21.1.2多边形及其内角和 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

21.1.2多边形及其内角和 知识分点练 夯基础 知识点1 多边形的有关概念 1．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 知识点2 多边形的内角和 2．在平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）_____________而成的图形叫做多边形． 边数为4的多边形叫_____________．四边形的内角和等于_____________，外角和等于_____________．n边形的内角和为_____________，外角和为_____________． 3．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 5．一个多边形的内角和等于，则该多边形的边数等于______． 6．六边形的内角和为______． 知识点3 多边形的外角和 7．一个正二十四边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 8．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，又向左转…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米． A．40 B．36 C．48 D．60 9．一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为（   ） A． B． C． D． 10．图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 能力综合练 练思维 12．一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 13．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 14．如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 15．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 16．如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，求的度数． 拓展探究练 提素养 17．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线．八年级数学实践小组在学习了多边形的内角和之后，对多边形的对角线的相关问题展开实践探究． 观察图形规律： 归纳探究： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 根据图表信息，回答下列问题： (1)从十边形的一个顶点可以引出__________条对角线，对角线将十边形分割成了__________个三角形． (2)从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出__________条对角线，这些对角线将边形分割成了__________个三角形，边形的内角和为__________．（用含的代数式表示） (3)从多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分割多边形所得的三角形个数之和可能为2026吗？若能，请求出这个多边形的内角和；若不能，请说明理由． 18．【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1.2多边形及其内角和 知识分点练 夯基础 知识点1 多边形的有关概念 1．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 【答案】 五 5 2 3 【分析】此题考查了多边形的边、对角线的知识，多边形的问题可以通过作对角线转化为三角形的问题是解题的关键．多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形有n个顶点，和它不相邻的顶点有个，因而从n边形的一个顶点出发的对角线有条，把n边形分成个三角形． 【详解】解：如图，图中的图形是五边形，有5条边，从一个顶点出发的对角线有2条，把该多边形分成3个三角形． 故答案为：五；5；2；3． 知识点2 多边形的内角和 2．在平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）_____________而成的图形叫做多边形． 边数为4的多边形叫_____________．四边形的内角和等于_____________，外角和等于_____________．n边形的内角和为_____________，外角和为_____________． 【答案】 首尾顺次连接 四边形 /360度 /360度 /360度 【分析】根据多边形的定义、多边形的内角和、外角和直接解答即可根据多边形的定义解答即可． 【详解】解：在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段(线段的条数不小于3)首尾顺次相接形成的图形叫做多边形．边数为4的多边形叫四边形．四边形的内角和等于，外角和等于．n边形的内角和为，外角和为． 故答案为：首尾顺次连接；四边形；；；；. 【点睛】本题主要考查了多边形的定义，多边形的内角和，外角和相关概念，理解这些概念的意义是解答本题的关键． 3．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据多边形、正多边形、对角线的定义，逐一判断说法正误即可． 【详解】解：①∵多边形是由至少3条线段首尾顺次围成的封闭图形， ∴三角形是边数最少的多边形，①正确； ②∵正多边形的定义是各边相等、各内角也相等的多边形，长方形四条边不都相等，不是正多边形， ∴②错误； ③∵根据多边形的性质，n边形有n条边、n个顶点、n个内角， ∴③正确. ④∵六边形边数，从一个顶点出发的对角线条数为，所有对角线总条数为， ∴④正确. 综上，正确的说法共有3个，故C正确． 4．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形”确定的值，再代入内角和公式：（，为正整数）进行计算即可． 【详解】解：∵过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，设该多边形的边数为， ∴， 解得：， ∴这个多边形的内角和是：． 5．一个多边形的内角和等于，则该多边形的边数等于______． 【答案】 【分析】本题利用多边形内角和公式建立关于边数的一元一次方程，求解方程即可得到结果. 【详解】解：由题意，，解得. 6．六边形的内角和为______． 【答案】 【分析】将六边形的边数代入多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：六边形的边数，代入公式得：． 知识点3 多边形的外角和 7．一个正二十四边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为，与多边形的边数无关， ∴正二十四边形的外角和为． 8．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，又向左转…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米． A．40 B．36 C．48 D．60 【答案】C 【分析】根据正多边形的外角求出边数． 【详解】解：， （米）． 【点睛】注意正多边形边数和外角的关系． 9．一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用除以，求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度求得所需时间即可． 【详解】解：∵， ∴所走的路程是：， 则所用时间是：． 10．图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知， ， 故选：C． 11．阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 【答案】(1)多加的外角度数为，多边形的边数为 (2)；或或 【分析】（1）设多加的外角度数为，多边形的边数为，由多边形内角和公式可得，则，再由建立不等式组求解即可； （2）由于多边形的外角和始终为，则剪完后所形成的新多边形的外角和不变；然后分三种情况求解剪完后所形成的新多边形的内角和． 【详解】（1）解：设多加的外角度数为，多边形的边数为， 由题意得，， ∴ ∵ ∴， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴ ∴多加的外角度数为，多边形的边数为； （2）解：剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为八边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为七边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为六边形，则内角和为； 综上：剪完后所形成的新多边形的内角和为或或． 能力综合练 练思维 12．一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形，分三种情况：剪线经过四边形相邻的两个顶点；剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点）；剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边． 【详解】解：分三种情况讨论： （Ⅰ）若剪线经过四边形相邻的两个顶点，剪去一个角后，剩余图形为三角形，有3个角； （Ⅱ）若剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点），剪去一个角后，剩余图形为四边形，有4个角； （Ⅲ）若剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边，剪去一个角后，剩余图形为五边形，有5个角． 综上所述，剩余角的个数为3或者4或者5． 故选：D 13．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 锯掉正方形一个角时，锯痕的位置不同会导致剩余多边形的边数变化，从而可能得到三角形、四边形或五边形． 【详解】解：设正方形，锯掉角A， 若锯痕连接上的两点（均非顶点），则增加一条边，剩余5条边，为五边形； 若锯痕连接上的顶点B（或上的顶点D）与上的点（或上的点）， 则边数不变，剩余4条边，为四边形； 若锯痕连接相邻顶点B和D，则减少一条边，剩余3条边，为三角形， ∴ 剩余多边形可能是三角形、四边形或五边形． 故选：D． 14．如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：正八边形的内角和为． 15．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 16．如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，求的度数． 【答案】 【分析】先根据多边形内角和定理求出，则，再由角平分线的定义得到，接着利用四边形内角和为360度求出，则，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图：设交于点P， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵平分，平分正五边形的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 拓展探究练 提素养 17．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线．八年级数学实践小组在学习了多边形的内角和之后，对多边形的对角线的相关问题展开实践探究． 观察图形规律： 归纳探究： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 根据图表信息，回答下列问题： (1)从十边形的一个顶点可以引出__________条对角线，对角线将十边形分割成了__________个三角形． (2)从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出__________条对角线，这些对角线将边形分割成了__________个三角形，边形的内角和为__________．（用含的代数式表示） (3)从多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分割多边形所得的三角形个数之和可能为2026吗？若能，请求出这个多边形的内角和；若不能，请说明理由． 【答案】(1)7，8 (2)，， (3)不存在这样的多边形 【分析】（1）找到多边形从一个顶点出发的对角线的条数及将多边形分割成的三角形的个数的规律，即可解答； （2）找到多边形从一个顶点出发的对角线的条数及将多边形分割成的三角形的个数的规律，即可解答； （3）设这个多边形的边数为m（，且m为整数），列出方程， 解得，再根据，且m为整数，得到不符合题意，即可解答． 【详解】（1）解： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 按此规律，从十边形的一个顶点可以引出条对角线，对角线将十边形分割成了个三角形； （2）解：从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出条对角线，这些对角线将边形分割成了个三角形，边形的内角和为． （3）解：设这个多边形的边数为（，且为整数）， 依题意，得， 解得， ∵，且m为整数， ∴不符合题意． 答：不存在这样的多边形． 18．【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【答案】（1）2，3；（2）；（3） 【分析】本题考查多边形对角线与三角形分割规律、角平分线性质、角度和差运算及方程思想在几何角度问题中的应用，利用角的倍数关系、平分线性质建立方程或利用多边形规律是解题的关键。 （1）通过多边形从一个顶点出发的对角线数量规律和三角形分割规律，代入五边形边数即可得出结果； （2）通过角度的和差计算即可得出的度数； （3）通过设未知数表示角的倍数与平分关系，结合已知角建立方程，再利用角度和差运算整体代换，最终求出的度数； 【详解】解：（1）时， 从一个顶点出发的对角线数量为， 三角形分割数量为． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． 设，则，． ∵， ∴，解得， ∴， 故小路与小路的夹角（即）的度数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $