27.2.3 第1课时 切线的判定（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案聚焦“切线的判定”，通过知识链接回顾直线与圆的位置关系及数量关系判断方法，新知预习引导学生填空切线判定定理，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料以自主学习与合作探究结合，典例精析分“有公共点连半径证垂直”“无公共点作垂直证半径”教学，课堂小结表格归纳判定方法与辅助线技巧，培养学生几何直观和推理意识，当堂检测提升应用能力。

27.2 与圆有关的位置关系 3. 切线 第1课时 切线的判定 学习目标： 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.（重点） 2.能运用圆的切线的判定定理解决问题.（难点） 自主学习 一、知识链接 1.直线和圆的位置关系有哪几种(画图表示)？ 2.如何用数量关系来判断直线和圆的位置关系呢？ 思考：如何判定一条直线是圆的切线？ 二、新知预习 （预习课本P51）填空并完成练习： 切线的判定定理：经过圆的半径的_______且________这条半径的直线是圆的切线. 练习：. 1.如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（　　） A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的圆 C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆 2.如图，已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（　　） A．OP=5 B．OE=OF C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF 合作探究 1、 要点探究 探究点：切线的判定定理 知识回顾 如图，直线与圆有_____个公共点直线与圆_________d_______r 想一想 问题1 根据知识回顾，你能得出哪些判别切线的方法？ 1.定义法：与圆____________公共点的直线是圆的切线． 2.数量关系法：圆心到_______的距离等于________的直线是圆的切线． 问题2 圆心O到直线l的距离d等于半径r，则直线l是⊙O的切线；此时直线l与⊙O的位置有哪些特点？ （1）直线l经过半径OA的__________;(2)半径OA___________直线l. 【要点归纳】切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 判一判 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ 【易错提醒】在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 【典例精析】 例1 如图，线段AB是☉O上的直径，直线AC与AB交于点A，∠ABC=45°，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 【方法归纳】直线AC经过半径的一端，因此只要证AC垂直于OA即可. 【针对训练】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DM⊥AC于点M．求证：DM是⊙O的切线． 例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是⊙O的切线． 【方法归纳】当已知直线过圆上的一点时，连结圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直. 【针对训练】如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CD⊥AB，连结OD、 PC，∠ODC=∠P，求证：PC是⊙O的切线． 例3 如图，在Rt△ABC 中，∠ABC =90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，求证：AC 是⊙D 的切线． 【方法归纳】当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径即可. 二、课堂小结 切线的判定 判定方法 定义法：1个公共点，则相切； 数量关系法：d=r，则相切； 判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 常用辅助线添加方法 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证垂线段等于半径. 当堂检测 1.如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　） A．∠A=50°，∠C=40° B．∠B-∠C=∠A C．AB2+BC2=AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点 第1题图 第2题图 2.如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连结BC、PA．若∠P=40°，当∠B等于 °时，PA与⊙O相切． 3.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，分别连结AC、BC．过点B作直线BD，使∠CBD=∠A．求证：直线BD与⊙O相切． 4.如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于点E，以DE为半径作⊙D，求证：OA是⊙D的切线． 5.如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．求证：直线CD是⊙O的切线； 参考答案 自主学习 1、 知识链接 1.解：如图所示： 相离 相切 相交 2.解：设圆心O到直线的距离为d，圆O的半径为r，则有直线与圆相离 d＞r；直线与圆相切d＝r；直线与圆相交d＜r. 2、 新知预习 外端 垂直于 练习：1.C 2.D 合作探究 一、要点探究 探究点：切线的判定定理 知识回顾 1 相切 = 想一想： 问题1 1.只有1个 2.直线 半径 问题2 （1）外端 （2）垂直于 判一判：解：(1)不是，因为没有垂直. (2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点. 【典例精析】例1 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB =90°. ∵AB是☉O的直径，∴ AC是☉O的切线. 【针对训练】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴OD⊥DM.∵点D在⊙O上，∴DM是⊙O的切线． 例2 证明：连结OC.∵ OA＝OB，CA＝CB，∴ AB⊥OC.∵OC是⊙O的半径，∴ AB是⊙O的切线. 【针对训练】 证明：连结OC，AP与CD交于点E．∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC.∵∠ODC=∠P，∴∠OCD=∠P.∵CD⊥AB，∴∠PEC=90°.∴∠P+∠PCE=90°.∴∠OCD+∠PCE=90°，即∠OCP=90°.∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线． 例3 证明：过D作DE ⊥AC于点E.∵∠ABC =90，∴DB ⊥ AB.又∵AD平分∠BAC，∴DE=DB.∵DE ⊥AC，∴AC 是⊙D 的切线. 当堂检测 1.D 2.25 3.证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°.∴∠A+∠ABC=90°.∵∠CBD=∠A，∴∠ABD=∠CBD+∠ABC=90°，即AB⊥BD.∵点B在⊙O上，∴直线BD与⊙O相切． 4.证明：过点D作DF⊥OA于点F，∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB， ∴DF=DE，即点D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE.∴⊙D与OA相切． 5.证明：连结DO．∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO.∴∠COD=∠COB.在△COD和△COB中，∴△COD≌△COB，∴∠CDO=∠CBO=90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线. 学科网（北京）股份有限公司 $