21.1四边形及其内角和 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

21.1四边形及其内角和 知识分点练 夯基础 知识点1 四边形的有关概念 1．如图，下列关于四边形的说法中不正确的是（   ） A．四边形是凸四边形 B．四边形有1条对角线 C．四边形有4个内角 D．是四边形的外角 知识点2 四边形的内角和 2．如图，在四边形中，，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 3．在四边形中，与互补，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．画几个不同的四边形，使每个四边形中都有，，的角量一量这些四边形中另一个角的度数，你发现的规律是________． 5．四边形中，，，比大30°，求的度数．    6．如图，在四边形中，，，设，则（    ） A． B． C． D． 知识点3 四边形的外角和 7．如图，在四边形中，，是四边形的一个外角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，，，则的值是（   ） A．60 B．65 C．75 D．130 9．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 知识点4 四边形的不稳定性 10．如图所示的晾衣架中，木架可以自由活动，其利用的几何原理是（    ）    A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形具有稳定性 D．四边形具有不稳定性 11．四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 12．下列图形中，不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 能力综合练 练思维 13．如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则________．    14．如图，四边形中，，分别平分，．已知，求的度数． 15．如图，这是某校园小公园中的腾飞雕塑的平面示意图．已知雕塑的右边边线和底座都与地面垂直，同时，与的夹角，与底座的夹角，求的度数． 16．如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点F． (1)若，，求的度数； (2)已知四边形中，，，求的度数． 拓展探究练 提素养 17．如图①，在中，平分且与的外角的平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） (3)若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 18．（1）如图①②，试探究与之间的数量关系； （2）请你用文字语言描述（1）中的关系； （3）用你发现的结论解决下列问题： 如图③，分别是四边形的外角的平分线，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1四边形及其内角和 知识分点练 夯基础 知识点1 四边形的有关概念 1．如图，下列关于四边形的说法中不正确的是（   ） A．四边形是凸四边形 B．四边形有1条对角线 C．四边形有4个内角 D．是四边形的外角 【答案】B 【详解】解：A、四边形是凸四边形，原说法正确，不符合题意； B、四边形有2条对角线，原说法不正确，符合题意； C、四边形有4个内角，原说法正确，不符合题意； D、是四边形的外角，原说法正确，不符合题意 知识点2 四边形的内角和 2．如图，在四边形中，，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了四边形的内角和是360度的实际运用．根据多边形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 3．在四边形中，与互补，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，根据多边形内角和等于360°解答即可． 【详解】解：∵与互补， ∴ 又∵， ∴， 故选：C． 4．画几个不同的四边形，使每个四边形中都有，，的角量一量这些四边形中另一个角的度数，你发现的规律是________． 【答案】这些四边形中另一个角的度数都相等，都是 【分析】本题考查多边形的内角与外角，掌握四边形的内角和是是正确解答的关键．根据四边形的内角和是进行解答即可． 【详解】解：由于四边形的内角和是，由于每个四边形中都有，，的角， 所以第四个内角为， 即这些四边形中另一个角的度数都相等，都是， 故答案为：这些四边形中另一个角的度数都相等，都是． 5．四边形中，，，比大30°，求的度数．    【答案】 【分析】设的度数为，则的度数为，根据四边形内角和为列出方程，求解即可获得答案． 【详解】解：设的度数为，则的度数为， 根据题意可得 ， 解得， 即的度数为． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用以及多边形内角和问题，解题关键是结合四边形内角和为列出方程并求解． 6．如图，在四边形中，，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了四边形内角和360度，根据，，以及四边形内角和360度进行列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：在四边形中，，， ∴ 则 解得， 故选：C 知识点3 四边形的外角和 7．如图，在四边形中，，是四边形的一个外角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是四边形的内角和定理的应用，邻补角的性质，先证明，结合，进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：D 8．如图，在四边形中，，，，则的值是（   ） A．60 B．65 C．75 D．130 【答案】B 【分析】本题考查了多边形四边形内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键 根据四边形内角和定理，列方程，求解x的值即可． 【详解】已知在四边形中，，，． 根据四边形内角和定理得：， ． 解得；． 所以x的值是65； 故选：B． 9．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【详解】解：， 的外角为， ． 知识点4 四边形的不稳定性 10．如图所示的晾衣架中，木架可以自由活动，其利用的几何原理是（    ）    A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形具有稳定性 D．四边形具有不稳定性 【答案】D 【分析】根据木架可以自由活动即可得到利用的几何原理． 【详解】解：∵晾衣架中存在四边形，且木架可以自由活动， ∴利用的几何原理是四边形具有不稳定性． 故选：D 【点睛】此题考查了四边形的性质，熟知四边形具有不稳定性是解题的关键． 11．四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 【答案】C 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，根据四边形的不稳定性求解即可． 【详解】解：升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是：四边形的不稳定性， 故选：C． 12．下列图形中，不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性与四边形的不稳定性，关键是明确“三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性”的核心知识点，通过分析每个选项的图形结构判断是否具有稳定性： 【详解】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， 选项A的图形由三个三角形组成，具有稳定性，故该选项不符合题意； 选项B的图形被对角线分成多个三角形，具有稳定性，故该选项不符合题意； 选项C的图形由三个三角形组成，具有稳定性，故该选项不符合题意； 选项D的图形是梯形，属于四边形，不具有稳定性，故该选项符合题意， 故选：D． 能力综合练 练思维 13．如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则________．    【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角和定理，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据四边形内角和为360度和平角的定义，则由角平分线的定义可得从而求出的度数，运用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，分别平分和且相交于点P， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 14．如图，四边形中，，分别平分，．已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，角平分线的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据四边形和三角形内角和定理以及角平分线的性质求解即可． 【详解】解：，分别平分，， ，， ． ， ， ． 15．如图，这是某校园小公园中的腾飞雕塑的平面示意图．已知雕塑的右边边线和底座都与地面垂直，同时，与的夹角，与底座的夹角，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了四边形内角和定理．作于点，利用四边形内角和定理求得，再利用四边形内角和定理即可求解． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点F． (1)若，，求的度数； (2)已知四边形中，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、多边形内角和外角，熟练掌握四边形的内角和是是解题的关键． （1）根据题意可得，根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，同位角相等可得； （2）根据角平分线的定义可得，，根据四边形内角和定理可得，结合三角形的外角等于不相邻的两个内角之和即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 拓展探究练 提素养 17．如图①，在中，平分且与的外角的平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） (3)若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)不变， (3)，理由见解析 【分析】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质是正确解答的关键． （1）根据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可； （2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （3）延长交于点A，将问题转化为（2）即可． 【详解】（1）解：，平分， ， 又， ， 平分， ， ， （2）解：不变化，理由如下： 平分， ， 平分， ， ， 即； （3）解：，理由如下： 如图，延长、交于点， ∴ ， 由（2）可得， ． 18．（1）如图①②，试探究与之间的数量关系； （2）请你用文字语言描述（1）中的关系； （3）用你发现的结论解决下列问题： 如图③，分别是四边形的外角的平分线，，求的度数． 【答案】（1） （2）四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和 （3） 【分析】本题考查了多边形的内角和，平角的定义，角平分线的定义，解题关键是利用整体思想． （1）根据四边形内角和，表示出，再根据平角定义表示出，即可求解； （2）结合（1）的结论去描述即可； （3）根据条件，先求出，再根据角平分线，求出的值，即可求解． 【详解】解：（1）关系是，理由如下： ∵、、、是四边形的四个内角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和； （3）∵， ∴， ∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $