27.2.2 直线与圆的位置关系（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案聚焦“直线和圆的位置关系”，引导学生理解相交、相切、相离三种位置关系，通过回顾点和圆的位置关系及数量关系判断方法，搭建知识支架，衔接新知预习，帮助学生实现从点到直线的知识迁移。 资料以动手操作（剪圆移动观察公共点变化）和数量关系探究为特色，培养学生几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维），典例与检测结合坐标系等实际情境，提升模型意识与应用意识（数学语言），助力自主与合作学习，促进核心素养发展。

27.2 与圆有关的位置关系 2.直线和圆的位置关系 学习目标： 1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系. 2.能根据圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系，判断出直线与圆的位置关系.(重点） 自主学习 1、 知识链接 1.点和圆的位置关系有哪几种(画图表示)？ 2.如何用数量关系来判断点和圆的位置关系呢？ 3.如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC. （1） 求点A到线段BC的距离； （2） 求点D到线段AB的距离. 思考：直线与圆有哪几种位置关系？ 二、新知预习 （预习课本P48-50）填空并完成练习： 圆心O到直线的距离为d，圆O的半径为r，则有： 直线与圆有_____个公共点直线与圆____________d＞r； 直线与圆有_____个公共点直线与圆____________d＝r； 直线与圆有_____个公共点直线与圆____________d＜r. 练习：. 已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ： (1)若d=4cm，则直线与圆 ，直线与圆有 个公共点； (2)若d=6cm，则直线与圆 ，直线与圆有 个公共点； (3)若d=8cm，则直线与圆 ，直线与圆有 个公共点. 合作探究 1、 要点探究 探究点1：用定义判断直线与圆的位置关系 做一做 剪一张圆形纸片，在白纸上任意画一条直线后，移动圆形纸片，直线与圆的公共点的个数是如何变化的？ 【要点归纳】 如图1，直线和圆没有公共点，我们说直线l与圆相离； 如图2，直线和圆只有一个公共点，我们说直线l与圆相切，直线l叫做圆的切线，这个点叫做切点； 如图3，直线和圆有两个公共点，我们说直线l与圆相交，直线l叫做圆的割线. 判一判 （对的画“√”，错的画“×”） 1.直线与圆最多有两个公共点. ( ) 2.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上. ( ) 3.若点A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切. ( ) 4.若点C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离. ( ) 5.直线a 和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交. ( ) 探究点2：用数量关系判断直线与圆的位置关系 观察与思考 在圆形纸片移动的过程中，除了其与直线的公共点个数发生改变之外，还有其他的量发生改变吗？ 做一做 如图，分别作出圆心O到直线l的垂线段，测量出垂线段的长； 议一议 由上述测量结果，你能得出什么结论？怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？ 【要点归纳】 设圆心O到直线的距离为d，圆O的半径为r，则有： 直线与圆相离d＞r；直线与圆相切d＝r；直线与圆相交d＜r. 【典例精析】 例1 已知⊙O的直径为12cm，圆心到直线l的距离5cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（　　） A．2 个 B．1个 C．0个 D．不确定 【针对训练】在平面直角坐标系中，点M的坐标为（-2，3），以2为半径画⊙M，则以下结论正确的是（　　） A． ⊙M与x轴相交，与y轴相切 B.⊙M与x轴相切，与y轴相离 C.⊙M与x轴相离，与y轴相交 D.⊙M与x轴相离，与y轴相切 例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？ (1) r=2cm；(2) r=2.4cm； (3) r=3cm． 【针对训练】1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB没有公共点？ 2.在Rt△ABC中，∠C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？ 直线与圆的位置关系 位置 公共点个数 圆心O到直线的距离d与半径r的关系 相离 d r 相切 d r 相交 d r 二、课堂小结 当堂检测 1. 圆的直径是8cm，若圆心与直线的距离是4cm，则该直线和圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 2.已知⊙O的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（　　） A．0 B．3 C．3.5 D．4 3.若直线l与半径为5的⊙O相离，则圆心O与直线l的距离d（　　） A．d＜5 B．d＞5 C．d=5 D．d≤5 4.在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作圆， （1）当r________时，⊙O与坐标轴有1个交点； （2）当r满足_________时，⊙O与坐标轴有2个交点； （3）当r_________时，⊙O与坐标轴有3个交点； （4）当r__________时，⊙O与坐标轴有4个交点． 5.设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP=m，且m使得关于x的方程2x2− 2x+m−1＝0有实数根，试判断直线l与⊙O的位置关系． 6. 已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P． （1）若r=12cm，试判断⊙P与OB位置关系； （2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件． 参考答案 自主学习 1、 知识链接 1.解：如图所示. 点在圆内 点在圆上 点在圆外 2.解：设OP=d,当d＜r时，点P在⊙O内；当d=r时，点P在⊙O上；当d＞r时，点P在⊙O外. 3.解：(1)点A到BC的距离即为AD的长度.∵AB=AC=5，AD⊥BC，∴BD=BC=4.由勾股定理易得AD=3. （2）过点D作DE⊥AB于点E，则DE即为点D到AB的距离.∵S△ABD=∴DE= 二、新知预习 0 相离 1 相切 2 相交 练习：（1）相交 2 （2）相切 1 （3）相离 0 合作探究 一、要点探究 探究点1：用定义判断直线与圆的位置关系 判一判：（1）√ （2）× （3）× （4）× （5）× 探究点2：用数量关系判断直线与圆的位置关系 做一做 解：画图、测量略. 【典例精析】例1 A 【针对训练】D 例2 解：过C作CD⊥AB，垂足为D.在△ABC中， 根据三角形的面积公式有 即圆心C到AB的距离d=2.4cm. (1)当r=2cm时，有d >r，因此⊙C和AB相离. (2)当r=2.4cm时,有d=r.因此⊙C和AB相切. (3)当r=3cm时，有d<r，因此，⊙C和AB相交. 【针对训练】1. 解：当0cm＜r＜2.4cm或r＞4cm时，⊙C与线段AB没有公共点. 2.解：当r=2.4cm或3cm＜r≤4cm时，⊙C与线段AB有一个公共点.当2.4cm＜r≤3cm 时，⊙C与线段AB有两个公共点. 二、课堂小结 从左到右，从上到下，依次填：0 ＞ 1 = 2 ＜ 当堂检测 1. B 2.A 3.B 4.（1）=3 （2）3＜r＜4 （3）=4或5 （4）＞4且r≠5 5.解：∵关于x的方程2x2−2x+m−1＝0有实数根，∴=b2-4ac≥0， 即8−4×2×（m−1）≥0，解得m≤2，又∵⊙O的半径为2，∴直线与圆相切或相交． 6.解：过点P作PC⊥OB，垂足为C． ∵∠AOB=30°，OP=24cm， ∴PC=OP=12cm． （1）当r=12cm时，r=PC，∴⊙P与OB位置关系是相切． （2）当⊙P与OB相离时，r＜PC，∴r需满足的条件是0cm＜r＜12cm． 学科网（北京）股份有限公司 $