27.1.3 第1课时 圆周角定理（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案围绕“圆周角定理”展开，引导学生理解圆周角概念，掌握圆周角与圆心角的关系及定理应用。通过知识链接回顾圆心角知识，以思考问题建立新旧联系，新知预习填空和练习作为学习支架，帮助学生逐步构建知识体系。 资料特色在于合作探究环节，通过“辨一辨”“观察思考”等活动培养几何直观和推理意识，典例精析与当堂检测结合提升应用能力，符合“会用数学思维思考现实世界”“会用数学语言表达现实世界”的核心素养，促进学生自主学习和问题解决。

27.1 圆的认识 3. 圆周角 第1课时 圆周角定理 学习目标： 1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.（重点） 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（难点） 自主学习 1、 知识链接 1.如图，OB、OC、OD都是⊙O的半径，AB是直径. （1）图中有__________个圆心角， 分别为___________________________________________. （2）若∠BOC=∠DOC，则BC=__________, （3）若，则∠_______=∠_______. 思考：第1题图中，∠BCD与∠BOD的区别在哪里？它们之间存在怎样的数量关系呢？ 二、新知预习 （预习课本P41-43）填空并完成练习： 1. 顶点在________,两边与圆相交的角，叫做圆周角， 2. 半圆或直径所对的圆周角都_______,都等于_________(_______). 3. 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的_______相等，都等于该弧所对的圆心角的________;相等的圆周角所对的____________相等. 练习：. 1. 下列图形中的角是圆周角的是（　　） A B C D 2.如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠C=31°，则∠B的度数是 . 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，点A、B、C均在圆O上，当∠BOC=120°时，∠BAC的度数是 . 4.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连结AD、BC．若∠BAD=70°，则∠BCD的度数为 . 合作探究 1、 要点探究 探究点1：圆周角的定义 辨一辨 判别下列各图中的角是不是圆周角，并说明理由. 【要点归纳】圆周角需满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边与圆相交. 探究点2：直径所对的圆周角 观察与思考 如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点. 问题1 图中有几个圆周角？直径BC所对的圆周角是哪一个？ 问题2 图中有哪些相等的锐角？这些角的和是多少？请说明理由. 问题3 你能求出∠BAC的度数吗？ 【要点归纳】半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角). 【典例精析】 例1 如图，若AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，若OD=3，则BC= . 【针对训练】如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点E，点E不与点A重合，AB与AC的大小有什么关系？为什么？ 【方法归纳】遇直径，通常构造直径所对的圆周角，得直角三角形或垂直关系，进而解决问题. 探究点3：圆周角定理 观察与思考 已知OA、OB、OC都是⊙O的半径. 问题1 如图①，图中有哪些相等的角？所对的圆心角和圆周角分别是哪个角？它们之间存在怎样的数量关系？ 图① 图② 图③ 问题2 如图②，当BC不再是⊙O的直径时，问题1中的结论是否依旧成立？请说明理由. 问题3 移动点C，到如图③所示的位置，问题1的结论是否依旧成立？请说明理由. 议一议 由上述问题，你能得出哪些结论？ 【要点归纳】圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等. 【典例精析】 例2 如图①，AB是⊙O的直径，EF、EB是⊙O的弦，连结OF，若∠AOF=40°，则∠E的度数是 . 图① 图② 图③ 【针对训练】1.如图②，A、B、C是半径为3的⊙O上的三点，已知∠C=30°，则弦AB的长为 . 2.如图③，点A、B、C在⊙O上，BC=6，∠BAC=30°，则⊙O的半径为 . 例3 如图，AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°.求∠APC的度数. 二、课堂小结 圆周角 圆周角定义 1.顶点在圆上； 2.两边都与圆相交的角. (二者必须同时具备) 圆周角与直径的关系 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角). 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等. 作辅助线的常用方法 1. 构造直径所对的圆周角； 2. 连结圆心，构造圆心角 当堂检测 1. 如图，以AB为直径的⊙O上有一点C，且∠BOC=50°，则∠A的度数为（　　） A．65° B．50° C．30° D．25° 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，AC是⊙O的直径，若∠CAD=25°，则∠ABD的度数为（　　） A．25° B．50° C．65° D．75° 3.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，若AC=AO，则∠B= 度． 4.如图，已知BD是△ABC的外接圆直径，连结CD，若CD=12，BD=13，则tan A的值是 . 5.如图，点C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠CAB=25°，求∠ACD的度数． 6. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连结AC、OC、BC． 求证：∠ACO=∠BCD． 参考答案 自主学习 1、 知识链接 1.（1）5 ∠AOC，∠AOD，∠BOD，∠BOC，∠COD （2）CD （3）BOC DOC 二、新知预习 1.圆上 2.相等 90° 直角 3.圆周角 一半 弧 练习： 1.C 2.59° 3.60° 4.70° 合作探究 一、要点探究 探究点1：圆周角的定义 辨一辨 （1）（5）（6）是圆周角，（2）（4）中，顶点不在圆上， 不是圆周角；（3）中，AC与圆不相交，不是圆周角. 探究点2：直径所对的圆周角 观察与思考 问题1 图中的圆周角有∠C、∠CAB、∠B，一共3个；直径BC所对的圆周角为∠CAB. 问题2 图中相等的锐角有∠C=∠CAO，∠B=∠BAO.∠C+∠CAO+∠B+∠BAO=180°.理由：三角形的内角和为180°. 问题3 ∠BAC的度数为90°. 【典例精析】例1 6 【针对训练】解：AB=AC．理由如下：连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC. ∵BD=CD，∴AB=AC. 探究点3：圆周角定理 观察与思考 问题1 解：∠C=∠CAO ,所对的圆周角为∠C，所对的圆心角为∠AOB.∠AOB= ∠C+∠CAO=2∠C，则∠C=∠AOB. 问题2 解：问题1中的结论依旧成立.由（1）可知∠ACD=∠AOD，∠BCD=∠BOD，∴∠ACD+ ∠BCD=∠AOD+∠BOD=（∠AOD+∠BOD），即∠ACB=∠AOB. 问题3 解：问题1中的结论依旧成立.由问题1可知∠BCD=∠BOD，∠ACD=∠AOD，则∠ACD- ∠BCD=∠AOD-∠BOD=（∠AOD-∠BOD），即∠ACB=∠AOB. 【典例精析】例2 70° 【针对训练】 3 6 例3 解：连结BC，则∠ACB=90°，∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°.又∵∠BAD=∠DCB=30°，∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°. 当堂检测 1. D 2.C 3.30 4. 5.解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°－∠CAB=90°-25°=65°， ∴∠ADC=∠ABC=65°.∵CA=CD，∴∠CAD=∠ADC=65°，∴∠ACD=180°－65°－65°=50°． 6.证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴，∴∠A=∠BCD.又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A．∴∠ACO=∠BCD． 学科网（北京）股份有限公司 $