27.2.3 第2课时 切线的性质（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案聚焦“切线的性质”，引导学生理解切线性质定理及应用。通过知识链接回顾切线判定方法和直角三角形性质，搭建新旧知识桥梁，为新知学习提供支架。 资料以“自主学习—合作探究—当堂检测”为主线，合作探究含动手操作、反证法证明等环节，培养推理能力，典例与训练结合提升运算能力和应用意识，助力学生自主构建知识，便于教师评估教学效果。

27.2 与圆有关的位置关系 3. 切线 第1课时 切线的性质 学习目标： 1.理解并掌握圆的切线的性质定理.（重点） 2.能运用圆的切线的判定定理及性质定理解决问题.（难点） 自主学习 一、知识链接 1.简述判定切线的方法. （1）定义法： ； （2）数量关系法： ； （3）判定定理： . 2.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，则： (1)两锐角满足的数量关系：______________________; (2)三边长满足的数量关系：_________________________. 二、新知预习 （预习课本P52）填空并完成练习： 切线的性质定理： 圆的切线_____________过________的半径. 练习： 1.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连结OA、OB．若∠B=35°，则∠AOB的度数为（　　）A．65° B．55° C．45° D．35° 第1题图 第2题图 2.如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，OA=10，AB=16，则OC的长为 . 合作探究 1、 要点探究 探究点：切线的性质定理 做一做 已知⊙O如图所示，点A在圆上，请过点A画一条直线，使其为⊙O的切线. 思考：如果直线AB是⊙O的切线，OA与直线AB之间存在怎样的位置关系？ 【要点归纳】切线的性质——圆的切线垂直于经过切点的半径． 几何语言：直线AB是⊙O的切线，点A是切点，则OA⊥AB，垂足为A. 想一想：如何证明切线的性质定理呢？（提示：反证法） 【典例精析】 例1 如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=40°，则∠B=（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【针对训练】如图，AB为⊙O的切线，AC为弦，连结CB交⊙O于点D，若CB经过圆心O，∠ACB=28°，求∠B的度数. 例2 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB与⊙C相切于点D，若AB=6，则CD的长为 . 【针对训练】如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，过点C作⊙O的切线CD，切点为D，连结AD．若⊙O的半径为6，tan C=，求线段AC的长. 【方法归纳】利用切线的性质解题时，常需作辅助线，一般连结圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题. 例3 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点O在边AB上，以O点为圆心、OB为半径作圆，分别与BC、AB相交于点D、E，连结AD，AD是⊙O的切线．求证：∠CAD=∠B. 【针对训练】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E．求证：DC=DE. 二、课堂小结 切线的性质 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 常用辅助线的添加方法 见切线，连切点，得垂直. 当堂检测 1.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连结OA、OB，若∠B=20°，则∠AOB的度数为（　　）A．40° B．50° C．60° D．70° 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，若PA=3，∠APO=45°，则⊙O的半径是 ． 3.如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB，⊙O的直径为8，AB=10，则OA的长为 ． 4.如图，AB是圆O的直径，AD是弦，∠DAB=22.5°，过点D作圆O的切线DC交AB的延长线于点C． （1）求∠C的度数： （2）若AB=2，求BC的长度． 5.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于点D，且EF∥AB，连结CD、BD．求证：CD平分∠ACB； 6. 如图，AB切⊙O于点H，若AB=14，⊙O的半径为12，sin B=． （1）求AH的长； （2）求cos A的值． 参考答案 自主学习 1、 知识链接 （1）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线 （2）圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切 （3）经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2.（1）∠A+∠B=90° （2）a2+b2=c2 二、新知预习 垂直于 切点 练习：1.B 2.6 合作探究 一、要点探究 探究点：切线的性质定理 做一做 解：如图所示，连结OA，直线BC即为所求. 思考 解：OA垂直AB 想一想 解：证法：反证法，如图所示. （1）假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD，垂足为M； （2）则OM<OA，即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾； （3）所以AB与CD垂直. 【典例精析】例1 C 【针对训练】解：连结OA，∵∠ACB=28°，∴∠AOB=2∠ACB=56°．又∵AB为⊙O的切线，OA是半径，∴OA⊥AB，即∠OAB=90°．∴∠B=90°-∠AOB=34°． 例2 【针对训练】 解：连结OD，∵CD切⊙O于点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC=90°.∵tan C=，OD=6，∴，解得DC=8.∴OC==10.∴AC=AO+OC=16. 例3 证明：连结OD，∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AD，∠ADO=90°.∴∠ODB+∠ADC=90°. ∵∠C=90°，∴∠ADC+∠DAC=90°.∴∠DAC=∠ODB.∵OD=OB，∴∠B=∠ODB.∴∠CAD=∠B. 【针对训练】证明：连结OC.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∠OCD=90°. ∴∠ACO+∠ECD=90°.∵DE⊥AD，∴∠A+∠E=90°.∵OA=OC，∴∠A=∠ACO.∴∠ECD=∠E. ∴CD=DE. 当堂检测 1. D 2.3 3. 4.解：（1）连结OD.∵CD是圆O的切线，∴∠ODC=90°.∵OA=OD，∴∠A=∠ADO. ∴∠DOC=2∠A=45°.∴∠C=90°-∠DOC=45°； （2）∵AB＝2，∴OB＝OD＝.∵∠C=45°，∠ODC=90°，∴OC=OD=2.∴BC＝OC−OB＝2−． 5.证明：连结OD.∵直线EF切⊙O于点D，∴OD⊥EF.∵EF∥AB,∴OD⊥AB.∴. ∴∠ACD=∠BCD,即CD平分∠ACB. 6.解：（1）∵AB切⊙O于点H，∴OH⊥AB.∵sin B= ∴OB=∴BH==9.∴AH=AB -BH=5. （2）在Rt△AOH中，AO==13，∴cos A= 学科网（北京）股份有限公司 $