27.3 第1课时 弧长和扇形面积（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案聚焦“弧长和扇形面积”计算，通过知识链接回顾圆的周长、面积公式及圆心角与弧的关系，新知预习以180°、90°等具体圆心角为例推导公式，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料通过自主归纳培养抽象能力，合作探究结合几何图形推理提升推理意识，实际问题应用增强应用意识，习题层次分明，助力学生掌握公式并解决综合问题，适合自主学习与课堂教学。

27.3 圆中的计算问题 第1课时 弧长和扇形面积 学习目标： 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点） 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点） 自主学习 一、知识链接 1.已知⊙O的半径为r,则⊙O的周长为___________,⊙O的面积为___________. 2.如图，在⊙O中，∠AOC所对的劣弧为__________,若∠AOD=100°，则所对的圆心角为_______°.直径AB所对的弧是________. 思考：在T2中，若⊙O的半径为r,那么直径AB所对的弧长是多少,∠AOD所对的弧长是多少？ 二、新知预习 （预习课本P58-61）填空并完成练习： 计算半径为r，圆心角分别为、、、、所对的弧长和扇形面积. （1） 圆心角为180°，占整个周角的____________,因此它所对的弧长为________,扇形面积为_______. （2） 圆心角为90°，占整个周角的____________,因此它所对的弧长为________,扇形面积为_______. （3） 圆心角为45°，占整个周角的____________,因此它所对的弧长为________,扇形面积为_______. （4） 圆心角为1°，占整个周角的____________,因此它所对的弧长为________,扇形面积为_______. （5） 圆心角为n°，占整个周角的____________,因此它所对的弧长为________,扇形面积为_______. 【自主归纳】若圆心角的度数为n,圆的半径为r,弧长为l,扇形面积为S，则l=_________;S=_________. 练习： 1.圆心角为60°，半径为1的弧长为（　　） A． B．π C． D． 2.若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（　　） A． B．π C．2π D．4π 3.已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（　　） A．9 B．3 C． D． 4.若一个扇形的圆心角是45°，面积是2π，则这个扇形的半径是（　　） A．4 B． C．4π D． 合作探究 1、 要点探究 探究点1：与弧长相关的计算 【典例精析】 例1 若扇形的弧长是5π，半径是18，则该扇形的圆心角是（　　） A．50° B．60° C．100° D．120° 【针对训练】150°的圆心角所对的弧长是5π cm，则此弧所在圆的半径是（　　） A．1.5cm B．3cm C．6cm D．12cm 【要点归纳】灵活运用n°的圆心角所对的弧长公式是解题的关键. 例2 如图，在⊙O中，∠C＝30°，OA＝2，则弧AB的长为（　　） A. B． C ． D． 【针对训练】如图，四边形ABCD内接于⊙O．若⊙O的半径为4，∠D＝135°，求的长. 【方法归纳】当所求弧所对的圆心角的度数未知时，需结合图形，灵活运用圆周角定理及其有关推论，计算出该圆心角的度数，再运用弧长公式进行求解. 探究点2：与扇形面积有关的计算 【典例精析】 例3 若一个扇形的半径是18cm，面积是54πcm2，则扇形的圆心角为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【要点归纳】圆心角为n°的扇形面积为. 想一想 扇形的弧长公式与面积公式有什么联系？ ，∴ 【典例精析】 例4 已知扇形的弧长为2π，半径为4，则此扇形的面积为（　　） A．4π B．8π C．6π D．5π 【针对训练】 扇形的弧长为10π cm，面积为120π cm2，则扇形的半径是（　　） A．12 cm B．24 cm C．28 cm D．30 cm 例5 如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为10，∠ACB＝45°，则扇形AOB的面积为（　　） A．5π B．12.5π C．20π D．25π 例6 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）. 要点归纳：弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积. 【针对训练】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）. 二、课堂小结 弧长和扇 形面积 弧长计算公式 弧长为 扇形面积公式 扇形面积为或. 弓形面积计算公式 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积. 当堂检测 1.半径为6 cm的圆上有一段长度为2.5π cm的弧，则此弧所对的圆心角为（　　） A．45° B．75° C．90° D．150° 2.已知扇形的面积为30π cm2，它的半径为4 cm，则扇形的弧长为（　　） A．19πcm B．15πcm C．20πcm D．25πcm 3.某扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的弧长为（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 4.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OC＝2，则图中阴影部分的面积为___________. 5.如图所示，AB是⊙O的直径，其半径为1，扇形AOC的面积为． （1）求∠AOC的度数； （2）求的长度． 6.如图，有一直径是20厘米的圆型纸片，现从中剪出一个圆心角是90°的扇形ABC． （1）求剪出的扇形ABC的周长． （2）求被剪掉的阴影部分的面积． 参考答案 自主学习 1、 知识链接 1.2πr 2.πr2 2. 260 半圆 2、 新知预习 （1） ×2πr=πr ×πr2=πr2 (2) ×2πr=πr ×πr2=πr2 (3) ×2πr=πr ×πr2=πr2 (4) ×2πr=πr ×πr2 (5) ×2πr= 【自主归纳】 练习： 1.D 2.B 3.C 4.A 合作探究 一、要点探究 探究点1：与弧长相关的计算 【典例精析】例1 A 【针对训练】C 例2 A 【针对训练】解：连结AO，OC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝135°，∴∠B＝45°.∴∠AOC＝90°.∴的长＝＝2π. 探究点2：与扇形面积有关的计算 【典例精析】例3 B 想一想 【典例精析】例4 A 【针对训练】 B 例5 D 例6 解：连结OA、OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交 于点C，连结AC.∵ OC＝0.6 m， DC＝0.3 m, ∴ OD＝OC -DC＝0.3 m，即 OD＝DC.又 AD ⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线. ∴AC＝AO＝OC.从而 ∠AOD＝60˚，∠AOB=120˚.有水部分的面积S＝S扇形OAB - SΔOAB= 【针对训练】 解：由题意可知，OE=CE-OC=0.9-0.6=0.3(cm)，∠BOE=60°，∠AOB=120°，所对的圆心角为240°. S弓形=S扇形+S△OAB= 当堂检测 1.B 2.B 3.B 4.π﹣2 5.解：（1）由扇形面积公式S＝得，∴n＝60，即∠AOC＝60°． （2）∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝120°. ∴的长度为l＝． 6.解：（1）连结BC. ∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，即BC＝20cm.∵AB＝AC，∴AB＝AC＝10cm. ∴的长＝∴扇形ABC的周长＝（20+5π）cm． （2）S阴＝S圆 -S扇形ABC＝π•102﹣＝50π（cm2）． 学科网（北京）股份有限公司 $