27.1.3 第2课时 圆周角定理的推论（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案聚焦“圆周角定理的推论”，核心知识点为90°圆周角所对的弦是直径及圆内接四边形对角互补。通过知识链接复习直径对直角、圆心角与圆周角关系，新知预习以填空形式引入推论，搭建旧知到新知的学习支架。 资料特色在于自主学习与合作探究结合，通过观察猜想、反证法证明培养推理意识，生活实例（破损玻璃镜问题）体现数学眼光，典例与分层检测提升应用意识，助力学生理解推论并解决实际问题。

27.1 圆的认识 3. 圆周角 第2课时 圆周角定理的推论 学习目标： 1. 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程.（重点） 2. 能运用圆周角定理的推论解决有关问题.（难点） 自主学习 一、知识链接 1.如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠B=56°，则∠C的度数是 . 第1题图 第2题图 2.如图，若∠AOB=100°，则∠C的度数为__________. 二、新知预习 （预习课本P43-44）填空并完成练习： 1. 推论1 90°的圆周角所对的弦是_______. 2. 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的________，这个多边形叫做这个圆的____________. 3. 推论2 圆内接四边形的对角__________. 练习： 1.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是_______. 第1题图 第2题图 2.如图，若△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠B=60°，BC=2，则⊙O的半径为________. 合作探究 1、 要点探究 探究点1：圆周角定理的推论1 观察与探究 如图，点A、B、C在圆上，∠C=90°. 问题 命题：若AB是直径，则其所对的圆周角∠C为90°.请写出它的逆命题，逆命题是真命题吗？ 试一试 请证明你的结论. 已知：如图，___________________________________________________. 求证：_____________________________. 证明：假设AB不是圆的直径，不妨设AD是圆内的一条直径，连结CD. 易知___________=90°. ∵∠ACB=90°，且由图可知，∠ACB≠__________,即假设不成立， ∴_______________________. 【要点归纳】 90°的圆周角所对的弦是直径. 【典例精析】 例1 如图①，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是 cm． 图① 图② 【方法归纳】在圆中遇90°角，通常连结圆上两点（非直角顶点），构造直径. 【针对训练】如图②，半径为3的⊙A经过原点O和点B（0，2），点C是y轴左侧⊙A上一点，则tan∠OCB= . 探究点2：圆周角定理的推论2 概念学习 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形. 猜想与论证 如图，四边形ACBD为⊙O的内接四边形. （1） 若CD是直径，则∠DAC=_____°,∠DBC=______°,∠DAC+∠DBC=_______°， ∠C+∠D=______°. （2）若线段CD不经过点O，先用量角器量一量∠C和∠D的度数，它们之间存在怎样的数量关系？结合（1）中的结果，写出你的结论： 你的结论： 证明：由圆周角定理可知：∠1=__________,∠2=__________, ∵∠1+∠2=__________=__________°，∴∠C+∠D=__________°. 【要点归纳】 圆内接四边形的对角互补. 【典例精析】 例2 如图③，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，若∠BCD=120°，则∠BOD的度数为_________. 【针对训练】如图④，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=∠B，则∠D的度数为_________. 图③ 图④ 图⑤ 图⑥ 例3 如图⑤，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCD的外角∠CDM=70°，则∠AOC的度数为_________. 【针对训练】如图⑥所示，四边形ABCD内接于⊙O，A为的中点，∠ABD=65°，连结BD，则∠ BCE =_________. 二、课堂小结 圆周角 圆周角定理的推论1 内容 90°的圆周角所对的弦是直径. 辅助线作法 在圆中遇90°角，通常连结圆上两点（非直角顶点），构造直径. 圆周角定理的推论2 内容 圆内接四边形的对角互补. 拓展 对角互补的四边形，其顶点在同一个圆上 当堂检测 1.如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且∠C=100°，则∠A=_________°. 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，若∠BOD=140°，则∠BCD=_________°. 3.如图，AB是半圆O的直径，C、D是上两点，若∠D=110°，则∠ABC=_________°. 4.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C=2∠A，则cos A=_________. 5.如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，BD为直径，四边形OABC是平行四边形，求∠D的度数． 6.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，过A、C、D三点的圆交BA的延长线于点E，连结EC． （1）求证：∠E=90°； （2）若AB=6，BC=10，求AE的长． 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.34° 2.50° 二、新知预习 1.直径 2.外接圆 内接多边形 3.互补 练习：1.110° 2.2 合作探究 一、要点探究 探究点1：圆周角定理的推论1 问题 逆命题为 若∠C为90°，则其所对的弦AB为直径. 试一试 点A、B、C是圆上的三点，∠ACB=90° AB是圆的直径 ∠ACD ∠ACD AB是圆的直径 【典例精析】例1 5 【针对训练】 探究点2：圆周角定理的推论2 猜想与论证 （1）90 90 180 180 （2）∠C+∠D =180° 2∠C 2∠D 2（∠C+∠D） 360 180 【典例精析】例2 120° 【针对训练】60° 例3 140° 【针对训练】50° 当堂检测 1.80 2.110 3.20 4. 5.解：∵四边形OABC是平行四边形，∴CB=OA=OC=OB,即△OCB为等边三角形，∴∠COB=60°，∠D=∠COB=30°. 6.解：（1）连结AD，∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，即∠ADC=∠ADB=90°， ∴点A、C、D在以AC为直径的圆上，∴∠E=90°； （2）∵BC=10，∴BD=5.∵∠B=∠B，∠ADB=∠E=90°，∴△BAD∽△BCE， ∴，即，解得AE=． 学科网（北京）股份有限公司 $