27.2.1 点与圆的位置关系（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案聚焦“点和圆的位置关系”，涵盖d与r的数量关系、三点定圆及三角形外接圆与外心等核心知识点。通过知识链接回顾线段垂直平分线、圆的定义等前置内容，搭建新旧知识桥梁，引导学生自然过渡到新知学习。 以问题驱动探究，设计自主预习填空、合作探究问题链及分层典例训练，帮助学生用数学眼光观察位置关系，通过推理归纳d与r关系，培养抽象能力与推理意识，多样化检测题及详细解析助力自主学习与教学评估。

27.2 与圆有关的位置关系 1.点和圆的位置关系 学习目标： 1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点） 2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.（重点） 3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念. 自主学习 一、知识链接 1.到线段两端距离相等的点，在线段的______________________. 2.说一说圆的定义. 3.一个点与一条直线有哪几种位置关系(画图说明)？经过一点可以画多少条直线？经过两点可以画多少条直线？ 思考： 点与圆有哪几种位置关系？ 二、新知预习 （预习课本P46-48）填空并完成练习： 1. 设点P到圆心的距离OP=d，圆O的半径为r，则有： 点P在_______d=r; 点P在_______d＜r; 点P在_______d＞r. 2. ________________________的三个点确定一个圆. 3.经过三角形三个顶点的圆，是这个三角形的__________,这个三角形叫做这个圆的_______________.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的______.三角形的外心是三角形____________________________的交点. 练习： 1.平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法判断 2.下列条件能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知三个点 D．已知一个三角形的三个顶点 3.⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 合作探究 1、 要点探究 探究点1：点和圆的位置关系 问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ 问题2 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？ 【要点归纳】设点P到圆心的距离OP=d，圆O的半径为r，则有： 点P在圆外d＞r； 点P在圆上d＝r； 点P在圆内d＜r； 【典例精析】例1 已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（　　） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 【针对训练】在平面直角坐标系中，⊙O的直径为10，若圆心O为坐标原点，则点P（-8，6）与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O内 D．无法确定 例2 如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心作⊙C，半径为r． （1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外？ （2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外． 【针对训练】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，CD⊥AB于点D，O为AB的中点． （1）以C为圆心，6为半径作圆，试判断点A、D、B与⊙C的位置关系． （2）当⊙C的半径为多少时，点O在⊙C上． （3）若以点C为圆心作圆，使A、O、B三点至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，则⊙C的半径r的取值范围是什么？ 探究点2：确定圆的条件 知识回顾 （1）确定圆的条件：________确定圆的位置，________确定圆的大小 问题：若半径与圆心不确定，通过几个点，可以确定一个圆呢？ （1）过点A可以作多少个圆？ （2）过两点可以作多少个圆？ （3）过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ 【要点归纳】 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 探究点3：三角形外接圆及外心 试一试 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆. 问题1 过A、B、C三点的圆的圆心，到点A、B、C的距离，满足什么数量关系？ 问题2 在三角形的三条角平分线的交点、三条中线的交点、三条高的交点、三条垂直平分线的交点中，哪一个点到点A、B、C的距离，满足问题1的数量关系？ 【要点归纳】 1. 如图，⊙O叫做△ABC的外接圆， △ABC叫做⊙O的内接三角形. 2.三角形的外心 定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图：三角形三边垂直平分线的交点. 性质：到三角形三个顶点的距离相等. 画一画 利用尺规作图，分别找出下列三角形的外接圆的外心： （1）锐角三角形的外心在三角形________. （2）直角三角形的外心在三 角形________. （3）钝角三角形的外心在三角形________. 【典例精析】 例3 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径． 二、课堂小结 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 设点P到圆心的距离OP=d，圆O的半径为r， 则有： 点P在圆外d＞r； 点P在圆上d＝r； 点P在圆内d＜r . 确定圆的条件 过不在同一直线上的三个点确定一个圆. 三角形的外接圆与外心 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点. 当堂检测 1. 已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 2. 如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（　　） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 3.若一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，则这个三角形的外接圆的直径长为________cm. 4.如图，已知直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2），写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标：________. 第2题图 第4题图 第5题图 5.将图中的破轮子复原，已知弧上三点A、B、C．画出该轮的圆心. 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M． （1）以点C为圆心，4为半径作⊙C，则点A、B、M分别与⊙C有怎样的位置关系？ （2）若以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围． 参考答案 自主学习 1、 知识链接 1. 垂直平分线上 2.旋转定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．要画一个确定的圆，关键是确定半径和圆心. 集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 3.答：如图，点与直线的位置关系有两种：点在直线上，点在直线外.经过一个点，可以画无数条直线，经过两点，有且只能画一条直线. 二、新知预习 1.圆上 圆内 圆外 2.不在同一条直线上 3.外接圆 内接三角形 外心 三条边的垂直平分线 练习：1.C 2.D 3.A 合作探究 一、要点探究 探究点1：点和圆的位置关系 问题1 如图，点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 问题2 d＜r d=r d＞r 【典例精析】例1 B 【针对训练】B 例2 解：（1）若点A、B在⊙C外，则AC＞r.∵AC=3，∴r＜3， （2）如点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC.∵AC=3，BC=4，∴3＜r＜4． 【针对训练】解：（1）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，∴AC=6， ∴A在⊙C上.∵CD⊥AB，∴S△ABC=AC•BC=AB•CD，6×8=10CD，CD=4.8＜6，∴D在⊙C内.∵BC=8＞6，∴B在⊙C外； （2）在△ABC中，∠ACB=90°，∵O为AB的中点，∴OC=AB=5，∴当⊙C的半径为5时，点O在⊙C上； （3）∵AC=6，OC=5，BC=8，∴当5＜r＜8时，A、O、B三点至少有一点在圆内，至少有一点在圆外. 探究点2：确定圆的条件 知识回顾 （1）圆心 半径 （2）两点 问题：解：（1）可作无数个圆. （2）可作无数个圆. （3）能，经过A、B、C三点的圆的圆心在线段AB、BC、AC的垂直平分线的交点O的位置. 探究点3：三角形外接圆及外心 试一试 解：图略 问题1 解：圆心到点A、B、C的距离相等. 问题2 解：三条垂直平分线的交点. 画一画 解：如图所示： （1）内 （2）上（斜边的中点处） （3）外 【典例精析】 例3 解：连结OB，过点O作OD⊥BC.则OD＝5cm，BD=BC=12cm.在Rt△OBD中,OB==13cm.即△ABC的外接圆的半径为13cm. 当堂检测 1.A 2.C 3.25 4.（2,0） 5.解：如图所示：分别作弦AB、AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆心. 6.解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M， ∴AB==，CM=. 以点C为圆心，4为半径作⊙C， ∵AC=4，∴点A在圆上.∵CM=＜4，∴点M在圆内.∵BC=5＞4，∴点B在圆外. （2）以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内时，r＞； 当至少有一点在⊙C外时，r＜5. 故⊙C的半径r的取值范围为＜r＜5． 学科网（北京）股份有限公司 $