27.1.2 第2课时 垂径定理（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案聚焦“垂径定理”，通过自主学习中的知识链接回顾圆的对称性及等腰三角形性质，新知预习引入定理及推论，构建前后知识脉络，为学生提供学习支架。 资料特色在于“剪圆对折”动手操作引导学生观察验证定理，培养几何直观，典例与拱桥、隧道等实际问题结合，提升推理能力与模型意识，检测题覆盖不同情境，助力学生用数学语言表达现实世界。

27.2 圆的对称性 2.圆的对称性 第2课时 垂径定理 学习目标： 1.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 2.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 自主学习 一、知识链接 1.圆是_____对称图形，它的对称轴是____________________________. 2.如图，OA=_______,△OAB是_____三角形；若OD⊥AB，则AE=______,∠AOD=______,∴=_______. 二、新知预习 （预习课本P39-40）填空并完成练习： (1)垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧. (2)平分弦(不是直径)的直径______弦，并且_________弦所对的弧. (3)平分弧的直径__________这条弧所对的弦. 练习： （1） 如图，⊙O中，若OD⊥AB于点C，OB=13，AB=24，则BC的长为 ，OC的长为 . （2） 如图，⊙O中，若C为AB的中点，OC=5，OB=13，则BC的长为 ，AB的长为 . （3） 如图，⊙O中，若D为弧AB的中点，AB=24，OC=5，则OB的长为 . 合作探究 1、 要点探究 探究点1：垂径定理及其推论 做一做 1.剪一张圆纸片，任意画一条直径CD后，再画一条垂直于CD的弦AB，垂足为E.将纸片沿着直径CD对折，对比AE和BE，和，和，你有什么发现？请证明你的结论. 【要点归纳】 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 推导格式：∵ CD是直径，CD⊥AB，∴ AE=BE，，. 想一想 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ （1） （2） （3） （4） 归纳总结：垂径定理的几个基本图形 【典例精析】 例1 如图，OE⊥AB于点E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB= cm. 【针对训练】如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于点D，DC＝2cm，求半径OC的长. 【方法归纳】运用垂径定理求线段长度时，常用做辅助线的方法如下：①连结半径；②过圆心作弦的弦心距；③作垂直于弦的直径，为应用垂径定理创造条件. 思考探索 如果把垂径定理结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 命题1 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. (1) CD⊥AB吗？为什么？ (2) 与相等吗？与相等吗？为什么? 【要点归纳】垂径定理的推论——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 命题2 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使D为的中点. (1) CD⊥AB吗？请说明理由； (2) AE=BE吗？请说明理由. 【要点归纳】垂径定理的推论——平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 【典例精析】 例2 已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：. 方法一：证明：作直径MN⊥AB. 方法二：证明：取的中点M，连结OM. 探究点2：垂径定理的实际应用 例3 如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径． 【针对训练】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径． 【方法归纳】在圆中涉及弦长a，半径r，弦心距(圆心到弦的距离)d，弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 二、课堂小结 垂径定理 内容 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论 一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论(“知二推三”). 辅助线 两条辅助线：半径，弦心距. 基本图形及变式图形 构造直角三角形利用勾股定理直接计算或建立方程求解. 当堂检测 1. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则OE=____cm. 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于_____mm. 3.如图，⊙O的弦AB=8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM=3，则MN的长为________. 4.如图，AB、BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的直径为5，BC=4，求AB的长. 5.如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点． （1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹） （2）若AP=2，CD=8，求⊙O的半径. 6.如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径． 参考答案 自主学习 1、 知识链接 1.轴 直径所在的直线 2.OB 等腰 BE ∠BOD 二、新知预习 （1）平分 平分 （2）垂直于 平分 （3）垂直平分 练习： （1）12 5 （2）12 24 （3）13 合作探究 一、要点探究 探究点1：垂径定理及其推论 做一做： 1.AE=BE ，， 证明如下：∵OA=OB，OD⊥AB，∴AE=BE，∠AOD=∠BOD，∴.∵，∴，∴. 想一想： 解：（1）是. (2)不是，因为没有垂直. (3) 是. （4）不是，因为CD没有过圆心. 【典例精析】例1 16 【针对训练】 解: 连结OA，∵ CE⊥AB于点D，∴设OC=x，则OD=x-2，根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得 x=5cm.即半径OC的长为5cm. 思考探索 命题1 解：（1）CD⊥AB. 连结AO、BO，则AO=BO，又AE=BE，OE=OE, ∴△AOE≌△BOE ， ∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB. （2）由垂径定理可得= ， = . 命题2 解：（1）CD⊥AB，理由如下：∵D为的中点，∴，∴∠AOB=∠BOD.即OD平分∠AOB.∵OA=OB，∴OD⊥AB，即CD⊥AB. （2）AE=BE.理由如下：由（1）知OA=OB，OD⊥AB，则AE=BE. 【典例精析】 例2 方法一：证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧），∴∴. 方法二：证明：取的中点M，连结OM.∴OM⊥AB，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴， ∴∴. 探究点2：垂径定理的实际应用 【典例精析】例3 解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，连结OA、OD．根据垂径定理，得AD=6，设圆的半径是r，则OD=r-4.根据勾股定理，得r2=36+（r-4）2，解得r=6.5， 答：拱桥的半径是6.5米． 【针对训练】 解：连结OC，∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，∴EM⊥CD．∴CM=MD．∵CD=10， ∴CM=5．设OC=x，则OM=25-x，在Rt△COM中，根据勾股定理，得52+（25-x）2=x2． 解得 x=13．∴⊙O的半径为13． 当堂检测 1. 3 2. 5 3. 2 4.解：连结OB，∵AO⊥BC，垂足为D，BC=4，∴BD=CD=2，∠BDO=90°. 由勾股定理得OD=，∴AD=OA+OD=4.在Rt△ADB中，由勾股定理得AB= 5.解：（1）画出弦CD，如图．依据：垂直于弦的直径平分弦． （2）如图，连结OD，∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径，∴PD=CD.∵CD=8，∴PD=4．设⊙O的半径为r，则OD=r，OP=OA-AP=r-2，在Rt△ODP中，OD2=OP2+PD2，即r2=（r-2）2+42，解得r=5，即⊙O的半径为5． 6.解：设圆形切面的半径为r，过点O作OD⊥AB于点D，OD的延长线交⊙O于点E，则AD=BD=AB=×10=5（cm）.∵最深地方的高度是3cm，∴OD=r-3，在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，即r2=52+（r-3）2，解得r=cm，∴输水管的半径为cm． 学科网（北京）股份有限公司 $