且满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】利用非负数和为零的性质得到三边关系，根据勾股定理的逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，且 ， ∴是等腰直角三角形. 5．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意． 故选：C． 高频考点2 两种应用 应用1 勾股定理的应用 （1） 长度计算 6．如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可． 【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为： ， 梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离： ， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： ， 梯子的底端滑动的距离为： ． 故选：C． 7．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴ 点表示的数． （2）折叠问题 8．长方形纸片中，，，将纸片沿折叠使点与点重合，折痕与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由折叠的性质及矩形的性质可表示出和的长，在中利用勾股定理列式解方程即可得解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 设， 由折叠的性质可知，， ， 在中，，即， 解得， 即的长为． 9．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处，连接、，动点在线段上点与点、不重合，动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．点、在移动过程中，线段的长度是______________． 【答案】 【分析】由折叠的性质得出，由勾股定理求出，，过点作交于，由平行线的性质，等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：四边形是长方形， ，， 将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处， ， ， ， ， 过点作交于， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ，， ， ， ． （3）网格与作图 10．阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“勾股黄金三角形”的研究报告【研究对象】勾股黄金三角形． 【研究思路】类比一般三角形，沿着“概念一性质一应用”的路径探究其特征． 【研究方法】观察、猜想、推理、证明． 【一般概念】如果一个直角三角形的三边长之比为，那么我们就称这个直角三角形为勾股黄金三角形． 【性质揭示】勾股黄金三角形的斜边和短直角边之差与长直角边的比值为黄金分割比． 探究：如图1，是一个勾股黄金三角形，，求证：． …… 任务： (1)若一个直角三角形的三边长分别为，，，这个直角三角形是勾股黄金三角形吗？请说明理由． (2)完成报告中“探究”部分的证明． (3)如图2，请在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出一个面积为5的勾股黄金三角形，使点均在格点（小正方形的顶点）上． 【答案】(1)是，详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）根据勾股黄金三角形的定义判断即可； （2）根据是勾股黄金三角形，，写出较长边的长，斜边的长，计算的值即可； （3）在网格中按的比例画格点三角形即可． 【详解】（1）解：是．理由如下： ，， 这个直角三角形的三边长之比为． 这个直角三角形是勾股黄金三角形． （2）证明：是勾股黄金三角形，， ． ． （3）解：如答图，即为所求．（答案不唯一） 应用2 勾股定理的逆定理的应用 11．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12海里，“海天”号每小时航行9海里．它们离开港口两个小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿北偏东方向航行． (1)说明“海天”号沿哪个方向航行？ (2)求出此时“海天”号到海岸线的距离． 【答案】(1)“海天”号沿北偏西方向航行； (2)此时“海天”号到海岸线的距离为海里． 【分析】（1）根据题意可得海里，，海里，海里，由勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，，可得，即可得“海天”号的航行方向； （2）过点作海岸线的垂线，垂足记为，则，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理即可得此时“海天”号到海岸线的距离． 【详解】（1）解：根据题意可得，海里，， （海里）， （海里）， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴“海天”号沿北偏西方向航行． （2）解：过点作海岸线的垂线，垂足记为，则， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴此时“海天”号到海岸线的距离为海里． 高频考点3 勾股数 12．下列几组数，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：、∵， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意． 13．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第8个图形中共有______个正方形． 【答案】255 【分析】观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第8个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第8个图形中共有个正方形． 高频考点4 两种数学思想 思想1 分类讨论 14．如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿射线AC，以1cm/s的速度运动，设运动时间为t秒． (1)求AC的值； (2)当为直角三角形时，求t的值． (3)当为等腰三角形时，直接写出t的值； 【答案】(1) (2)的值为4或 (3)的值为5或8或 【分析】（1）利用勾股定理解得即可； （2）依题意，，分情况讨论①，点与点重合，②，勾股定理即可求得的值； （3）分情况讨论：①，直接可得的值，②，根据三线合一可得，③，在中，勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵动点P从点A出发，沿射线以的速度运动， ， ①当时，如图，点与点重合， ， ， ②当时，，， 在中，， 在中，， ， 解得， 综上所述，或； （3）解：①当时，， ②当时， ， ， ③当时， ，， 在中，， ， 解得． 综上所述，当是等腰三角形时，或或． 思想2 方程思想 15．如图，在平面直角坐标系中，点，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，连接，，． (1)直接写出点A，点B的坐标； (2)动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，运动到点O停止．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻使，若存在，请求出时间t，并说明理由． 【答案】(1)， (2)的值为秒或秒 【分析】（1）根据题意得，再由勾股定理得出，确定，即可得点、点的坐标； （2）先求出，即有，分点在和上两种情况，分别用表示出的长，利用面积法求出中边的高，根据列方程求出，即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在轴负半轴上，点在轴正半轴上， ∴，； （2）解：存在， 如图，当点在上时，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵从点出发，以每秒个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为， ∴， ∴， 解得：， 如图，当点在线段上时， ∵从点出发，以每秒个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为， ∴， ∴， 解得：， 综上：的值为秒或秒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章勾股定理章末复习 高频考点1 两个定理 定理1 勾股定理 1．如图，在中，斜边的长为，分别以的三条边为斜边向外作等腰直角，和，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，两个正方形的面积分别为8和17，则的长为_________． 定理2 勾股定理的逆定理 3．如图，在四边形中，，，，，，则该四边形的面积是（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 4．在中，、、的对边长分别是、、，且满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ） A． B． C． D． 高频考点2 两种应用 应用1 勾股定理的应用 （1） 长度计算 6．如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． （2）折叠问题 8．长方形纸片中，，，将纸片沿折叠使点与点重合，折痕与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处，连接、，动点在线段上点与点、不重合，动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．点、在移动过程中，线段的长度是______________． （3）网格与作图 10．阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“勾股黄金三角形”的研究报告【研究对象】勾股黄金三角形． 【研究思路】类比一般三角形，沿着“概念一性质一应用”的路径探究其特征． 【研究方法】观察、猜想、推理、证明． 【一般概念】如果一个直角三角形的三边长之比为，那么我们就称这个直角三角形为勾股黄金三角形． 【性质揭示】勾股黄金三角形的斜边和短直角边之差与长直角边的比值为黄金分割比． 探究：如图1，是一个勾股黄金三角形，，求证：． …… 任务： (1)若一个直角三角形的三边长分别为，，，这个直角三角形是勾股黄金三角形吗？请说明理由． (2)完成报告中“探究”部分的证明． (3)如图2，请在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出一个面积为5的勾股黄金三角形，使点均在格点（小正方形的顶点）上． 应用2 勾股定理的逆定理的应用 11．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12海里，“海天”号每小时航行9海里．它们离开港口两个小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿北偏东方向航行． (1)说明“海天”号沿哪个方向航行？ (2)求出此时“海天”号到海岸线的距离． 高频考点3 勾股数 12．下列几组数，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 13．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第8个图形中共有______个正方形． 高频考点4 两种数学思想 思想1 分类讨论 14．如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿射线AC，以1cm/s的速度运动，设运动时间为t秒． (1)求AC的值； (2)当为直角三角形时，求t的值． (3)当为等腰三角形时，直接写出t的值； 思想2 方程思想 15．如图，在平面直角坐标系中，点，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，连接，，． (1)直接写出点A，点B的坐标； (2)动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，运动到点O停止．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻使，若存在，请求出时间t，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $